Modele de sisteme de așteptare. Model monocanal cu flux de intrare Poisson cu distribuție exponențială a duratei serviciului
QS cu eșecuri (unic și multicanal)
Cel mai simplu model cu un singur canal cu un flux probabilistic de intrare și o procedură de serviciu este un model care „poate fi caracterizat printr-o distribuție exponențială a duratei intervalului dintre revendicări și distribuția duratelor de serviciu”. În acest caz, densitatea de distribuție a duratelor intervalelor dintre sosirile daunelor are forma:
f 1 (t) = l * e (-l * t), (1)
unde l este intensitatea revendicărilor care intră în sistem (numărul mediu de revendicări care intră în sistem pe unitate de timp). Densitatea distribuției duratei serviciului:
f 2 (t) = µ * e -µ * t, µ = 1 / t rev, (2)
unde µ este intensitatea serviciului, aproximativ este timpul mediu de serviciu al unui client. Debitul relativ al revendicărilor deservite în raport cu toate revendicările primite este calculat prin formula:
Această valoare este egală cu probabilitatea ca canalul de servicii să fie gratuit. Debit absolut (A) - numărul mediu de aplicații pe care sistemul le poate deservi la coadă pe unitate de timp:
Această valoare P poate fi interpretată ca ponderea medie a comenzilor neservite.
Exemplu. Lăsați un sistem cu un singur canal cu defecțiuni să reprezinte o stație de service zilnică pentru spălarea mașinii. O aplicație - o mașină care a sosit într-un moment în care postul este ocupat - primește un refuz de serviciu. Debitul mașinii l = 1,0 (mașina pe oră). Timp mediu de service t aproximativ = 1,8 ore. Este necesar să se determine în stare stabilă valorile limită: debitul relativ q;
- - debitul absolut A;
- - probabilitatea de eșec P.
Să determinăm intensitatea fluxului de serviciu prin formula 2: Să calculăm debitul relativ: q =. Valoarea lui q înseamnă că, în starea de echilibru, sistemul va deservi aproximativ 35% din mașinile care sosesc la post. Debitul absolut este determinat de formula: A = lChq = 1Ch0.356 = 0.356. Acest lucru sugerează că sistemul este capabil să efectueze o medie de 0,356 întreținere a vehiculelor pe oră. Probabilitatea de eșec: P deschis = 1-q = 1-0.356 = 0.644. Aceasta înseamnă că aproximativ 65% din vehiculele care sosesc la postul EO vor primi un refuz de serviciu. Să definim debitul nominal al acestui sistem A nom: A nom = (mașini pe oră).
Cu toate acestea, în majoritatea covârșitoare a cazurilor, sistemul de așteptare este multicanal, adică mai multe cereri pot fi deservite în paralel. Procesul QS descris de acest model este caracterizat de intensitatea fluxului de intrare l, în timp ce nu mai mult de n clienți pot fi deserviți în paralel. Timpul mediu de service pentru o solicitare este de 1 / m. „Modul de operare al canalului de servire nu afectează modul de operare al celorlalte canale de servire ale sistemului, iar durata procedurii de serviciu pentru fiecare dintre canale este o variabilă aleatorie supusă unei legi de distribuție exponențială. Scopul final al utilizării canalelor de servicii conectate în paralel este de a crește viteza cererilor de întreținere, servind simultan n clienți. " Soluția unui astfel de sistem este:
Formulele pentru calcularea probabilităților se numesc formule Erlang. Să determinăm caracteristicile probabilistice ale funcționării unui QS multicanal cu eșecuri într-un mod staționar. Probabilitatea eșecului P deschis este egală cu:
P deschis = P n = * P 0. (7)
O aplicație este respinsă dacă ajunge într-un moment în care toate canalele sunt ocupate. Valoarea lui P obt caracterizează completitudinea serviciului fluxului de intrare; probabilitatea ca cererea să fie acceptată pentru service (este și capacitatea relativă a sistemului) completează P otk la unul:
Lățime de bandă absolută
Numărul mediu de canale în serviciu () este după cum urmează:
Valoarea caracterizează gradul de încărcare a sistemului de așteptare. Exemplu. Fie că QS cu canal n reprezintă un centru de calcul cu trei (n = 3) computere interschimbabile pentru rezolvarea problemelor de intrare. Fluxul de sarcini care sosesc la CC are o intensitate de l = 1 sarcină pe oră. Timp mediu de service t aproximativ = 1,8 ore.
