Smo model m 1 cerință limitată. CMO cu un singur canal cu coadă nelimitată

În practicarea activității umane, un loc mare este ocupat de procesele de așteptare care apar în sistemele destinate utilizării reutilizabile la rezolvarea problemelor de același tip. Astfel de sisteme sunt numite sisteme de așteptare (QS). Exemple de astfel de sisteme sunt sistemele telefonice, sistemele informatice, sistemele pentru transportul cu motor, aviația, serviciile de reparații, magazinele, casele de bilete și altele asemenea.

Fiecare sistem constă dintr-un anumit număr de unități de serviciu (dispozitive, aparate, dispozitive „puncte, stații), care sunt numite canale de serviciu. În funcție de numărul de canale, CMO-urile sunt împărțite în monocanal și multicanal. Schema unui singur canal. -sistemul de aşteptare a canalelor este prezentat în Fig. 6.2.

Aplicațiile către sistem de obicei nu ajung în mod regulat, ci aleatoriu, formând un flux aleatoriu de aplicații (cerințe). Deservirea efectivă a fiecărei cereri poate dura fie un anumit timp, fie, mai des, un timp nedeterminat. Natura aleatorie duce la faptul că QS-ul este încărcat neuniform: în unele perioade de timp se acumulează un număr foarte mare de aplicații (fie intră în coadă, fie lasă QS-ul neservit), în alte perioade QS-ul funcționează cu subîncărcare sau este inactiv.

Orez. 6.2.

Scopul studiului sistemelor de așteptare este de a analiza calitatea funcționării acestora și de a identifica oportunități de îmbunătățire a acestora. În acest caz, conceptul de „calitatea funcționării” în fiecare caz individual va avea propriul său sens specific și va fi exprimat prin diverși indicatori cantitativi. De exemplu, astfel de indicatori cantitativi precum dimensiunea cozii pentru serviciu, timpul mediu de serviciu, așteptarea serviciului sau găsirea unei cereri în sistemul de servire, timpul inactiv al dispozitivelor de servire; încredere că toate cererile primite de sistem vor fi servite.

Astfel, calitatea funcționării sistemului de așteptare este înțeleasă nu ca fiind calitatea performanței unui anumit loc de muncă, a cărui solicitare a fost primită, ci gradul de satisfacere a nevoii de serviciu.

Subiectul teoriei cozilor de așteptare este construirea de modele matematice care leagă condițiile de funcționare date ale sistemului de așteptare (numărul de canale, performanța acestora, natura fluxului de aplicații etc.) cu indicatorii de performanță ai sistemului de așteptare, care descriu capacitatea sa de a face față fluxului de aplicații.

Clasificarea sistemului de așteptare

Prima caracteristică care face posibilă clasificarea problemelor de coadă este comportamentul cererilor primite de sistemul de deservire în momentul în care toate mașinile sunt ocupate.

În unele cazuri, o solicitare care a intrat în sistem într-un moment în care toate dispozitivele sunt ocupate nu poate aștepta ca acestea să fie eliberate și lasă sistemul nefolosit, de exemplu. se pierde cerința pentru sistemul de servire dat. Astfel de sisteme de service se numesc sisteme cu pierderi, iar sarcinile formulate conform acestora se numesc probleme de service pentru sistemele cu pierderi.

Dacă cererea, după ce a intrat în sistem, intră în coadă și așteaptă ca mașina să fie eliberată, atunci astfel de sisteme se numesc sisteme de așteptare, iar sarcinile corespunzătoare sunt numite sarcini de service în sistemele de așteptare. CMO cu așteptare este împărțit în tipuri diferiteîn funcție de modul în care este organizată coada: cu o lungime limitată sau nelimitată la coadă, cu un timp de așteptare limitat etc.

QS diferă și prin numărul de cerințe care pot fi simultan în sistemul de servire. Aloca:

• 1) sisteme cu un flux limitat de cerințe;
• 2) sisteme cu un flux nelimitat de cerințe.

În funcție de formele de organizare internă a serviciului în sistem, există:

• 1) sisteme cu întreținere ordonată;
• 2) sisteme cu serviciu dezordonat.

O etapă importantă în studiul QS este alegerea criteriilor care caracterizează procesul studiat. Alegerea depinde de tipul de probleme studiate, de scopul urmărit de soluție.

Cel mai adesea, în practică, există sisteme în care fluxul de cereri este aproape de cel mai simplu, iar timpul de serviciu se supune unei legi de distribuție exponențială. Aceste sisteme sunt cel mai complet dezvoltate în teoria cozilor.

Într-un mediu de întreprindere, sarcinile cu așteptare, cu un număr finit de mașini de întreținere, cu un flux limitat de solicitări și cu servicii în afara comenzii sunt tipice.

Ipotezele despre natura Poisson a fluxului de revendicări și despre distribuția exponențială a timpului de serviciu ne permit să aplicăm aparatul Markov în teoria coadă. Un proces care are loc într-un sistem fizic se numește proces Markov (sau un proces fără efecte secundare) dacă, pentru fiecare moment în timp, probabilitatea oricărei stări a sistemului în viitor depinde numai de starea sistemului în acest moment. , și nu depinde de modul în care sistemul a ajuns în această stare.

Considerăm un QS cu un set finit discret de stări (Fig. 2.). Definim starea ca starea QS-ului corespunzătoare prezenței în acest moment canale ocupate. În acest caz, sistemul își poate schimba starea discret la momentele discrete corespunzătoare. Când o solicitare ajunge la intrarea QS, sistemul își schimbă starea de repaus,

iar când o cerere părăsește sistemul și eliberarea corespunzătoare a unui canal - de la până.

Orez. 2. Diagrama stărilor și tranzițiilor QS

Un exemplu tipic de CMO este un sistem de telecomunicații cu mai multe servere de servire. O aplicație care ajunge la intrarea unui astfel de QS poate fi fie deservită, fie pusă în coadă, fie poate primi o refuz de serviciu. În acest sens, QS sunt împărțite în două tipuri principale: a) QS cu defecțiuni; b) CMO cu așteptare.

În sistemele cu defecțiuni, o cerere care sosește în momentul în care toate canalele de servicii sunt ocupate primește imediat o defecțiune, părăsește sistemul și nu participă la procesul de service ulterioar.

În sistemele cu așteptare, o cerere care a găsit toate canalele ocupate nu părăsește sistemul, ci intră în coadă și așteaptă până când un canal devine liber.

Semne de clasificare a sistemelor de așteptare.

În sistemele de așteptare, există trei etape principale prin care trece fiecare solicitare:

1) apariția unei aplicații la intrarea în sistem;

2) trecerea la coadă;

3) proces de service, după care cererea părăsește sistemul.

La fiecare etapă se folosesc anumite caracteristici care ar trebui discutate înainte de construirea modelelor matematice.

Caracteristici de intrare:

1) numărul de cereri la intrare (mărimea populației);

2) modul de primire a cererilor în sistemul de servicii;

3) comportamentul clientului.

Numărul de cereri la intrare. Numărul de revendicări potențiale (dimensiunea populației) poate fi considerat fie infinit (populație nelimitată), fie finit (populație limitată). Dacă numărul de revendicări primite la intrarea sistemului de la începutul procesului de serviciu până la un moment dat este doar o mică parte din numărul potențial de clienți, populația de la intrare este considerată Nelimitată. Exemple de populații nerestricționate includ mașinile care trec prin punctele de control pe autostradă, cumpărătorii dintr-un supermarket și așa mai departe. Populațiile nelimitate sunt luate în considerare în majoritatea modelelor de cozi la intrare.

Dacă numărul de cereri care pot intra în sistem este comparabil cu numărul de cereri care se află deja în sistemul de așteptare, populația este considerată limitată. Un exemplu de populație limitată: computere deținute de o anumită organizație care sunt deservite de un atelier de reparații.

Modul de primire a aplicațiilor în sistemul de servicii. Solicitările pot ajunge la sistemul de service în conformitate cu un program specific (de exemplu, un pacient să se prezinte la dentist la fiecare 15 minute, o mașină pe transportor la fiecare 20 de minute) sau aleatoriu. Aparițiile clienților sunt considerate aleatorii dacă sunt independente unele de altele și sunt cu siguranță imprevizibile. Adesea, în problemele de așteptare, numărul de apariții pe unitatea de timp poate fi estimat folosind distribuția de probabilitate Poisson. La o anumită rată de primire (de exemplu, doi clienți pe oră sau patru camioane pe minut)

distribuția Poisson discretă este descrisă prin următoarea formulă:

Unde P (x) - probabilitatea de admitere NS cereri pe unitatea de timp;

NS - numărul de cereri pe unitatea de timp;

L este numărul mediu de cereri pe unitatea de timp (rata de primire a cererilor);

E = 2,7182 este baza logaritmului natural.

Valorile corespunzătoare ale probabilităților P (x) ușor de determinat folosind tabelul de distribuție Poisson. Dacă, de exemplu, rata medie de primire a comenzilor este de doi clienți pe oră, atunci probabilitatea ca în decurs de o oră sistemul să nu primească o singură comandă este de 0,135, probabilitatea ca o comandă să apară este de aproximativ 0,27, două este de asemenea de aproximativ 0,27. 0,27, trei ordine pot apărea cu o probabilitate de 0,18, patru - cu o probabilitate de aproximativ 0,09 etc. Probabilitatea ca 9 ordine sau mai multe să ajungă în sistem într-o oră este aproape de zero.

În practică, probabilitățile de apariție a revendicărilor, desigur, nu respectă întotdeauna distribuția Poisson (pot avea o altă distribuție). Prin urmare, sunt necesare cercetări preliminare pentru a verifica dacă distribuția Poisson poate servi ca o bună aproximare.

