Ecuația unei drepte. Ecuații de drepte și curbe pe un plan Ecuație generală a unei drepte

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii drepte. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte

Exemple de sarcini cu soluții

Aflați ecuația unei drepte care trece prin două puncte: (-1, 2) și (2, 1).

Soluţie.

Conform ecuaţiei

presupunând în ea X 1 = -1, y 1 = 2, X 2 = 2, y 2 = 1 (indiferent care punct este considerat primul, care este al doilea), obținem

după simplificări, obținem ecuația finală necesară în forma

X + 3y - 5 = 0.

Laturile triunghiului sunt date de ecuațiile: (AB ) 2 X + 4 y + 1 = 0, (AC ) X - y + 2 = 0, (î.Hr ) 3 X + 4 y -12 = 0. Aflați coordonatele vârfurilor triunghiului.

Soluţie.

Coordonatele vârfurilor A afla prin rezolvarea sistemului compus din ecuatiile laturilor ABși AC:

Sistemul a două ecuații liniare cu două necunoscute se rezolvă prin metode cunoscute din algebra elementară și obținem

Vertex A are coordonate

Coordonatele vârfurilor B afla prin rezolvarea sistemului de ecuatii ale laturilor ABși î.Hr:

primim.

Coordonatele vârfurilor C obţinem prin rezolvarea sistemului de ecuaţii ale laturilor î.Hrși AC:

Vertex C are coordonate.

A (2, 5) paralel cu dreapta 3X - 4 y + 15 = 0.

Soluţie.

Să demonstrăm că, dacă două drepte sunt paralele, atunci ecuațiile lor pot fi întotdeauna reprezentate într-o astfel de formă încât să difere doar în termeni liberi. Într-adevăr, din condiţia paralelismului a două drepte rezultă că.

Să notăm prin t valoarea totală a acestor rapoarte. Atunci

si de aici rezulta ca

A 1 = A 2 t, B 1 = B 2 t. (1)

Dacă două linii drepte

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0 și

A 2 X + B 2 y + C 2 = 0

sunt paralele, condițiile (1) sunt îndeplinite și, înlocuind în prima dintre aceste ecuații A 1 și B 1 prin formulele (1), vom avea

A 2 tx + B 2 Multumesc + C 1 = 0,

sau, împărțind ambele părți ale ecuației la, obținem

Comparând ecuația rezultată cu ecuația celei de-a doua drepte A 2 X + B 2 y + C 2 = 0, observăm că aceste ecuații diferă doar în termenul liber; astfel am dovedit ceea ce se cere. Acum să trecem la rezolvarea problemei. Scriem ecuația dreptei dorite astfel încât să difere de ecuația dreptei date doar în termenul liber: primii doi termeni din ecuația dorită sunt preluați din această ecuație, iar termenul său liber este notat cu C... Apoi, ecuația necesară poate fi scrisă sub formă

3X - 4y + C = 0, (3)

si de determinat C.

Dând în ecuația (3) valoarea C tot felul de valori reale, obținem un set de drepte paralele cu cea dată. Astfel, ecuația (3) nu este o ecuație a unei linii drepte, ci a unei întregi familii de drepte paralele cu o dreaptă dată 3 X - 4y+ 15 = 0. Din această familie de linii, ar trebui să se selecteze pe cea care trece prin punct A(2, 5).

Dacă o dreaptă trece printr-un punct, atunci coordonatele acestui punct trebuie să satisfacă ecuația dreptei. Prin urmare, definim C dacă în (3) înlocuim coordonatele curente Xși y coordonatele punctului A, adică X = 2, y= 5. Obținem și C = 14.

Valoare găsită Cînlocuit în (3), iar ecuația dorită se va scrie după cum urmează:

3X - 4y + 14 = 0.

Aceeași problemă poate fi rezolvată într-un mod diferit. Deoarece pantele dreptelor paralele sunt egale între ele, iar pentru o dreaptă dată 3 X - 4y+ 15 = 0 pantă, atunci și panta dreptei dorite este egală.

Acum folosim ecuația y - y 1 = k(X - X 1) un mănunchi de linii drepte. Punct A(2, 5), prin care trece linia dreaptă, știm și, prin urmare, înlocuind în ecuația creionului dreptelor y - y 1 = k(X - X 1) valori, obținem

sau după simplificări 3 X - 4y+ 14 = 0, adică la fel ca înainte.