Doriți să calculați valorile:
- - probabilitățile numărului canale ocupate VTS;
- - probabilitatea refuzului de a notifica cererea;
- - debitul relativ al CC;
- - randamentul absolut al CC;
- - numărul mediu de computere personale angajate la centrul de calculatoare.
Să definim parametrul m al fluxului de servicii:
Intensitate redusă a fluxului de aplicații:
Găsim probabilitățile limitative ale stărilor prin formulele lui Erlang:
Probabilitatea refuzului de serviciu pentru o cerere:
Debitul relativ al VTS:
Debitul absolut al VTS:
Numărul mediu de canale ocupate - PC:
Astfel, într-o stare de funcționare constantă a QS, în medie vor fi ocupate 1,5 computere din trei - celelalte și jumătate rămase vor fi inactive. Debitul VC pentru l și m dat poate fi crescut numai prin creșterea numărului de computere personale.
Dat: sistemul are un canal de serviciu, care primește cel mai simplu flux de solicitări cu intensitate. Fluxul de servicii este intens. O cerere care a găsit sistemul ocupat o lasă imediat.
Găsi: debitul absolut și relativ al QS și probabilitatea ca o cerere care ajunge la momentul t să fie respinsă.
Sistem pentru orice t> 0 poate fi în două stări: S 0 - canalul este gratuit; S 1 - canalul este ocupat. Tranziția din S 0 in S 1 este asociat cu apariția unei aplicații și cu începerea imediată a serviciului său. Tranziția din S 1 in S 0 se efectuează imediat ce următorul serviciu este finalizat (Fig. 9).
Fig. 9. Graficul de stare al unui QS cu un singur canal cu eșecuri
Caracteristicile de ieșire (caracteristicile de performanță) ale acestui și ale altor QS vor fi date fără concluzii și dovezi.
(numărul mediu de solicitări difuzate pe unitate de timp):
unde este intensitatea fluxului de aplicații (reciprocitatea intervalului mediu de timp dintre aplicațiile primite -); - intensitatea fluxului de serviciu (reciprocitatea timpului mediu de serviciu).
Lățime de bandă relativă(ponderea medie a cererilor servite de sistem):
Probabilitatea de eșec(probabilitatea ca aplicația să lase CMO neservită):
Următoarele relații sunt evidente: și.
N - canal QS cu defecțiuni (problema Erlang). Aceasta este una dintre primele probleme în teoria cozilor. A apărut din nevoile practice ale telefoniei și a fost rezolvată la începutul secolului al XX-lea de matematicianul danez Erlang.
Dat: sistemul are n- canale care primesc fluxul de solicitări cu intensitate. Fluxul de servicii este intens. O cerere care a găsit sistemul ocupat o lasă imediat.
Găsi: debitul absolut și relativ al sistemului; probabilitatea ca o cerere să ajungă la un moment dat t, va primi un refuz; numărul mediu de aplicații servite simultan (sau, cu alte cuvinte, numărul mediu de canale ocupate).
Soluţie... Starea sistemului S(QS) este numerotat în funcție de numărul maxim de solicitări din sistem (coincide cu numărul de canale ocupate):
· S 0 - nu există o singură aplicație în CMO;
· S 1 - există o singură cerere în QS (un canal este ocupat, restul sunt gratuite);
· S 2 - există două solicitări în QS (două canale sunt ocupate, restul sunt gratuite);
· S n - există n- aplicații (toate n- canalele sunt ocupate).
Graficul de stare al QS este prezentat în Fig. zece.