Comportamentul clientului . Majoritatea modelelor de așteptare se bazează pe presupunerea că comportamentul clientului este standard, adică fiecare client care intră în sistem intră în coadă, așteaptă serviciul și nu părăsește sistemul până când este deservit. Cu alte cuvinte, un client (persoană sau mașină) care intră în coadă așteaptă până când este servit, părăsește coada și trece de la o coadă la alta.

Viața este mult mai grea. În practică, clienții pot părăsi coada

pentru că era prea lung. Poate apărea o altă situație: clienții își așteaptă rândul, dar din anumite motive pleacă neserviți. Aceste cazuri sunt, de asemenea, subiectul teoriei cozilor.

Caracteristicile cozii:

2) regula de serviciu.

Lungimea cozii . Lungimea poate fi limitată sau nu. Lungimea cozii (cozii) este limitată dacă dintr-un motiv oarecare (de exemplu, din cauza limitărilor fizice) nu poate crește la infinit. Dacă coada atinge dimensiunea maximă, atunci următoarea solicitare nu este permisă în sistem și apare un refuz. Lungimea cozii nu este limitată, Dacă poate exista orice număr de aplicații în coadă. De exemplu, o linie de mașini la o benzinărie.

Regula de serviciu . Majoritatea sistemelor reale folosesc o regulă primul intrat, primul ieşit. (FIFO - primul intrat, primul iesit). În unele cazuri, cum ar fi într-o cameră de urgență a unui spital, pe lângă această regulă, pot fi stabilite priorități diferite. . Pacientul grav bolnav de atac de cord este probabil să aibă prioritate în îngrijire față de pacientul cu un deget rupt. Ordinea de lansare programe de calculator este un alt exemplu de prioritizare a serviciilor.

O clasă mare de sisteme care sunt greu de studiat analitic, dar care sunt bine studiate prin metode de modelare statistică, sunt reduse la sisteme de așteptare (QS).

În CMO se presupune că există poteci tipice(canale de servicii) prin care trec în timpul procesării aplicatii... Se obișnuiește să se spună că aplicațiile servit canale. Canalele pot fi diferite ca scop, caracteristici, pot fi combinate în diferite combinații; biletele pot fi la cozi și în așteptarea serviciului. O parte din cereri pot fi servite de canale, iar părți pot refuza acest lucru. Este important ca cererile, din punct de vedere al sistemului, să fie abstracte: asta vrea să fie deservite, adică să parcurgă un anumit drum în sistem. Canalele sunt, de asemenea, o abstractizare: ele sunt cele care servesc revendicările.

Comenzile pot ajunge inegal, canalele pot servi diferite comenzi pentru timp diferitși așa mai departe, numărul de aplicații este întotdeauna foarte mare. Toate acestea fac ca astfel de sisteme să fie dificil de studiat și de gestionat și nu este posibil să urmăriți toate relațiile cauză-efect din ele. Prin urmare, este general acceptat că serviciul în sisteme complexe este aleatoriu.

Exemple de SMO (a se vedea Tabelul 30.1) sunt: ​​ruta de autobuz și transportul de pasageri; transportoare de producție pentru prelucrarea pieselor; o escadrilă de aeronave care zboară pe teritoriu străin, care este „deservită” de tunuri antiaeriene de apărare aeriană; țeava și cornul mașinii, care „servesc” cartușele; sarcini electrice care se deplasează într-un dispozitiv etc.

Tabelul 30.1. Exemple de sisteme de așteptare

CMO	Aplicații	Canale
Ruta de autobuz și transport de pasageri	Pasagerii	Autobuze
Transportor de producție pentru prelucrarea pieselor	Detalii, noduri	Masini-unelte, depozite
O escadrilă de avioane care zboară pe teritoriul străin, care este „deservit” de apărarea aeriană antiaeriană	Avioane	Tunuri antiaeriene, radare, săgeți, scoici
Butoiul și claxonul mașinii, care „servesc” cartușele	Cartușe	Trunchi, corn
Sarcinile electrice care se deplasează într-un dispozitiv	Taxe	Cascade de tehnică dispozitive

Dar toate aceste sisteme sunt combinate într-o singură clasă de QS, deoarece abordarea studiului lor este aceeași. Constă în faptul că, în primul rând, cu ajutorul unui generator de numere aleatorii, sunt redate numere aleatorii care simulează momente RANDOM ale apariției cererilor și timpul deservirii acestora în canale. Dar luate împreună, aceste numere aleatorii sunt, desigur, supuse statistic modele.

De exemplu, să se spună: „comenzile ajung în medie în valoare de 5 bucăți pe oră”. Aceasta înseamnă că timpii dintre sosirea a două ordine învecinate sunt aleatorii, de exemplu: 0,1; 0,3; 0,1; 0,4; 0,2, așa cum se arată în fig. 30,1, dar în total dau o medie de 1 (rețineți că în exemplu acesta nu este exact 1, ci 1,1 - dar pe o altă oră această sumă, de exemplu, poate fi egală cu 0,9); doar daca pentru un timp suficient de lung media acestor numere se va apropia de o oră.

Rezultatul (de exemplu, debitul sistemului), desigur, va fi, de asemenea, o variabilă aleatorie la intervale separate. Dar măsurată pe o perioadă lungă de timp, această valoare va corespunde deja, în medie, soluției exacte. Adică pentru a caracteriza QS-ul, ei sunt interesați de răspunsuri în sens statistic.

Deci, sistemul este testat cu semnale de intrare aleatorii, supuse unei anumite legi statistice și, ca urmare, se iau indicatori statistici, mediați pe timpul de considerare sau numărul de experimente. Mai devreme, în Lectura 21 (vezi Figura 21.1), am dezvoltat deja o schemă pentru un astfel de experiment statistic (vezi Figura 30.2).

Orez. 30.2. Schema unui experiment statistic pentru studierea sistemelor de aşteptare

În al doilea rând, toate modelele QS sunt asamblate într-un mod tipic dintr-un set mic de elemente (canal, sursă de solicitări, coadă, cerere, disciplină de serviciu, stivă, inel și așa mai departe), ceea ce vă permite să simulați aceste sarcini tipic cale. Pentru aceasta, modelul de sistem este asamblat de la constructorul unor astfel de elemente. Nu contează ce sistem specific este studiat, este important ca diagrama sistemului să fie asamblată din aceleași elemente. Desigur, structura circuitului va fi întotdeauna diferită.

Să enumerăm câteva dintre conceptele de bază ale QS.

Canalele sunt ceea ce servește; sunt calde (încep să servească cererea în momentul în care intră în canal) și reci (canalul are nevoie de un timp de pregătire pentru a începe service-ul). Surse de aplicații- generarea comenzilor la momente aleatorii, conform unei legi statistice specificate de utilizator. Solicitările, sunt și clienți, intră în sistem (generate de sursele de solicitări), trec prin elementele acestuia (sunt deservite), îl lasă servit sau nesatisfăcut. Sunt aplicatii nerabdatoare- cei care s-au săturat să aștepte sau să fie în sistem și care părăsesc CMO de bunăvoie. Comenzi din fluxuri - flux de aplicații la intrarea în sistem, fluxul de aplicații deservite, fluxul de aplicații respinse. Fluxul se caracterizează prin numărul de aplicații de un anumit tip observat într-un anumit loc al QS pe unitatea de timp (oră, zi, lună), adică debitul este o valoare statistică.

Cozile se caracterizează prin regulile de a sta în coadă (disciplina serviciului), numărul de locuri în coadă (câți clienți pot fi în coadă cel mult), structura cozii (conexiunea dintre locurile din coadă) . Există cozi limitate și nelimitate. Să enumerăm cele mai importante discipline de servicii. FIFO (First In, First Out - first in, first out): dacă aplicația este prima care ajunge în coadă, atunci va fi prima care va intra în service. LIFO (Last In, First Out - last came, first left): dacă aplicația a ajuns ultima în coadă, atunci va fi prima care va merge la service (de exemplu, cartușe în cornul mitralierei). SF (Short Forward - short forward): în primul rând sunt servite acele solicitări din coadă care au un timp de service mai scurt.

Să dăm un exemplu viu care arată cum alegerea potrivita o anumită disciplină de servicii vă permite să obțineți economii de timp tangibile.

Să presupunem că există două magazine. În magazinul nr. 1, service-ul se efectuează pe rând, adică aici este implementată disciplina de service FIFO (vezi Fig. 30.3).

Orez. 30.3. La coadă FIFO

Timp de service t serviciu în fig. 30.3 arată cât timp va petrece vânzătorul servind un client. Este clar că atunci când cumpără un produs cu bucată, vânzătorul va petrece mai puțin timp pentru service decât atunci când cumpără, să zicem, produse în vrac care necesită manipulări suplimentare (tasează, cântărește, calculează prețul etc.). Timp de asteptare t aştepta. arată cât timp va fi servit următorul cumpărător de către vânzător.

În magazinul nr. 2 este implementată disciplina SF (vezi fig. 30.4), ceea ce înseamnă că mărfurile pe bucată pot fi cumpărate din timp, încă din timpul serviciului. t serviciu o astfel de achiziție este mică.

Orez. 30.4. Organizarea cozii pentru disciplina SF

După cum se poate observa din ambele cifre, ultimul (al cincilea) cumpărător urmează să cumpere o marfă, astfel încât timpul de serviciu este scurt - 0,5 minute. Daca acest client vine in magazinul numarul 1, va fi obligat sa stea la coada 8 minute, in timp ce in magazinul numarul 2 va fi servit imediat, in afara randului. Astfel, timpul mediu de service pentru fiecare client într-un magazin cu disciplină de service FIFO va fi de 4 minute, iar într-un magazin cu disciplină de service KV - doar 2,8 minute. Iar beneficiul public, economiile de timp vor fi: (1 - 2,8 / 4) 100% = 30 la sută! Deci, 30% din timp economisit pentru societate - și acest lucru se datorează doar alegerii corecte a disciplinei de serviciu.