Găsiți ecuații ale dreptelor care trec printr-un punctA (3, 4) la un unghi de 60 de grade față de linia 2X + 3 y + 6 = 0.

Soluţie.

Pentru a rezolva problema, trebuie să determinăm pantele dreptelor I și II (vezi figura). Notăm acești coeficienți, respectiv, prin k 1 și k 2, iar panta acestei drepte este prin k... Este evident că.

Pe baza determinării unghiului dintre două drepte, la determinarea unghiului dintre o dreaptă dată și o dreaptă, I urmează la numărătorul fracției din formula

scădeți panta acestei drepte, deoarece trebuie rotită în sens invers acelor de ceasornic în jurul unui punct C până când coincide cu linia I.

Având în vedere asta, obținem

Determinând unghiul dintre linia dreaptă II și o dreaptă dată, ar trebui să scădem panta dreptei II în numărătorul aceleiași fracții, i.e. k 2, deoarece linia II ar trebui rotită în sens invers acelor de ceasornic în jurul punctului B până când coincide cu această linie dreaptă:

Aflați ecuația unei drepte care trece printr-un punctA (5, -1) perpendicular pe dreapta 3X - 7 y + 14 = 0.

Soluţie.

Dacă două linii drepte

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0, A 2 X + B 2 y + C 2 = 0

sunt perpendiculare, apoi egalitatea

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0,

sau, care este la fel,

A 1 A 2 = -B 1 B 2 ,

si de aici rezulta ca

Sensul general al acestor expresii este notat prin t.

Apoi, de unde rezultă că

A 2 = B 1 t, B 2 = -A 1 t.

Înlocuind aceste valori A 2 și B 2 și ecuația celei de-a doua drepte, obținem

B 1 tx - A 1 Multumesc + C 2 = 0.

sau, împărțind cu t ambele părți ale egalității, vom avea

Comparând ecuația rezultată cu ecuația primei drepte

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0,

rețineți că au coeficienți la Xși y locuri schimbate, iar semnul dintre primul și al doilea termen s-a schimbat în opus, în timp ce termenii liberi sunt diferiți.

Acum să începem să rezolvăm problema. Dorind să scrieți ecuația dreptei perpendiculare pe dreapta 3 X - 7y+ 14 = 0, pe baza concluziei făcute mai sus, se va proceda astfel: se schimbă locurile coeficienților la Xși y, iar semnul minus dintre ele se înlocuiește cu semnul plus, termenul liber este notat cu litera C... Primim 7 X + 3y + C= 0. Această ecuație este ecuația familiei de drepte perpendiculare pe dreapta 3 X - 7y+ 14 = 0. Definiți C din condiţia ca linia căutată să treacă prin punct A(5, -1). Se știe că dacă o dreaptă trece printr-un punct, atunci coordonatele acestui punct trebuie să satisfacă ecuația unei drepte. Înlocuind în ultima ecuație 5 în loc de Xși -1 în loc de y, primim

Această valoare Cînlocuiți în ultima ecuație și obțineți

7X + 3y - 32 = 0.

Să rezolvăm aceeași problemă într-un mod diferit, folosind pentru aceasta ecuația creionului liniilor drepte

y - y 1 = k(X - X 1).

Panta unei drepte date 3 X - 7y + 14 = 0

apoi panta unei drepte perpendiculare pe aceasta,

Înlocuind mănunchiul de linii drepte în ecuație și în loc de X 1 și y 1 coordonatele acestui punct A(5, -1), găsiți sau 3 y + 3 = -7X+ 35 și în sfârșit 7 X + 3y- 32 = 0, adică la fel ca înainte.

Linia dreaptă care trece prin punctul K (x 0; y 0) și paralelă cu dreapta y = kx + a se găsește prin formula:

y - y 0 = k (x - x 0) (1)

Unde k este panta dreptei.