Fig. 10. Grafic de stare pentru n - canal QS cu eșecuri
De ce este marcat graficul de stare în acest fel? De la stat S 0 a afirma S 1, sistemul transferă fluxul de solicitări cu intensitate (de îndată ce sosește o cerere, sistemul trece de la S 0 in S 1). Dacă sistemul era într-o stare S 1 și a sosit o altă cerere, apoi intră în stat S 2 etc.
De ce săgețile inferioare (arcuri grafice) au astfel de intensități? Lăsați sistemul să fie într-o stare S 1 (un canal funcționează). Produce servicii pe unitate de timp. Prin urmare, arcul de tranziție de la stat S 1 în stare S 0 este încărcat cu intensitate. Acum, sistemul să fie în stare S 2 (două canale funcționează). Să o facă să meargă la S 1, este necesar ca primul canal să termine repararea sau al doilea. Intensitatea totală a fluxurilor lor este egală etc.
Caracteristicile de ieșire (caracteristici de eficiență) ale acestui QS sunt definite după cum urmează.
Lățime de bandă absolută:
Unde n- numărul de canale CMO; Este probabilitatea de a găsi QS în starea inițială atunci când toate canalele sunt libere (probabilitatea finală de a găsi QS în starea S 0);
Pentru a scrie o formulă pentru definiție, luați în considerare figura 11.
Fig. 11. Grafic de stat pentru schema de deces și reproducere
Graficul prezentat în această figură se mai numește și graficul de stare pentru schema de deces și reproducere. Să scriem mai întâi pentru o formulă generală (fără dovezi):
Apropo, restul probabilităților finale ale stărilor QS vor fi scrise după cum urmează.
Probabilitatea ca QS să fie în stare S 1 când un canal este ocupat.
Sistem de așteptare la failover cu un singur canal.
Să presupunem că QS constă dintr-un canal de serviciu și că un flux de revendicări Poisson ajunge la intrarea sa cu intensitate X, adică o variabilă continuă aleatoare T - timpul dintre clienții vecini este distribuit exponențial, timpul de serviciu al fiecărui client are aceeași distribuție cu parametrul p. Opțiuni Xși p se numesc, respectiv, debitul cererii și debitul serviciului.
Sistemul de așteptare poate fi în una din cele două stări: s 0 - canalul este liber (inactiv) sau s, - canalul este ocupat. De la starea s 0 la starea s, sistemul transferă fluxul de revendicări primite, iar de la starea s, la starea s 0 - fluxul de service. Densități de probabilitate ale tranzițiilor de la starea s 0 la starea s (și viceversa sunt egale, respectiv Xși p.
Graficul de stare al QS este prezentat în Fig. 1.5.
Orez.
în starea s 0 sau respectiv s t. Evident, condiția de normalizare p 0 (t) + Pi (t) = 1 este validă.
Având în vedere că proces aleatoriu care curge în QS este Markov, probabilitățile p 0 (t) și pj (t) pot fi determinate din sistemul de ecuații Kolmogorov:
Înlocuirea condiției de normalizare în acest sistem conduce la o ecuație diferențială obișnuită pentru p 0 (t):
Având condiția ca la momentul inițial de timp la t = 0 canalul să fie liber, adică p 0 (0) = 1 și pj (0) = 0, putem obține o soluție la ecuația (1.20) sub următoarea formă:
Folosind condiția de normalizare, se poate seta și o expresie pentru determinarea pj (t):
În regimul staționar limitativ (pentru t - »°°) sistemul ecuații algebrice pentru probabilitățile stărilor are forma: 
Luând în considerare condiția de normalizare, definim probabilitățile limitative ale stărilor
Luați în considerare principalii indicatori ai eficienței unui QS monocanal cu eșecuri.
Deoarece probabilitatea de a deservi revendicările primite într-un astfel de sistem este egală cu p 0, iar randamentul relativ Q este egal cu raportul dintre numărul mediu de revendicări deservite și numărul mediu de revendicări primite pe unitatea de timp, atunci Q = p 0 , adică pentru un QS cu un singur canal cu refuzuri
Debitul absolut al QS este numărul mediu de solicitări servite pe unitate de timp sau intensitatea fluxului de ieșire:
Probabilitatea de eșec în QS apare atunci când canalul este ocupat, aceasta este probabilitatea P!