Inginerul de sisteme trebuie să aibă o bună înțelegere a resurselor de performanță și eficiență ale sistemelor pe care le proiectează ascunse în optimizarea parametrilor, structurilor și disciplinelor de servicii. Modelarea ajută la dezvăluirea acestor rezerve ascunse.

Atunci când se analizează rezultatele modelării, este important să se indice și interesele și gradul de îndeplinire a acestora. Distingeți între interesele clientului și interesele proprietarului sistemului. Rețineți că aceste interese nu coincid întotdeauna.

Puteți judeca rezultatele activității CMO după indicatori. Cele mai populare sunt:

• probabilitatea de servicii pentru clienți de către sistem;
• lățimea de bandă a sistemului;
• probabilitatea refuzului serviciului către client;
• probabilitatea ca fiecare canal să fie ocupat și împreună;
• timpul mediu ocupat al fiecărui canal;
• probabilitatea ca toate canalele să fie ocupate;
• numărul mediu de canale ocupate;
• probabilitatea de oprire pentru fiecare canal;
• probabilitatea de oprire a întregului sistem;
• numărul mediu de aplicații din coadă;
• timpul mediu de așteptare pentru o aplicație în coadă;
• timpul mediu de deservire a unei cereri;
• timpul mediu petrecut de o comandă în sistem.

Este necesar să se judece calitatea sistemului rezultat în funcție de totalitatea valorilor indicatorilor. Atunci când se analizează rezultatele modelării (indicatorilor), este de asemenea important să se acorde atenție pe interesele clientului și interesele proprietarului sistemului, adică este necesar să se minimizeze sau să maximizeze unul sau altul indicator, precum și gradul de implementare a acestora. Rețineți că cel mai adesea interesele clientului și ale proprietarului nu coincid între ele sau nu coincid întotdeauna. Indicatorii vor fi notați mai jos H = {h 1 , h 2, ...).

Parametrii QS pot fi: debitul de cereri, intensitatea fluxului de servicii, timpul mediu în care cererea este pregătită să aștepte serviciul în coadă, numărul de canale de servicii, disciplina de serviciu și așa mai departe . Parametrii sunt cei care afectează performanța sistemului. Parametrii vor fi notați mai jos ca R = {r 1 , r 2, ...).

Exemplu. Benzinărie (benzinărie).

1. Enunțarea problemei... În fig. 30.5 arată planul benzinăriei. Să luăm în considerare metoda de modelare a QS prin exemplul său și planul studiului său. Șoferii care conduc pe lângă o benzinărie pe șosea ar putea dori să își alimenteze vehiculul. Nu toți șoferii la rând doresc să fie întreținuți (alimentați mașina cu benzină); Să presupunem că din fluxul total de mașini, în medie, 5 mașini apelează la o stație de alimentare pe oră.

Orez. 30.5. Planul unei stații de benzină simulate

Există două dozatoare identice la o benzinărie, performanța statistică a fiecăruia dintre ele fiind cunoscută. Prima coloană deservește în medie 1 mașină pe oră, a doua în medie - 3 mașini pe oră. Proprietarul benzinăriei a asfaltat un loc pentru mașini unde se pot aștepta la service. Dacă dozatoarele sunt ocupate, atunci în acest loc alte mașini pot aștepta service-ul, dar nu mai mult de două în același timp. Coada va fi considerată obișnuită. De îndată ce una dintre coloane este liberă, prima mașină din coadă își poate lua locul pe coloană (în timp ce a doua mașină se deplasează pe primul loc în coadă). Dacă apare o a treia mașină și toate locurile (sunt două) din coadă sunt ocupate, atunci serviciul este refuzat, deoarece este interzis să stați pe drum (vezi indicatoarele rutiere lângă benzinărie). O astfel de mașină părăsește sistemul pentru totdeauna și, ca potențial client, este pierdută pentru proprietarul benzinăriei. Puteți complica sarcina luând în considerare casierul (un alt canal de servicii, unde trebuie să ajungeți după service într-una dintre coloane) și coada la acesta și așa mai departe. Dar, în cea mai simplă versiune, este evident că căile de curgere ale aplicațiilor prin QS pot fi reprezentate sub forma unui circuit echivalent, iar prin adăugarea valorilor și a denumirilor caracteristicilor fiecărui element QS, obținem în sfârșit diagrama prezentată în fig. 30.6.

Orez. 30.6. Schema echivalentă a obiectului de modelare

2. Metoda de studiu a QS... Să aplicăm principiul în exemplul nostru afisarea secventiala a comenzilor(Pentru detalii despre principiile modelării, vezi Lectura 32). Ideea lui este ca aplicatia sa fie purtata prin intregul sistem de la intrare pana la iesire, iar abia dupa aceea se incepe modelarea urmatoarei aplicatii.

Pentru claritate, vom construi o diagramă temporală a funcționării QS-ului, reflectând pe fiecare riglă (axa timpului t) starea unui element individual al sistemului. Există tot atâtea linii de timp câte locuri diferite în CMO, fluxuri. În exemplul nostru, există 7 dintre ele (un flux de cereri, un flux de așteptare pe primul loc în coadă, un flux de așteptare pe locul al doilea în coadă, un flux de servicii în canalul 1, un flux de servicii în canalul 2 , un flux de aplicații deservite de sistem, un flux de aplicații refuzate).

Pentru a genera ora de sosire a cererilor, folosim formula pentru calcularea intervalului dintre timpii de sosire a două evenimente aleatoare (vezi prelegerea 28):

În această formulă, debitul λ trebuie specificat (înainte de aceasta, trebuie determinat experimental la instalație ca medie statistică), r- un număr aleatoriu distribuit uniform de la 0 la 1 din RNG sau un tabel, în care numerele aleatoare trebuie luate pe rând (fără a alege în mod special).

Sarcina . Generați un flux de 10 evenimente aleatoare cu o rată a evenimentelor de 5 evenimente pe oră.

Rezolvarea problemei. Luați numere aleatoare distribuite uniform în intervalul de la 0 la 1 (vezi tabelul) și calculați logaritmii lor naturali (vezi tabelul 30.2).

Formula de curgere Poisson definește distanța dintre două evenimente aleatoare in felul urmator: t= –Ln (r pp) / λ ... Atunci, având în vedere că λ = 5, avem distanțele dintre două evenimente aleatoare vecine: 0,68, 0,21, 0,31, 0,12 ore. Adică apar evenimente: primul - la un moment dat t= 0, al doilea - la momentul de timp t= 0,68, al treilea - la momentul respectiv t= 0,89, al patrulea - la momentul de timp t= 1,20, a cincea - la momentul de timp t= 1,32 și așa mai departe. Evenimente - sosirea comenzilor se va reflecta pe prima linie (vezi Fig. 30.7).

Orez. 30.7. Diagrama temporală a operațiunii CMO

Prima solicitare este preluată și, deoarece în acest moment canalele sunt libere, este setat să servească pe primul canal. Aplicația 1 este transferată la rigla „Canal 1”.

Timpul de serviciu în canal este, de asemenea, aleatoriu și este calculat folosind o formulă similară:

unde rolul intensităţii este jucat de valoarea fluxului de servicii μ 1 sau μ 2, în funcție de canalul care deservește cererea. Găsim pe diagramă momentul încheierii serviciului, amânând timpul de serviciu generat din momentul începerii serviciului, și aruncăm cererea pe linia „Servit”.

Aplicația a mers până la CMO. Acum puteți, conform principiului postării secvențiale a comenzilor, să simulați și calea celei de-a doua comenzi.

Dacă la un moment dat se dovedește că ambele canale sunt ocupate, atunci ar trebui să puneți cererea în coadă. În fig. 30.7 aceasta este o solicitare cu numarul 3. Retineti ca, in functie de conditiile problemei, in coada, spre deosebire de canale, cererile nu sunt la un moment aleator, ci asteapta ca unele dintre canale sa devina libere. După ce canalul este eliberat, cererea se ridică la conducătorul canalului corespunzător și serviciul acestuia este organizat acolo.

Dacă toate locurile din coadă în momentul în care sosește următoarea cerere sunt ocupate, atunci cererea trebuie trimisă la linia „Respins”. În fig. 30.7 este numărul de cerere 6.

Procedura de simulare a notificării cererilor de despăgubire continuă un timp de observație T n. Cu cât acest timp este mai lung, cu atât rezultatele simulării vor fi mai precise în viitor. Într-adevăr pentru sisteme simple alege T n, egal cu 50-100 sau mai multe ore, deși uneori este mai bine să măsurați această valoare după numărul de aplicații luate în considerare.

Analiza graficului de timp

Analiza va fi efectuată pe exemplul deja luat în considerare.

Mai întâi trebuie să așteptați starea de echilibru. Renunțăm la primele patru aplicații ca fiind necaracteristice, care apar în timpul procesului de stabilire a funcționării sistemului. Măsurăm timpul de observație, să spunem că în exemplul nostru va fi T n = 5 ore. Calculăm numărul de cereri servite din diagramă N obs. , timpi de nefuncţionare şi alte cantităţi. Ca rezultat, putem calcula indicatori care caracterizează calitatea muncii QS.