Formula alternativa:
Linia dreaptă care trece prin punctul M 1 (x 1; y 1) și paralelă cu dreapta Ax + By + C = 0 este reprezentată prin ecuație

A (x-x 1) + B (y-y 1) = 0. (2)

Exemplul #1. Alcătuiți ecuația dreptei care trece prin punctul M 0 (-2,1) și în același timp:
a) paralel cu dreapta 2x + 3y -7 = 0;
b) perpendicular pe dreapta 2x + 3y -7 = 0.
Soluţie ... Reprezentăm ecuația cu panta ca y = kx + a. Pentru a face acest lucru, mutați toate valorile cu excepția y în partea dreaptă: 3y = -2x + 7. Apoi împărțim partea dreaptă cu un factor de 3. Se obține: y = -2 / 3x + 7/3
Aflați ecuația NK care trece prin punctul K (-2; 1), paralelă cu dreapta y = -2 / 3 x + 7/3
Înlocuind x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 obținem:
y-1 = -2 / 3 (x - (- 2))
sau
y = -2 / 3 x - 1/3 sau 3y + 2x +1 = 0

Exemplul nr. 2. Scrieți ecuația unei drepte paralele cu dreapta 2x + 5y = 0 și formând împreună cu axele de coordonate un triunghi a cărui aria este 5.
Soluţie ... Deoarece liniile drepte sunt paralele, ecuația dreptei dorite este 2x + 5y + C = 0. Aria unui triunghi dreptunghic, unde a și b sunt catetele sale. Găsiți punctele de intersecție ale dreptei dorite cu axele de coordonate:
;
.
Deci A (-C / 2,0), B (0, -C / 5). Înlocuiți în formula suprafeței: ... Obținem două soluții: 2x + 5y + 10 = 0 și 2x + 5y - 10 = 0.

Exemplul nr. 3. Faceți ecuația dreptei care trece prin punctul (-2; 5) și paralelă cu dreapta 5x-7y-4 = 0.
Soluţie. Această linie dreaptă poate fi reprezentată prin ecuația y = 5/7 x - 4/7 (aici a = 5/7). Ecuația dreptei necesare este y - 5 = 5/7 (x - (-2)), adică. 7 (y-5) = 5 (x + 2) sau 5x-7y + 45 = 0.

Exemplul nr. 4. Rezolvând exemplul 3 (A = 5, B = -7) folosind formula (2), găsim 5 (x + 2) -7 (y-5) = 0.

Exemplul nr. 5. Echivalează dreapta care trece prin punctul (-2; 5) și paralelă cu dreapta 7x + 10 = 0.
Soluţie. Aici A = 7, B = 0. Formula (2) dă 7 (x + 2) = 0, adică. x + 2 = 0. Formula (1) este inaplicabilă, deoarece această ecuație nu poate fi rezolvată în raport cu y (aceasta dreaptă este paralelă cu axa ordonatelor).

Proprietățile unei drepte în geometria euclidiană.

Puteți desena infinit de linii drepte prin orice punct.

O singură linie dreaptă poate fi trasă prin oricare două puncte necoincidente.

Două drepte nepotrivite dintr-un plan fie se intersectează într-un singur punct, fie sunt

paralel (urmează din precedentul).

În spațiul tridimensional, există trei opțiuni pentru poziția relativă a două linii drepte:

• linii drepte se intersectează;

• liniile drepte sunt paralele;

• linii drepte se intersectează.

Drept linia- curbă algebrică de ordinul întâi: într-un sistem de coordonate carteziene, o dreaptă

este dat pe plan de o ecuație de gradul I (ecuație liniară).

Ecuația generală a dreptei.

Definiție... Orice dreaptă dintr-un plan poate fi dată printr-o ecuație de ordinul întâi

Ax + Wu + C = 0,

cu constantă A, B nu sunt egale cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește uzual

ecuația unei linii drepte.În funcție de valorile constantelor A, Bși CU sunt posibile următoarele cazuri speciale:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linia dreaptă trece prin origine

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Prin + C = 0)- linie dreaptă paralelă cu axa Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- linie dreaptă paralelă cu axa OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linia dreaptă coincide cu axa OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linia dreaptă coincide cu axa Oh

Ecuația unei linii drepte poate fi prezentată în diferite forme, în funcție de orice dat

condiții inițiale.

Ecuația unei drepte de-a lungul unui punct și a unui vector normal.

Definiție... Într-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian, un vector cu componente (A, B)

perpendicular pe dreapta dată de ecuație

Ax + Wu + C = 0.

Exemplu... Aflați ecuația unei drepte care trece printr-un punct A (1, 2) perpendicular pe vector (3, -1).

Soluţie... La A = 3 și B = -1, compunem ecuația dreptei: 3x - y + C = 0. Pentru a afla coeficientul C

înlocuiți coordonatele punctului dat A în expresia rezultată, obținem: 3 - 2 + C = 0, deci

C = -1. Total: ecuația necesară: 3x - y - 1 = 0.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte.