Timpul mediu de serviciu al unei cereri este reciprocul lui p:
În mod similar, puteți determina timpul mediu de nefuncționare al canalului:
Timpul mediu de ședere al unei cereri în sistem este calculat prin formula:
Exemplul 1.4. Cel mai simplu flux de apeluri cu intensitatea de X= 1,5 comenzi pe minut. Performanța liniei p = 0,4 apeluri pe minut. Apelul care a venit la linie în timp ce este ocupat nu este deservit. Determinați capacitatea absolută a liniei, timpul mediu de serviciu al unui apel, probabilitatea respingerii serviciului, precum și timpul mediu de ședere al unei cereri în sistem.
Soluţie. 1. Conform formulelor (1.27) - (1.31), după efectuarea calculelor necesare, obținem: A = 0,32 apeluri / min; p deschis = 0,79; t o6cjI = 2,5 min;
- 1 sistem = °> 52 MIN -
- 2. Datele estimate indică faptul că, dacă există un singur număr de telefon, OCP nu va face față bine fluxului de aplicații.
QS multicanal cu eșecuri.
Intrarea unui sistem cu n canale primește cel mai simplu flux de revendicări cu intensitate X, fluxul de servicii de către fiecare canal este, de asemenea, cel mai simplu cu intensitate p.
Să enumerăm stările sistemului în funcție de numărul de canale ocupate (fiecare canal din sistem este fie gratuit, fie servește o singură cerere).
Sistemul are următoarele stări: unde s k -
starea sistemului când există k aplicații în el, adică k canale sunt ocupate.
Graficul de stare al unui astfel de sistem corespunde procesului de moarte și reproducere și este prezentat în Fig. 1.6.
Orez. 1.6.
Fluxul de revendicări transferă secvențial sistemul din orice stare stângă într-o stare dreaptă adiacentă cu aceeași intensitate La. Intensitatea fluxului de servicii, care transferă sistemul din orice stare dreaptă în starea stângă, se modifică constant în funcție de stare. Să considerăm ca exemplu un QS în starea s 2 când sunt ocupate două canale. Sistemul poate merge la starea s t când se termină serviciul celui de-al doilea sau primul canal, respectiv, intensitatea totală a serviciului va fi egală cu 2p.
Folosind formula (1.18) pentru procesul de deces și reproducere, obținem următoarea expresie pentru probabilitatea limitativă a stării p 0
Să introducem o notație care se numește rata redusă a fluxului de cereri (rata de încărcare a canalelor). Această valoare reprezintă numărul mediu de clienți care sosesc în timpul mediu de service al unui client. Apoi putem obține următoarea formulă:
Folosind expresia (1.19), avem:
Formulele de mai sus (1.34) din literatura tehnică se numesc formulele lui Erlang (inginer danez, matematician - unul dintre fondatorii teoriei cozilor).
Să scriem expresii analitice pentru evaluarea principalilor indicatori ai eficienței QS considerat. Pe baza principiului muncii astfel Refuzul OCPîn service, revendicarea are loc atunci când toate canalele sunt ocupate, iar sistemul se află în starea s n, adică probabilitatea de eșec a QS
Deoarece evenimentul de deservire a revendicării și evenimentul refuzului de a o furniza sunt opuse, probabilitatea de a deservi revendicarea (probabilitatea ca cel puțin un canal să fie gratuit) va fi
Debitul relativ al QS este definit ca probabilitatea întreținerii acestuia
Debitul absolut al QS (este, de asemenea, intensitatea fluxului de aplicații deservite):
Pentru QS multicanal, un indicator important al eficienței muncii lor este numărul mediu de canale ocupate k (așteptarea matematică a numărului de canale ocupate)
Având în vedere că debitul absolut al sistemului A nu este altceva decât debitul revendicărilor deservite de sistem pe unitate de timp și fiecare canal ocupat servește în medie p revendicări pe unitate de timp, numărul mediu de canale ocupate poate fi determinat de formula:
Exemplul 1.5. Centrul de calcul al companiei de rețea electrică este echipat cu trei calculatoare, care primesc comenzi pentru munca de calcul. Dacă toate cele trei calculatoare funcționează simultan, atunci noua comandă primită nu va fi acceptată. Timp mediu de lucru cu o singură comandă 2,5 ore. Intensitatea fluxului de aplicații 0,2 h -1. Determinați și analizați probabilitățile limitative ale stărilor și indicatorii de performanță ai centrului de calcul.