1. Probabilitate de serviciu: P obs. = N obs. / N = 5/7 = 0.714 ... Pentru a calcula probabilitatea de a deservi o cerere în sistem, este suficient să împărțiți numărul de solicitări care au reușit să fie deservite în timpul T n (vezi linia „Deservit”) N obs. , pentru numărul de cereri N care doreau să fie serviţi în acelaşi timp. Ca și înainte, probabilitatea este determinată experimental de raportul dintre evenimentele care s-au întâmplat și numărul total de evenimente care s-ar fi putut întâmpla!
2. Lățimea de bandă a sistemului: A = N obs. / T n = 7/5 = 1,4 [buc/oră]... Pentru a calcula debitul sistemului, este suficient să împărțiți numărul de cereri servite N obs. pentru o vreme T n, pentru care a avut loc acest serviciu (vezi linia „Deservite”).
3. Probabilitatea de eșec: P deschis = N deschis / N = 3/7 = 0.43 ... Pentru a calcula probabilitatea de refuzare a serviciului pentru o cerere, este suficient să împărțiți numărul de cereri N deschis care au fost refuzaţi pentru vremea respectivă T n (vezi rândul „Respins”), pentru numărul de cereri N care a vrut să fie deservit în același timp, adică a intrat în sistem. Notă. P deschis + P obs.în teorie ar trebui să fie egal cu 1. De fapt, s-a dovedit experimental că P deschis + P obs. = 0,714 + 0,43 = 1,144... Această inexactitate se explică prin faptul că timpul de observare T n este mic, iar statisticile acumulate sunt insuficiente pentru a obține un răspuns corect. Eroarea acestui indicator este acum de 14%!
4. Probabilitatea ca un canal să fie ocupat: P 1 = T ocupat / T n = 0,05 / 5 = 0,01, Unde T ocupat - timpul de ocupare a unui singur canal (primul sau al doilea). Măsurătorile sunt supuse intervalelor de timp în care au loc anumite evenimente. De exemplu, diagrama caută astfel de segmente în care fie primul, fie al doilea canal este ocupat. În acest exemplu, există un astfel de segment la sfârșitul diagramei cu 0,05 ore. Ponderea acestui interval în timpul total de examinare ( T n = 5 ore) se determină prin împărțire și constituie probabilitatea de angajare dorită.
5. Probabilitatea ca două canale să fie ocupate: P 2 = T ocupat / T n = 4,95 / 5 = 0,99... Diagrama caută astfel de segmente în care atât primul cât și cel de-al doilea canal sunt ocupate simultan. În acest exemplu, există patru astfel de segmente, suma lor este de 4,95 ore. Ponderea duratei acestor evenimente în timpul total de examinare ( T n = 5 ore) se determină prin împărțire și constituie probabilitatea de angajare dorită.
6. Numărul mediu de canale ocupate: N ck = 0 P 0 + 1 P 1 + 2 P 2 = 0,01 + 2 0,99 = 1,99... Pentru a calcula câte canale sunt ocupate în sistem în medie, este suficient să cunoașteți cota (probabilitatea ca un canal să fie ocupat) și să înmulțiți cu ponderea acestei cote (un canal), să cunoașteți cota (probabilitatea a două canalele fiind ocupate) și înmulțiți cu ponderea acestei cote (două canale) și etc. Cifra rezultată 1,99 indică faptul că dintre cele două canale posibile, în medie, sunt încărcate 1,99 canale. Aceasta este o rată de utilizare ridicată, 99,5%, iar sistemul folosește bine resursa.
7. Probabilitatea de oprire a cel puțin unui canal: P * 1 = T timp nefuncțional1 / T n = 0,05 / 5 = 0,01.
8. Probabilitatea de oprire a două canale în același timp: P * 2 = T timp de nefuncţionare2 / T n = 0.
9. Probabilitatea de oprire a întregului sistem: P* c = T sistem inactiv / T n = 0.
10. Numărul mediu de aplicații în coadă: N ss = 0 P 0c + 1 P 1c + 2 P 2s = 0,34 + 2 · 0,64 = 1,62 [buc]... Pentru a determina numărul mediu de aplicații în coadă, este necesar să se determine separat probabilitatea ca în coadă să fie o singură aplicație P 1h, probabilitatea ca în coadă să fie două aplicații P 2h etc. și adăugați-le din nou cu greutățile corespunzătoare.
11. Probabilitatea ca în coadă să fie o singură solicitare: P 1s = T 1h / T n = 1,7 / 5 = 0,34(există patru astfel de segmente în total pe diagramă, oferind 1,7 ore în total).
12. Probabilitatea ca două aplicații să fie în coadă în același timp: P 2s = T 2s / T n = 3,2 / 5 = 0,64(sunt trei astfel de segmente în total pe diagramă, dând un total de 3,25 ore).
13. Timp mediu de așteptare pentru o aplicație în coadă:

    

    (Adunați toate intervalele de timp în care orice aplicație a fost în coadă și împărțiți la numărul de aplicații). Există 4 astfel de aplicații pe cronologie.

14. Timp mediu de procesare a comenzii:

    

    (Adunați toate intervalele de timp în care orice solicitare a fost deservită pe orice canal și împărțiți la numărul de solicitări).

15. Timp mediu petrecut de o comandă în sistem: T mier sist. = T mier așteptare + T mier serviciu.
16. Numărul mediu de aplicații în sistem:

    

    Să împărțim intervalul de observație, de exemplu, în zece minute. Se va dovedi la ora cinci K subintervale (în cazul nostru K= 30). În fiecare subinterval, vom determina din diagrama temporală câte solicitări sunt în sistem în acel moment. Trebuie să vă uitați la rândurile 2, 3, 4 și 5 - care dintre ele sunt ocupate în acest moment. Apoi suma K făcând media termenilor.

În continuare, ar trebui să evaluați acuratețea fiecăruia dintre rezultatele obținute. Adică pentru a răspunde la întrebarea: cât de mult putem avea încredere în aceste valori? Evaluarea acurateței se realizează conform metodei descrise în Lectura 34.

Dacă precizia nu este satisfăcătoare, atunci timpul de experiment ar trebui mărit și, prin urmare, statisticile ar trebui îmbunătățite. O poți face altfel. Rulați experimentul din nou pentru o perioadă T n. Și apoi media valorilor acestor experimente. Și din nou verificați rezultatele pentru criteriul de acuratețe. Această procedură trebuie repetată până când se obține precizia necesară.

În continuare, ar trebui să întocmiți un tabel cu rezultate și să evaluați valorile fiecăruia dintre ele din punctul de vedere al clientului și al proprietarului CMO (a se vedea tabelul. 30.3) .. În cele din urmă, ținând cont de ceea ce s-a spus în fiecare paragraf, trebuie trasă o concluzie generală. Tabelul ar trebui să arate ceva ca cel prezentat în tabel. 30.3.

Tabelul 30.3. Indicatori ai CMO

Index	Formulă	Sens	Interesele proprietarului CMO	Interesele clientului CMO
Probabilitatea de serviciu	P obs. = N obs. / N	0.714	Probabilitatea serviciului este scăzută, mulți clienți părăsesc sistemul nemulțumiți, banii lor sunt pierduți pentru proprietar. Acesta este un minus.	Probabilitatea serviciului este mică, fiecare al treilea client dorește, dar nu poate fi servit. Acesta este un minus.
Numărul mediu de aplicații în coadă	N ss = 0 P 0c + 1 P 1c + 2 P 2h	1.62	Coada este aproape plină tot timpul. Toate locurile din coadă sunt folosite suficient de eficient. Investiția în coadă plătește costurile la coadă. Acesta este un plus. Clienții care stau la coadă mult timp pot pleca fără să aștepte serviciul. Clienții care stau inactiv pot deteriora sistemul și pot sparge echipamentul. Multe respingeri, clienți pierduti. Acestea sunt „contra”.	Coada este aproape plină tot timpul. Clientul trebuie să stea la coadă înainte de a ajunge la service. Este posibil ca clientul să nu intre în coadă. Acesta este un minus.
Total general:			Este în interesul proprietarului: a) să crească lățimea de bandă a canalelor pentru a nu pierde clienți (totuși, upgrade-ul canalelor costă bani); b) cresterea numarului de locuri in coada (si asta costa bani) pentru a retine potentialii clienti.	Clienții sunt interesați să mărească dramatic debitul pentru a reduce latența și a reduce respingerea.

Sinteza QS

Am făcut o analiză a sistemului existent. Acest lucru a făcut posibil să se vadă deficiențele sale și să se determine direcțiile pentru îmbunătățirea calității sale. Dar răspunsurile la întrebări specifice rămân neclare, ce trebuie făcut exact - pentru a crește numărul de canale sau pentru a le crește lățimea de bandă sau pentru a crește numărul de locuri în coadă și, dacă să crești, cât de mult? Există și astfel de întrebări, care este mai bine - să creați 3 canale cu o capacitate de 5 bucăți / oră sau unul cu o capacitate de 15 bucăți / oră?

Pentru a evalua sensibilitatea fiecărui indicator la o modificare a valorii unui anumit parametru, procedați după cum urmează. Fixează toți parametrii, cu excepția unuia selectat. Apoi eliminați valoarea tuturor indicatorilor la mai multe valori ale acestui parametru selectat. Desigur, trebuie să repetați procedura de simulare din nou și din nou și să faceți o medie a indicatorilor pentru fiecare valoare a parametrului și să evaluați acuratețea. Dar, ca rezultat, se obțin dependențe statistice fiabile ale caracteristicilor (indicatorilor) de parametru.

De exemplu, pentru 12 indicatori ai exemplului nostru, puteți obține 12 dependențe de un parametru: dependența probabilității de refuzuri P deschis de numărul de locuri în coadă (KMO), dependența debitului A asupra numărului de locuri din coadă și așa mai departe (vezi Fig. 30.8).