Să fie date două puncte în spațiu M 1 (x 1, y 1, z 1)și M2 (x 2, y 2, z 2), atunci ecuația unei linii drepte,

trecând prin aceste puncte:

Dacă oricare dintre numitori este zero, numărătorul corespunzător trebuie echivalat cu zero. Pe

plan, ecuația dreptei scrise mai sus este simplificată:

dacă x 1 ≠ x 2și x = x 1, dacă x 1 = x 2 .

Fracțiune = k numit pantă Drept.

Exemplu... Aflați ecuația dreptei care trece prin punctele A (1, 2) și B (3, 4).

Soluţie... Aplicând formula de mai sus, obținem:

Ecuația unei drepte după punct și pantă.

Dacă ecuația generală a dreptei Ax + Wu + C = 0 duce la forma:

și desemnează , atunci ecuația rezultată se numește

ecuația unei drepte cu panta k.

Ecuația unei drepte de-a lungul unui punct și a unui vector de direcție.

Prin analogie cu paragraful luând în considerare ecuația unei linii drepte prin vectorul normal, puteți introduce sarcina

o dreaptă printr-un punct și un vector de direcție al unei drepte.

Definiție... Fiecare vector diferit de zero (α 1, α 2) ale căror componente satisfac condiția

Аα 1 + Вα 2 = 0 numit vector de direcție al unei linii drepte.

Ax + Wu + C = 0.

Exemplu... Aflați ecuația unei drepte cu un vector de direcție (1, -1) și care trece prin punctul A (1, 2).

Soluţie... Ecuația dreptei necesare va fi căutată sub forma: Ax + By + C = 0. Conform definiției,

coeficienții trebuie să îndeplinească condițiile:

1 * A + (-1) * B = 0, adică A = B.

Atunci ecuația dreptei are forma: Ax + Ay + C = 0, sau x + y + C / A = 0.

la x = 1, y = 2 primim C/A = -3, adică ecuația necesară:

x + y - 3 = 0

Ecuația unei drepte în segmente.

Dacă în ecuația generală a dreptei Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, atunci, împărțind la -C, obținem:

sau unde

Sensul geometric al coeficienților este că coeficientul a este coordonata punctului de intersecție

drept cu axa Oh, A b- coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa OU.

Exemplu... Este dată ecuația generală a dreptei x - y + 1 = 0. Găsiți ecuația acestei drepte în segmente.

C = 1, a = -1, b = 1.

Ecuația normală a unei linii drepte.

Dacă ambele părți ale ecuației Ax + Wu + C = 0împărțiți la număr Care e numit

factor de normalizare, apoi primim

xcosφ + ysinφ - p = 0 -ecuația normală a dreptei.

Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât μ * C< 0.

R- lungimea perpendicularei coborâte de la origine la linia dreaptă,

A φ - unghiul format de aceasta perpendiculara cu directia pozitiva a axei Oh.

Exemplu... Este dată o ecuație generală a dreptei 12x - 5y - 65 = 0... Necesar pentru a scrie diferite tipuri de ecuații

această linie dreaptă.

Ecuația acestei drepte în segmente:

Ecuația acestei drepte cu panta: (împarte la 5)

Ecuația unei drepte:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

Trebuie remarcat faptul că nu orice linie dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, linii drepte,

paralel cu axele sau trecând prin origine.

Unghiul dintre liniile drepte pe plan.

Definiție... Dacă sunt date două rânduri y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, apoi un unghi ascuțit între aceste linii

va fi definit ca

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2... Două drepte sunt perpendiculare,

dacă k 1 = -1 / k 2 .

Teorema.

Direct Ax + Wu + C = 0și A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sunt paralele când coeficienții sunt proporționali

А 1 = λА, В 1 = λВ... Dacă de asemenea С 1 = λС, apoi liniile drepte coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte

se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată.

Definiție... Linie prin punct M 1 (x 1, y 1)și perpendicular pe linie y = kx + b

este reprezentată de ecuația:

Distanța de la punct la linie.

Teorema... Dacă se acordă un punct M (x 0, y 0), distanța până la linia dreaptă Ax + Wu + C = 0 definit ca:

Dovada... Lasă punctul M 1 (x 1, y 1)- baza perpendicularei coborâtă din punct M pentru un dat

linie dreapta. Apoi distanța dintre puncte Mși M 1:

(1)

Coordonatele x 1și la 1 poate fi găsită ca soluție a sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular pe

o linie dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + Prin 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema este demonstrată.