Soluţie. 1. Determinați parametrii QS: n = 2; X= 0,2 h -1;
debitul serviciului 
; intensitatea încărcării computerului p = 0,2 / 0,4 = 0,5.
2. Să găsim probabilitățile stărilor: probabilitatea că nu există ordine în sistem:
probabilitățile altor stări:
probabilitatea ca cererea primită să fie respinsă:
Astfel, în modul staționar de funcționare al unui centru de calcul, în medie, în timpul a 61% din timp nu există o singură cerere, în 30% din timp există o singură cerere (un computer este ocupat), în 8% - două cereri (două computere sunt ocupate) și în 1% - trei aplicații (trei computere sunt ocupate). Probabilitatea de eșec atunci când toate cele trei computere sunt ocupate - p deschis = 0,01.
3. Determinați indicatorii de performanță ai centrului de calcul: debit relativ:
adică, din fiecare sută de aplicații, centrul de calcul servește 99;
lățimea de bandă absolută a centrului de date:
adică, 0,2 cereri sunt deservite în medie într-o oră; numărul mediu de computere angajate:
Analiza tehnică și economică a datelor obținute ar trebui să se bazeze pe compararea veniturilor din executarea aplicațiilor cu pierderile din timpul de nefuncționare al computerelor scumpe. După cum puteți vedea, în acest caz, există un randament ridicat al centrului de calcul, dar perioade de nefuncționare semnificative ale canalelor de servicii. Trebuie găsită o soluție de compromis.
Lățime de bandă absolută caracterizează intensitatea fluxului ieșit de creanțe deservite.Un exemplu. Spre statie întreținere cel mai simplu flux de aplicații ajunge cu intensitatea a 1 mașină în 2 ore. Nu pot fi mai mult de 3 mașini în coada din curte. Timpul mediu de reparare este de 2 ore. Evaluați activitatea QS și dezvoltați recomandări pentru îmbunătățirea serviciului.
Soluţie:
Determinați tipul de CMO. Expresia „Către stație” se referă la singurul dispozitiv de service, adică pentru a verifica soluția, folosim serviciul CMO monocanal.
Determinați tipul QS cu un singur canal. Deoarece există o referință la coadă, prin urmare, selectăm „QS cu un singur canal cu lungime limitată a cozii”.
Parametrul λ trebuie exprimat în ore. Intensitatea aplicațiilor este de 1 mașină timp de 2 ore sau 0,5 timp de 1 oră.
Debitul de serviciu μ nu este specificat în mod explicit. Iată timpul de service t obs = 2 ore.
Calculăm indicatorii de serviciu pentru un QS cu un singur canal:
Debitul serviciului:
1. Intensitatea sarcinii.
ρ = λ t obs = 0,5 2 = 1
Intensitatea sarcinii ρ = 1 arată gradul de consistență între fluxurile de intrare și ieșire ale revendicărilor canalului de serviciu și determină stabilitatea sistemului de așteptare.
3. Probabilitatea ca canalul să fie liber(fracțiune din timpul de nefuncționare al canalului). 
În consecință, 20% în decurs de o oră canalul va fi inactiv, timpul de inactivitate este egal cu t pr = 12 min.
4. Proporția cererilor respinse.
Cererile nu sunt respinse. Toate aplicațiile primite sunt deservite, p deschise = 0.
5. Lățimea de bandă relativă.
Ponderea aplicațiilor deservite care sosesc pe unitate de timp:
Q = 1 - p deschis = 1 - 0 = 1
În consecință, 100% din cererile primite vor fi trimise. Nivelul de servicii acceptabil ar trebui să fie peste 90%.