Orez. 30.8. O vedere aproximativă a dependențelor indicatorilor de parametrii OCM

Apoi, puteți elimina și alte 12 dependențe ale indicatorilor P dintr-un alt parametru R prin fixarea restului parametrilor. etc. Se formează un fel de matrice de dependențe ale indicatorilor P din parametri R, conform căreia puteți efectua o analiză suplimentară a perspectivelor de mișcare (îmbunătățirea indicatorilor) într-o direcție sau alta. Panta curbelor arată bine sensibilitatea, efectul mișcării conform unui anumit indicator. În matematică, această matrice se numește J Jacobian, în care rolul pantei curbelor este jucat de valorile derivatelor Δ P i /Δ R j , vezi fig. 30.9. (Reamintim că derivata este legată geometric de unghiul de înclinare al tangentei la dependență.)

Orez. 30.9. Jacobian - matricea sensibilității indicatorilor
în funcţie de modificarea parametrilor sistemului

Dacă indicatorii sunt 12, iar parametrii, de exemplu, 5, atunci matricea are o dimensiune de 12 x 5. Fiecare element al matricei este o curbă, dependență i-al-lea indicator din j- al-lea parametru. Fiecare punct al curbei este valoarea medie a indicatorului pe un segment destul de reprezentativ T n sau mediat pe mai multe experimente.

Trebuie înțeles că curbele au fost luate din ipoteza că toți parametrii, cu excepția unuia, au fost neschimbați în timpul procesului de preluare a acestora. (Dacă toți parametrii ar schimba valorile, curbele ar fi diferite. Dar nu fac asta, deoarece este o mizerie completă și dependențele nu vor fi vizibile.)

Prin urmare, dacă, luând în considerare curbele capturate, se decide că un anumit parametru va fi modificat în QS, atunci toate curbele pentru un nou punct, la care întrebarea despre ce parametru ar trebui schimbat pentru a îmbunătăți performanța , va fi din nou investigat, ar trebui scos din nou.

Deci, pas cu pas, puteți încerca să îmbunătățiți calitatea sistemului. Dar până acum această tehnică nu poate răspunde la o serie de întrebări. Faptul este că, în primul rând, dacă curbele cresc monoton, atunci se pune întrebarea, unde ar trebui să ne oprim până la urmă. În al doilea rând, pot apărea contradicții, un indicator se poate îmbunătăți cu o modificare a parametrului selectat, în timp ce celălalt se va deteriora simultan. În al treilea rând, o serie de parametri sunt dificil de exprimat numeric, de exemplu, o schimbare a disciplinei de serviciu, o schimbare a direcțiilor de curgere, o schimbare a topologiei QS. Căutarea unei soluții în ultimele două cazuri se realizează folosind metodele de examinare (vezi prelegerea 36. Expertiză) și metodele inteligenței artificiale (vezi.

Prin urmare, vom discuta acum doar prima întrebare. Cum să luați o decizie, care ar trebui să fie valoarea parametrului, dacă, odată cu creșterea acestuia, indicatorul se îmbunătățește în mod monoton tot timpul? Este puțin probabil ca valoarea infinitului să se potrivească unui inginer.

Parametru R- managementul este ceea ce este la dispoziția proprietarului HIO (de exemplu, capacitatea de a asfalta șantierul și, prin urmare, de a crește numărul de locuri în coadă, de a pune canale suplimentare, de a crește fluxul de aplicații prin creșterea costurilor de publicitate și curând). Schimbând controlul, puteți influența valoarea indicatorului P, scop, criteriu (probabilitatea defecțiunilor, debitul, timpul mediu de service și așa mai departe). Din fig. 30.10 se vede ca daca crestem controlul R, atunci puteți obține întotdeauna o îmbunătățire a indicatorului P... Dar este evident că orice management este asociat cu costuri. Z... Și cu cât se depun mai multe eforturi pentru control, cu atât valoarea parametrului de control este mai mare, cu atât costul este mai mare. De obicei, costurile de management cresc liniar: Z = C 1 · R ... Deși există cazuri când, de exemplu, în sistemele ierarhice, acestea cresc exponențial, uneori - înapoi exponențial (reduceri la en-gros) și așa mai departe.

Orez. 30.10. Dependența indicelui P
din parametrul controlat R (exemplu)

În orice caz, este clar că într-o zi investiția tuturor noilor costuri va înceta pur și simplu să mai plătească. De exemplu, efectul unui site asfaltat de 1 km 2 este puțin probabil să recupereze costurile proprietarului unei benzinării din Uryupinsk, pur și simplu nu vor fi atât de mulți oameni dispuși să realimenteze. Cu alte cuvinte, indicatorul Pîn sisteme complexe nu poate crește la infinit. Mai devreme sau mai târziu, creșterea sa încetinește. Și costurile Z cresc (vezi fig. 30.11).

Orez. 30.11. Dependența efectului de utilizarea indicatorului P

Din fig. 30.11 se vede ca la stabilirea unui pret C 1 cost pe unitate R si preturi C 2 pe unitate de indicator P, aceste curbe pot fi pliate. Curbele sunt adăugate dacă trebuie să fie minimizate sau maximizate în același timp. Dacă o curbă urmează să fie maximizată și cealaltă să fie minimizată, atunci diferența lor ar trebui găsită, de exemplu, în puncte. Atunci curba rezultată (vezi Fig. 30.12), care ia în considerare atât efectul managementului, cât și costul acestuia, va avea un extremum. Valoarea parametrului R, furnizând extremul funcției, este rezolvarea problemei de sinteză.

Orez. 30.12. Dependența totală a efectului asupra utilizării indicatorului P
și costul Z pentru obținerea acestuia în funcție de parametrul controlat R

Pe langa management Rși indicator P există o perturbare în sisteme. Perturbațiile sunt notate ca D = {d 1 , d 2, ...), vezi fig. 30.13. Perturbarea este o acțiune de intrare care, spre deosebire de parametrul de control, nu depinde de voința proprietarului sistemului. De exemplu, temperaturile scăzute de afară, concurența, din păcate, reduc fluxul de clienți, defecțiunile echipamentelor reduc enervant performanța sistemului. Iar proprietarul sistemului nu poate gestiona direct aceste valori. De obicei, resentimentele acționează „în ciuda” proprietarului, reducând efectul P din eforturile managementului R... Aceasta deoarece, în general, sistemul este creat pentru a atinge scopuri de neatins prin ele însele în natură. O persoană care organizează un sistem speră întotdeauna prin el să atingă un anumit scop. P... Își cheltuiește eforturile pentru asta. R mergând împotriva naturii. Sistem - organizarea componentelor naturale disponibile unei persoane, studiate de aceasta pentru a atinge un nou scop, anterior de neatins în alte moduri.

Orez. 30.13. Desemnarea simbolică a sistemului studiat,
care este afectat de acțiunile de control R și perturbațiile D

Deci, dacă eliminăm dependența indicatorului P din conducere R din nou (după cum se arată în Fig. 30.10), dar în condițiile perturbării apărute D, atunci, poate, caracterul curbei se va schimba. Cel mai probabil, indicatorul va fi mai scăzut la aceleași valori ale controalelor, deoarece indignarea este de natură „uroasă”, reducând indicatorii sistemului (vezi Fig. 30.14). Sistemul, lăsat în sine, fără eforturile unui caracter de guvernare, încetează să ofere scopul pentru care a fost creat.... Dacă, ca și înainte, construim dependența costurilor, o corelăm cu dependența indicatorului de parametrul de control, atunci punctul extremum găsit se va deplasa (vezi Fig. 30.15) în comparație cu cazul „perturbare = 0” (vezi Fig. 30.12).

Orez. 30.14. Dependența indicatorului P de parametrul de control R
pentru diferite valori ale perturbațiilor D

Dacă creșteți din nou perturbarea, curbele se vor schimba (vezi Fig. 30.14) și, ca urmare, poziția punctului extremum se va schimba din nou (vezi Fig. 30.15).

Orez. 30.15. Găsirea punctului extremum asupra dependenței totale
la diferite valori ale factorului perturbator care acționează D

În cele din urmă, toate pozițiile găsite ale punctelor extreme sunt transferate pe o nouă diagramă, unde formează o dependență Indicator P din Parametru de control R când se schimbă Perturbații D(vezi fig. 30.16).

Orez. 30.16. Dependența exponentului P de manager
parametrul R atunci când valorile perturbațiilor D
(curba constă numai din puncte extreme)

Rețineți că, de fapt, acest grafic poate avea alte puncte de operare (graficul este pătruns, așa cum ar fi, cu familii de curbe), dar punctele pe care le-am trasat stabilesc coordonatele parametrului de control la care, pentru perturbații date (!) , Se realizează cea mai mare valoare posibilă a indicatorului P .

Acest grafic (vezi Fig. 30.16) conectează Indicatorul P, Management (resursa) Rși Indignare Dîn sisteme complexe, indicând cum să acţioneze în cel mai bun mod decidentul (decisorul) în condiţiile perturbărilor apărute. Acum utilizatorul poate, cunoscând situația reală la obiect (valoarea perturbării), să determine rapid conform programului ce acțiune de control asupra obiectului este necesară pentru a asigura cea mai bună valoare a indicatorului de interes.

Rețineți că dacă acțiunea de control este mai mică decât cea optimă, atunci efectul total va scădea și va apărea o situație de pierdere a profitului. Dacă acțiunea de control este mai mult decât optimă, atunci efectul de asemenea va scădea, deoarece va fi necesar să plătiți pentru următoarea creștere a eforturilor manageriale cu o valoare mai mare decât cea pe care o veți primi ca urmare a utilizării acesteia (o situație de faliment).

Notă... În textul prelegerii, am folosit cuvintele „management” și „resursă”, adică am crezut că R = U... Ar trebui clarificat faptul că guvernanța joacă un rol de o anumită valoare limitată pentru proprietarul sistemului. Adică este întotdeauna o resursă valoroasă pentru el, pentru care trebuie să plătească mereu și care este mereu în lipsă. Într-adevăr, dacă această valoare nu ar fi limitată, atunci am putea obține, datorită valorii infinite a controalelor, valori infinit de mari ale obiectivelor, dar rezultate infinit de mari nu sunt în mod clar observate în natură.