6. Lățime de bandă absolută.
A = Q λ = 1 0,5 = 0,5 aplicații / oră.
8. Numărul mediu de aplicații în coadă(lungimea medie a cozii). 
unități
9. Timpul mediu de nefuncționare al sistemului(timpul mediu de așteptare pentru deservirea unei cereri în coadă). 
ora.
10. Numărul mediu de servicii servite.
L obs = ρ Q = 1 1 = 1 unitate.
12. Numărul mediu de solicitări din sistem.
L CMO = L och + L obs = 1,2 + 1 = 2,2 unități.
13. Timpul mediu petrecut de o aplicație în CMO.
ora.
Numărul de cereri care au fost refuzate în decurs de o oră: λ p 1 = 0 cereri pe oră.
Productivitatea nominală a sistemului: 1/2 = 0,5 aplicații pe oră.
Productivitatea reală a sistemului: 0,5 / 0,5 = 100% din capacitatea nominală.
Concluzie: stația este încărcată 100%. În acest caz, nu se observă eșecuri.
1) CMO cu un singur canal
În modul limitativ (staționar), sistemul de ecuații Kolmogorov:
Luând în considerare condiția de normalizare p 0 + p 1 = 1, găsim:
care exprimă timpul relativ mediu petrecut de sistem în starea S 0 (când canalul este liber) și S 1 (când canalul este ocupat), adică determinați, respectiv, debitul relativ al sistemului q și probabilitatea de eșec P deschis:
Lățime de bandă absolută :.
Obiectivul 1. Se știe că solicitările din atelier ajung cu o intensitate de? = 90 (solicitări pe oră), iar durata medie a unei conversații la telefon este t rev = 2 minute. Determinați indicatorii de performanță ai CMO (comunicații telefonice) în prezența unui număr de telefon.
Soluţie.
Intensitatea debitului de serviciu? = 1 / t rev = 1/2 = 0,5 (1 / min) = 30 (1 / h).
Debitul relativ al QS q = 30 / (30 + 90) = 0,25, adică în medie, doar 25% din aplicațiile primite vor negocia prin telefon. În consecință, probabilitatea refuzului de serviciu va fi P ov = 0,75. Debitul absolut al QS: Q = 90 * 0,25 = 22,5, adică în medie, vor fi furnizate 22,5 cereri pe oră.
Evident, dacă există un singur număr de telefon, CMO nu va face față bine fluxului de aplicații.
2) CMO multicanal
Sistemul de ecuații Kolmogorov are forma:
În modul staționar:
Să rezolvăm sistemul (1) cu privire la necunoscutele p 0, p 1, ..., p m. Din prima ecuație:
Din a doua, luând în considerare (2):
În mod similar, din al treilea, luând în considerare (2) și (3):
și, în general, pentru orice k? m:
Să introducem notația:
Determină numărul mediu de solicitări care sosesc la QS în timpul mediu de serviciu al unei solicitări (densitatea redusă a debitului de solicitări).
Formula (6) exprimă toate probabilitățile p k până la p 0. Să folosim condiția:
Înlocuind (7) cu (6), obținem, 0? k? m. (opt)
Formulele (7) și (8) se numesc formule Erlang. Presupunând k = m în formula (8), obținem probabilitatea de eșec
Debit relativ (probabilitatea ca aplicația să fie difuzată):
Formulele lui Erlang și corolarele lor (9), (10) sunt derivate pentru cazul unei legi de distribuție exponențială a timpului de serviciu. Dar cercetarea anii recenti a arătat că aceste formule rămân valabile pentru orice lege a distribuției timpului de serviciu, atâta timp cât fluxul de intrare este cel mai simplu. De asemenea, formulele lui Erlang pot fi utilizate (cu o aproximare cunoscută) în cazul în care fluxul de cereri diferă de cel mai simplu (de exemplu, este un flux staționar cu efect secundar delimitat). În cele din urmă, formulele Erlang pot fi utilizate aproximativ în cazul în care QS admite că așteaptă un client în coadă, dar când timpul de așteptare este mic în comparație cu timpul mediu de service al unui client.