Uneori se distinge controlul în sine Uși resursă R, denumind o resursă ceva stoc, adică granița valorii posibile a acțiunii de control. În acest caz, conceptele de resursă și management nu coincid: U < R... Uneori se face o distincție între valoarea limită a controlului U ≤ Rși resursă integrală ∫Udt ≤ R .

În ultimele decenii, în cele mai diverse domenii ale economiei naționale, a apărut necesitatea rezolvării problemelor probabilistice asociate cu funcționarea sistemelor de așteptare. Exemple de astfel de sisteme sunt centralele telefonice, atelierele de reparații, unitățile comerciale, casele de bilete etc. munca oricărui sistem de așteptare constă în deservirea fluxului de cereri care intră în acesta (apeluri către abonați, când clienții merg la magazin, cerințe pentru efectuarea lucrărilor în atelier etc.).
Disciplina matematică care studiază modelele sistemelor reale de așteptare se numește teoria cozilor de așteptare. Sarcina teoriei coadă este de a stabili dependența indicatorilor de performanță rezultați ai sistemului de așteptare (probabilitatea ca cererea să fie servită; așteptarea matematică a numărului de cereri deservite etc.) de indicatorii de intrare (numărul a dispozitivelor din sistem, parametri ai fluxului de solicitări de intrare etc.) .) este posibil să se stabilească astfel de dependențe într-o formă formulată numai pentru sistemele simple de așteptare. Studiul sistemelor reale se realizează prin imitare sau modelarea muncii lor pe un computer folosind metoda testelor statistice.
Sistemul de așteptare se consideră specificat dacă se determină următoarele:
1) fluxul cerinţelor de intrare sau, cu alte cuvinte, legea distribuţiei, care caracterizează momentele de timp de sosire a cerinţelor în sistem. Cauza principală a revendicărilor se numește sursă. În cele ce urmează, vom fi de acord să presupunem că sursa are un număr nelimitat de cerințe și că cerințele sunt omogene, adică diferă doar în momentele apariției lor în sistem;
2) un sistem de service format dintr-un dispozitiv de stocare și o unitate de service. Acesta din urmă este unul sau mai multe dispozitive de service, care vor fi denumite dispozitive în cele ce urmează. Fiecare solicitare trebuie să ajungă la unul dintre dispozitive pentru a fi deservită. Cerințele ar putea trebui să aștepte până când dispozitivele devin disponibile. În acest caz, cerințele sunt în acumulator, formând una sau mai multe cozi. Să presupunem că transferul unei solicitări de la un dispozitiv de stocare la un nod de serviciu are loc instantaneu;
3) timpul de serviciu al clientului de către fiecare dispozitiv, care este o variabilă aleatorie și se caracterizează printr-o anumită lege de distribuție;
4) disciplina așteptării, adică un set de reguli care reglementează numărul de cerințe care se află în același timp în sistem. Un sistem în care o solicitare primită este respinsă atunci când toate dispozitivele sunt ocupate se numește sistem fără așteptare. Dacă o solicitare care a ocupat toate dispozitivele intră în coadă și așteaptă până atunci,
până când unul dintre dispozitive este liber, atunci un astfel de sistem se numește un sistem pur cu o așteptare. Un sistem în care o revendicare care a ocupat toate dispozitivele devine în coadă numai dacă numărul de revendicări din sistem nu depășește un anumit nivel (în caz contrar există o pierdere a revendicării) se numește sistem de servicii mixte;
5) disciplina de serviciu, adică setul de reguli conform cărora cererea este selectată din coada de serviciu. Următoarele reguli sunt cel mai des folosite în practică:
- cererile sunt acceptate pentru serviciu pe principiul primul venit, primul servit;
- cererile sunt acceptate pentru serviciu conform termenului minim de primire a refuzului;
- cererile sunt acceptate pentru serviciu într-o ordine aleatorie în conformitate cu probabilitățile date;
6) disciplina cozii, i.e. un set de reguli conform cărora cerința dă preferință uneia sau altei cozi (dacă sunt mai multe) și se află în coada selectată. De exemplu, o cerere de intrare poate fi plasată în cea mai scurtă coadă; în această coadă, poate fi plasat ultimul (o astfel de coadă se numește ordonat) sau poate merge la service în afara rândului său. Sunt posibile și alte opțiuni.

Modelarea prin simulare a sistemelor de aşteptare

Model - este orice imagine, analogă, mentală sau stabilită, imagine, descriere, diagramă, desen etc. a oricărui obiect, proces sau fenomen, care în procesul de cunoaștere (studiu) înlocuiește originalul, păstrând unele proprietăți tipice importante pentru acest studiu. .
Modelarea este studiul unui obiect sau al unui sistem de obiecte prin construirea și studierea modelelor acestora. Și, de asemenea, aceasta este utilizarea modelelor pentru a determina sau a rafina caracteristicile și a raționaliza metodele de construire a obiectelor nou construite.
Modelul este un instrument pentru studierea sistemelor complexe.
În general un sistem complex este prezentată ca o structură pe mai multe niveluri de elemente care interacționează combinate în subsisteme de diferite niveluri. Sistemele complexe includ sisteme informatice. Proiectarea unor astfel de sisteme complexe se realizează în două etape.

1 Design exterior

În această etapă se selectează structura sistemului, elementele sale principale, se organizează interacțiunea dintre elemente, se ia în considerare impactul mediului extern și se evaluează indicatorii de performanță ai sistemului.

2 Design intern - proiectarea elementelor individuale
sisteme

O metodă tipică pentru studierea sistemelor complexe în prima etapă este modelarea lor pe computer.
Ca rezultat al modelării, se obțin dependențe care caracterizează influența structurii și parametrilor sistemului asupra eficienței, fiabilității și altor proprietăți. Aceste dependențe sunt folosite pentru a obține structura și parametrii optimi ai sistemului.
Un model formulat în limbajul matematicii folosind metode matematice numit model matematic.
Simularea se caracterizează prin reproducerea fenomenelor descrise de modelul matematic, păstrând în același timp structura lor logică, succesiune de alternanță în timp. Pentru estimarea valorilor cerute, se poate folosi orice informație adecvată care circulă în model, doar dacă este disponibilă pentru înregistrare și prelucrare ulterioară.
Valorile căutate în studiul proceselor prin metoda modelării prin simulare sunt de obicei determinate ca valori medii în funcție de datele unui număr mare de implementări de proces. Dacă numărul realizărilor N folosit pentru estimarea cantităților dorite este suficient de mare, atunci, în virtutea legii numerelor mari, estimările rezultate capătă stabilitate statistică și, cu o precizie suficientă pentru practică, pot fi luate ca valori aproximative. a cantităţilor căutate.
Esența metodei de simulare aplicată problemelor de coadă este următoarea. Se construiesc algoritmi
cu ajutorul cărora este posibil să se genereze realizări aleatorii ale unor fluxuri date de evenimente omogene, precum și să se modeleze procesele de funcționare a sistemelor de servicii. Acești algoritmi sunt utilizați pentru a reproduce implementarea de mai multe ori. proces aleatoriu service în condiții fixe ale problemei. Informațiile rezultate despre starea procesului sunt supuse unei prelucrări statistice pentru evaluarea valorilor care sunt indicatori ai calității serviciului

3 Formarea implementărilor unui flux aleator de aplicații

Când se studiază sisteme complexe prin metoda simulării, se acordă o atenție semnificativă luării în considerare a factorilor aleatori.
Ca scheme matematice folosite pentru formalizarea acțiunii acestor factori, se folosesc evenimente aleatoare, variabile aleatoare și procese (funcții) aleatoare. Formarea pe un computer a realizărilor de obiecte aleatoare de orice natură se reduce la generarea și transformarea numerelor aleatoare. Luați în considerare o metodă pentru obținerea valorilor posibile ale variabilelor aleatoare cu o lege de distribuție dată. Pentru formarea valorilor posibile ale variabilelor aleatoare cu o lege de distribuție dată, materialul sursă este variabile aleatoare care au o distribuție uniformă în intervalul (0, 1). Cu alte cuvinte, valorile posibile xi ale variabilei aleatoare £, având o distribuție uniformă în intervalul (0, 1), pot fi convertite în valori posibile yi ale variabilei aleatoare z), a cărei lege de distribuție este dată. Metoda de transformare constă în faptul că dintr-o populație uniform distribuită sunt selectate numere aleatorii care îndeplinesc o anumită condiție în așa fel încât numerele selectate să se supună unei legi de distribuție date.
Să presupunem că este necesar să se obțină o succesiune de numere aleatoare yi având o funcție de densitate 1 ^ (y). Dacă domeniul funcției f ^ y) nu este limitat pe una sau ambele părți, este necesar să mergeți la distribuția trunchiată corespunzătoare. Fie intervalul de valori posibile pentru distribuția trunchiată (a, b).
Din variabila aleatoare d) corespunzătoare funcției de densitate f ^ y), trecem la f.
Valoare aleatoare B, va avea intervalul de valori posibile (0, 1) și funcția de densitate f ^ (z) dată de expresie.
Fie valoarea maximă a lui f ^ (z) egală cu f m. Să definim distribuții uniforme în intervale (0, 1) de numere aleatoare x 2 i-1 și x 2 i. Procedura de obținere a unei secvențe yi de numere aleatoare cu o funcție de densitate ^ (y) se reduce la următoarea:
1) perechile de numere aleatoare x2i-1 sunt selectate din populația inițială,
2) pentru aceste numere se verifică validitatea inegalității
x 21<-- ^[а + (Ъ-а)х 2М ] (3)
m
3) dacă inegalitatea (3) este satisfăcută, atunci următorul număr yi este determinat din relație
yi = a + (b-a) x 21 (4)
La modelarea proceselor de servicii, devine necesar să se formeze realizări ale unui flux aleatoriu de evenimente omogene (revendicări). Fiecare eveniment de flux este caracterizat de momentul tj la care are loc. Pentru a descrie un flux aleator de evenimente omogene ca un proces aleatoriu, este suficient să specificam o lege de distribuție care caracterizează o secvență de variabile aleatoare tj. Pentru a obține o realizare a unui flux de evenimente omogene t1, t2 ..., tk, este necesar să se formeze o realizare zbz 2, ..., zk a unui vector aleator k-dimensional £ 2, ..., Sk și calculați valorile lui ti în conformitate cu următoarele rapoarte:
t2 =
Fie un flux ordinar staționar cu efect secundar mărginit să fie dat de funcția de densitate f (z). În conformitate cu formula Palma (6), găsim funcția de densitate f1 (z1) pentru primul interval z1.
1- Jf (u) du
Acum putem genera un număr aleator z b, așa cum se arată mai sus, corespunzător funcției de densitate f1 (z1), și să obținem momentul în care apare primul ordin t1 = z1... În continuare, formăm o serie de numere aleatoare corespunzătoare funcției de densitate f (z), iar folosind relația (4) calculăm valorile mărimilor t2, t3, .., tk.
4 Prelucrarea rezultatelor simulării
La implementarea algoritmilor de modelare pe un computer, sunt generate informații despre stările sistemului studiat. Aceste informații sunt materialul sursă pentru determinarea valorilor aproximative ale cantităților dorite sau, după cum se spune, estimări pentru cantitățile dorite.
Estimarea probabilității evenimentului A se calculează prin formula
p (A) = mN. (7)
Estimarea valorii medii x a unei variabile aleatoare B, calculat de
formulă
_ 1 n
k = 1
Estimarea S 2 pentru varianța variabilei aleatoare ^ se calculează prin formula
1 N 1 ( N L 2
S2 = 1 Da xk 2-5> J (9)
Estimarea momentului de corelare K ^ pentru variabile aleatoare B,și c cu valori posibile x k și respectiv y k, se calculează prin formula
1 N 1 NN
Y> [ Uh

5 Un exemplu de modelare QS
Luați în considerare următorul sistem:
1 Cererile ajung la momente aleatorii în timp, în timp ce
intervalul de timp Q dintre oricare două cerințe succesive are o lege exponențială cu parametrul eu, adică, funcția de distribuție are forma
>0. (11) Sistemul de service este format din s dispozitive identice numerotate.
3 Timpul T despre bsl - o variabilă aleatoare cu o lege de distribuție uniformă pe segment.
4 Sistem fără așteptare, de ex. cererea care a ocupat toate dispozitivele părăsește sistemul.
5 Disciplina de service este următoarea: dacă în momentul sosirii celei de-a k-a solicitări primul server este liber, atunci acesta începe să deservească cererea; dacă acest server este ocupat, iar al doilea este liber, atunci cererea este servită de al doilea server și așa mai departe.
Este necesar să se estimeze așteptările matematice ale numărului de cereri deservite de sistem în timpul T și refuzate.
Pentru momentul inițial al calculului, vom alege momentul sosirii primei cereri T1 = 0. Să introducem următoarele denumiri: Тk este momentul sosirii celui de-al k-lea client; ti - momentul încheierii deservirii cererii al-lea dispozitiv, i = 1, 2, 3, ..., s.
Să presupunem că la momentul T 1 toate serverele sunt libere.
Prima solicitare ajunge la serverul 1. Timpul de serviciu de către acest server este distribuit uniform pe segment. Prin urmare, găsim valoarea specifică tosl a acestui timp prin formula
(12)
unde r este valoarea unei variabile aleatoare R distribuită uniform pe un segment. Dispozitivul 1 va fi ocupat pentru o perioadă de timp. Prin urmare, momentul de timp t 1 al sfârșitului deservirii cererii de către serverul 1 ar trebui considerat egal: t 1 = T1 + t aproximativ bsl.
Apoi adăugați un 1 la contorul de despăgubiri și treceți la următoarea cerință.
Să presupunem că au fost deja luate în considerare k cerințe. Să determinăm momentul T k + 1 al sosirii clientului (k + 1) --lea. Pentru a face acest lucru, găsim valoarea lui t a intervalului de timp dintre cerințe succesive. Întrucât acest interval are o lege indicativă, atunci
12
х = - În r (13)
| Ll
unde r este valoarea secvenţială a variabilei aleatoare R. Apoi momentul sosirii (k + 1)-a cerință: T k +1 = Tk + T.
Primul dispozitiv este gratuit în acest moment? Pentru a răspunde la această întrebare, este necesar să verificați condiția ti< Tk + i - Если это условие выполнено, то к моменту Т k +1 первый прибор освободился и может обслуживать требование. В этом случае t 1 заменяем на (Т k +1 + t обсл), добавляем единицу в счетчик об служенных требований и переходим к следующему требованию. Если t 1>T k +1, atunci primul server în momentul de față T k +1 este ocupat. În acest caz, verificăm dacă al doilea dispozitiv este liber. Dacă condiția i 2< Tk + i выполнено, заменяем t2 на (Т k +1+ t о бсл), добавляем единицу в счетчик обслуженных требований и переходим к следующему требованию. Если t 2>Т k +1, apoi verificăm condiția 1s<Тк+1 и т. д. Eсли при всех i от 1 до s имеет ti >T k +1, atunci în acest moment T k +1 toate serverele sunt ocupate. În acest caz, adăugați unul la contorul de defecțiuni și treceți la următoarea cerință. De fiecare dată, după calcularea Т k +1, este necesar să se verifice starea de finalizare a implementării: Tk + i< T . Если это условие выполнено, то одна реализация процесса функционирования системы воспроизведена и испыта ние заканчивается. В счетчике обслуженных требований и в счетчике отказов находятся числа n обсл и n отк.
Repetând acest test de n ori (folosind r diferit) și făcând o medie a rezultatelor experimentelor, determinăm estimările așteptărilor matematice ale numărului de cereri deservite și ale numărului de cereri care au fost refuzate:
(14)
(Ji
n j = 1
unde (n obsl) j și (n obs) j sunt valorile lui n obs și n obs în experimentul j --lea.
13