Lățime de bandă absolută:
Numărul mediu de canale ocupate este așteptarea matematică a numărului de canale ocupate:
sau sau, având în vedere (11) și (5)
Cu un număr mare de canale de servicii aplicați următoarele formule, care se mai numesc formule Erlang:
Pentru valori mari ale lui i:
Funcția Laplace.
Probabilitatea de eșec: (9 ")
Lățime de bandă relativă
Numărul mediu de canale ocupate:
Obiectivul 2.În condițiile sarcinii anterioare, determinați număr optim numerele de telefon din atelier, dacă condiția optimității este de a lua în considerare satisfacția în medie din 100 de aplicații, cel puțin 90 de cereri pentru negocieri.
Soluţie. Intensitatea sarcinii canalului conform formulei (5)? = 90/30 = 3, adică în timpul conversației telefonice medii (în termeni de durată) t rev = 2 min. se primesc în medie 3 cereri de negocieri.
Vom crește treptat numărul de canale (numere de telefon) n = 2, 3, 4, ... și vom defini caracteristicile serviciului prin formule (7), (10), (11) pentru QS n-canal obținut. De exemplu, pentru n = 2
Valorile caracteristicilor QS sunt prezentate în tabel:
Prin condiția de optimitate q? 0,9, prin urmare, este necesar să setați 5 numere de telefon în atelier (în acest caz q = 0,9). În același timp, va fi deservită în medie 80 de cereri pe oră (Q = 80,1), iar numărul mediu de numere de telefon ocupate (canale)
Obiectivul 3. O centrală telefonică automată nu oferă mai mult de 120 de conversații la un moment dat. Durata medie a apelului este de 60 de secunde, iar apelurile sunt primite în medie după 0,5 secunde. Luând în considerare o astfel de stație ca un sistem de servicii multicanal cu defecțiuni și cel mai simplu flux de intrare, determinați: a) numărul mediu de canale ocupate, b) debitul relativ, c) numărul mediu de apeluri la stație, ținând cont de faptul că este posibil ca conversația să nu aibă loc.
Soluţie. Avem: m = 120; ? = 1 / 0,5 = 2; ? = 1/60; ? =? /? = 120.
Folosind tabelele de funcții Laplace, obținem:
deoarece? este intensitatea fluxului de intrare (numărul de aplicații pe unitate de timp), atunci? t av = și.
2 ... CMO cu așteptare și timp de așteptare limitat.
Există m canale de serviciu, fluxul de intrare este cel mai simplu cu intensitate ?, timpul de serviciu și timpul de așteptare sunt SV, distribuite exponențial cu parametrii? și? respectiv.
Dacă am canale și sunt ocupat? m, apoi, datorită independenței funcționării lor, intensitatea serviciului crește cu un factor de i :? i, i-1 = i?. Când apare o coadă, fiecare stare a QS considerat este caracterizată prin ocuparea canalelor de servicii. Prin urmare, rata de eliberare a canalului devine constantă u = m ?.
Legea distribuției timpului de așteptare este determinată de intensitate? părăsind coada dacă există o singură cerere în ea. Datorită independenței sosirii creanțelor (a se vedea definiția fluxului cel mai simplu), intensitatea cu care cererile refuză serviciul și părăsesc coada este egală cu r? (pentru o coadă de lungime r ≥ 1). Astfel, densitatea de probabilitate a tranziției sistemului de la starea S m + r la starea S m + r-1 este egală cu suma intensităților eliberării canalelor de serviciu și refuzului de serviciu: m + r, m + r-1 = m? + r?
Să compunem ecuațiile Kolmogorov:
i = 1, ..., m-1, r? 0.
Dacă nu sunt impuse restricții asupra lungimii cozii, atunci sistemul obișnuit ecuatii diferentiale(1) este infinit.
Dacă la momentul inițial de timp t = 0 sistemul considerat se afla într-una din stările sale posibile S j, atunci condițiile inițiale pentru acesta arată după cum urmează.