Lista surselor utilizate
1 Emelyanov A.A. Simularea proceselor economice [Text]: Manual. manual pentru universități / A.A. Emelyanov, E.A. Vlasova, R.V. Gând. - M.: Finanţe şi statistică, 2002. - 368p.
2 Buslenko, N.P. Modelarea sistemelor complexe [Text] / N.P. Buslenko.- M.: Nauka, 1978. - 399s.
3 Consilii B.Ya. Sisteme de modelare [Text]: Manual. pentru universități / B.Ya. Sovetov, S.A. Yakovlev. -M. : Mai sus. scoala, 1985 .-- 271 p.
4 Consilii B.Ya. Sisteme de modelare [Text]: Practică de laborator: Manual. manual pentru universităţile din specialitatea: „Sistem autom.. prelucrare informaţie şi control”. / B.Ya. Sovietici, S.A. Yakovlev. -M. : Mai sus. shk., 1989. - 80 p.
5 Maksimi I.V. Simulare pe computer [Text] / Maxim, I.V. -M: RADIO ŞI COMUNICARE, 1988 .-- 231p.
6 Wentzel E.S. Teoria probabilității [Text]: manual. pentru universități / E.S. Scopul ventilației.- M.: Vyssh. shk., 2001 .-- 575 p.
7 Gmurman, V.E. Teoria probabilității și statistică matematică [Text]: manual. indemnizatie / V.E. Gmurman.- M.: Mai sus. shk., 2001 .-- 479 p.
Anexa A
(necesar)
Subiecte aproximative ale lucrărilor computaționale și grafice
1 Există un medic la centrul de traumatologie. Durata tratamentului pacientului
iar intervalele de timp dintre internările pacienţilor sunt variabile aleatorii distribuite conform legii Poisson. În funcție de gravitatea leziunilor, pacienții sunt împărțiți în trei categorii, admiterea unui pacient de orice categorie este un eveniment aleatoriu cu o distribuție equiprobabilă. Medicul se ocupă mai întâi de pacienții cu cele mai grave leziuni (în ordinea sosirii), apoi, dacă nu există, de pacienți de severitate moderată și abia apoi - de pacienți cu leziuni minore. Simulați procesul și estimați timpii medii de așteptare în coada de pacienți din fiecare categorie.
2 Există două zone de reparații în serviciul auto din oraș. Primul servește reparații de scurtă și medie durată, al doilea - mediu și lung. Pe măsură ce apar avariile, transportul este livrat parcului de vehicule; intervalul de timp dintre livrări este o variabilă aleatorie Poisson. Durata reparației este o variabilă aleatoare cu o lege de distribuție normală. Simulați sistemul descris. Estimați timpii medii de așteptare în coada de transport, necesitând, respectiv, reparații pe termen scurt, mediu și lung.
3 Un mini-market cu un singur controler - un casier deservește clienții al căror flux de intrare respectă legea lui Poisson cu un parametru de 20 de clienți/oră. Efectuați o simulare a procesului descris și determinați probabilitatea de oprire a controlorului - casier, lungimea medie a cozii, numărul mediu de clienți din magazinul de proximitate, timpul mediu de așteptare pentru serviciu, timpul mediu petrecut de clienți în confortul păstrează și evaluează munca lui.
4 PBX primește aplicații pentru apeluri la distanță lungă. Fluxul apelului este Poisson. În medie, într-o oră sunt primite 13 cereri. Găsiți numărul mediu de cereri primite pe zi, timpul mediu dintre apariția cererilor. La centrala telefonică apar defecțiuni dacă la ea ajung peste 50 de aplicații în jumătate de oră. Găsiți probabilitatea unei defecțiuni a stației.
5 La gară întreținere vine cel mai simplu
curentul de aplicatii cu o intensitate de 1 masina in 2 ore.Nu pot fi mai mult de 3 masini la coada din curte. Timpul mediu de reparație este de 2 ore. Evaluați activitatea SMC și dezvoltați recomandări pentru îmbunătățirea serviciului.
6 Un țesător deservește un grup de războaie, efectuând intervenții pe termen scurt după cum este necesar, a căror durată este o variabilă aleatorie. Simulați situația descrisă. Care este probabilitatea de oprire pentru două mașini simultan? Cât este timpul mediu de nefuncționare a unei mașini.
7 La o centrală telefonică la distanță lungă, doi telefoniști deservesc o coadă comună de comenzi. Următoarea comandă este servită de operatorul care a fost primul care a eliberat. Dacă ambii sunt ocupați la primirea comenzii, apelul este anulat. Simulați procesul, presupunând că fluxurile de intrare sunt Poisson.
8 La centrul de traumatologie lucrează doi medici. Durata tratamentului doare
iar intervalele de timp dintre internările pacienților sunt valori aleatorii distribuite conform legii Poisson. În funcție de gravitatea leziunilor, pacienții sunt împărțiți în trei categorii, admiterea unui pacient de orice categorie este un eveniment aleatoriu cu o distribuție equiprobabilă. Medicul se ocupă mai întâi de pacienții cu cele mai grave leziuni (în ordinea sosirii), apoi, dacă nu există, de pacienți de severitate moderată și abia apoi - de pacienți cu leziuni minore. Simulați procesul și estimați timpii medii de așteptare în coada de pacienți din fiecare categorie.
9 La centrala telefonica de lunga distanta deservesc doi telefonisti
coada generală de comenzi. Următoarea comandă este servită de acel operator de telefonie,
care a fost primul care s-a eliberat. Dacă ambii sunt ocupați în momentul primirii comenzii, atunci se formează o coadă. Simulați procesul, presupunând că fluxurile de intrare sunt Poosen.
10 Într-un sistem de transmisie de date, pachetele de date sunt schimbate între nodurile A și B pe un canal de comunicație duplex. Pachetele ajung la punctele sistemului de la abonați cu intervale de timp între ei de 10 ± 3 ms. Transferul pachetului durează 10 ms. Paragrafele au registre tampon care pot stoca două pachete, inclusiv pe cel transmis. În cazul unui pachet care sosește în momentul în care registrele sunt ocupate, punctele de sistem sunt prevăzute cu o ieșire către linia de comunicație half-duplex prin satelit, care transmite pachete de date în 10 ± 5 ms. Când linia de satelit este ocupată, pachetul este respins. Simulați schimbul de informații în sistemul de transmisie de date timp de 1 min. Determinați frecvența apelurilor către linia de satelit și încărcarea acesteia. În cazul posibilității de defecțiuni, determinați volumul de registre tampon necesare pentru funcționarea fără defecțiuni a sistemului.
11 Să presupunem că sistemul standard este utilizat la o centrală telefonică cu o singură intrare: dacă abonatul este ocupat, atunci coada nu este formată și este necesar să apelați din nou. Simulați situația: trei abonați încearcă să sune același proprietar al numărului și, dacă reușesc, vorbesc cu el pentru un timp (aleatoriu ca durată). Care este probabilitatea ca cineva care încearcă să nu poată face acest lucru într-un anumit timp T.
12 Societatea comercială are în vedere onorarea comenzilor de cumpărare a mărfurilor prin telefon, pentru care este necesară instalarea unei minicentrale telefonice automate adecvate cu mai multe telefoane. Dacă o comandă vine când toate liniile sunt ocupate, atunci clientul este respins. Dacă în momentul primirii cererii cel puțin o linie este liberă, atunci se face trecerea la această linie și se plasează comanda. Intensitatea fluxului de aplicații de intrare este de 30 de comenzi pe oră. Timpul de procesare pentru o cerere este în medie de 5 minute. Defini număr optim canale de servicii pentru a asigura starea de funcționare staționară a QS.
13 În magazinul cu autoservire sunt 6 casierii. Fluxul de intrare de cumpărători respectă legea lui Poisson cu o intensitate de 120 persoane/oră. Un casier poate servi 40 de persoane pe oră. Determinați probabilitatea unei perioade de nefuncționare a casieriei, numărul mediu de clienți în coadă, timpul mediu de așteptare și numărul mediu de casiere ocupate. Oferiți o evaluare a activității CMO.
14 Magazinul cu autoservire primește un flux Poisson cu o rată de 200 de cumpărători pe oră. În timpul zilei, acestea sunt deservite de 3 casiere cu o intensitate de 90 de clienți pe oră. Intensitate flux de intrareîn orele de vârf, se ridică la 400 de clienţi pe oră, iar în orele de recesiune, ajunge la 100 de clienţi pe oră. Determinați probabilitatea de a sta la coadă în magazin și lungimea medie a cozii în timpul zilei, precum și numărul de casiere-dame necesare în timpul orelor de vârf și de descreștere pentru a asigura aceeași lungime de coadă și probabilitate de așteptare ca și în modul nominal.
15 Numărul mediu de clienți care sosesc la un centru de decontare într-un magazin cu autoservire este de 100 de persoane/oră. Casiera poate deservi 60 de persoane pe oră. Simulați procesul și determinați de câte casiere sunt necesare, astfel încât probabilitatea unei cozi să nu depășească 0,6.
16 Efectuați o simulare a unei cozi într-un magazin cu un singur vânzător conform legilor de distribuție la fel de probabile a variabilelor aleatoare: sosirea clienților și durata serviciului (pentru un anumit set fix de parametri). Obține caracteristici stabile: valorile medii ale clientului care așteaptă la coadă și timpul de inactivitate al vânzătorului de așteptare a cumpărătorilor. Evaluați fiabilitatea acestora.
17 Simulați o coadă într-un magazin cu un singur vânzător în conformitate cu legile Poisson de distribuție a variabilelor aleatoare: sosirea clienților și durata serviciului (pentru un anumit fix pe o grămadă de parametri). Obține caracteristici stabile: valorile medii ale clientului care așteaptă la coadă și timpul de inactivitate al vânzătorului de așteptare a cumpărătorilor. Evaluați fiabilitatea acestora.
18 Creați un model al benzinăriei. Găsiți valorile calității serviciilor. Determinați numărul de rafturi, astfel încât coada să nu crească.
19 Numărul mediu de cumpărători care intră într-un magazin cu autoservire este de 60 pe oră. Casiera poate deservi 35 de persoane pe oră. Simulați procesul și determinați de câte casiere sunt necesare, astfel încât probabilitatea unei cozi să nu depășească 0,6.
20 Proiectați un model de rută de autobuz cu n stații. Determinați indicatorii eficacității utilizării CMO.

Procesul aleator Markov cu stări discrete și timp continuu luat în considerare în prelegerea anterioară are loc în sistemele de așteptare (QS).

Sisteme de așteptare - sunt sisteme în care cererile de servicii ajung la momente aleatorii, în timp ce cererile primite sunt deservite folosind canalele de servicii disponibile sistemului.

Exemple de sisteme de așteptare sunt:

• centre de decontare și numerar în bănci, la întreprinderi;
• calculatoare personale care servesc aplicații primite sau cerințe pentru rezolvarea anumitor probleme;
• stații de service auto; Benzinărie;
• firme de audit;
• departamente inspectoratele fiscale se ocupă de acceptarea și verificarea raportării curente a întreprinderilor;
• centrale telefonice etc.

	Noduri	Cerințe
Spital	Comandante	Pacienții
Productie
Un aeroport	Ieșiri pe pistă Puncte de înregistrare	Pasagerii

Să luăm în considerare schema de lucru a QS (Fig. 1). Sistemul este format dintr-un generator de cereri, un dispecer și un nod de service, o unitate de măsurare a refuzului (terminator, distrugător de comenzi). Un nod de serviciu poate avea în general mai multe canale de servicii.

Orez. 1

1. Generator de cereri - un obiect care generează aplicații: o stradă, un atelier cu unități instalate. Intrarea primește fluxul de aplicații(fluxul de clienți către magazin, fluxul de unități sparte (mașini, mașini-unelte) pentru reparații, fluxul de vizitatori către garderobă, fluxul de mașini către benzinărie etc.).
2. Dispecer - o persoană sau un dispozitiv care știe ce să facă cu aplicația. Un nod care reglementează și direcționează cererile către canalele de servicii. Dispecer:

• acceptă cereri;
• formează o coadă dacă toate canalele sunt ocupate;
• îi direcționează către canalele de servicii, dacă sunt disponibile;
• refuză cererile (din diverse motive);
• primește informații de la nodul de serviciu despre canalele gratuite;
• monitorizează timpul de funcționare a sistemului.

1. Coadă - acumulator de aplicatii. Este posibil să nu existe coadă.
2. Nod de serviciu constă dintr-un număr finit de canale de servicii. Fiecare canal are 3 stări: liber, ocupat, nu funcționează. Dacă toate canalele sunt ocupate, atunci puteți veni cu o strategie pentru cui să trimiteți solicitarea.
3. Refuz de la serviciu apare dacă toate canalele sunt ocupate (unele dintre ele pot să nu funcționeze).

Pe lângă aceste elemente de bază din CMO, unele surse disting și următoarele componente:

terminator - distrugătorul tranzacțiilor;

depozit - acumulator de resurse și produse finite;

cont contabil - pentru efectuarea de tranzacții de tip „înregistrare”;

manager - manager de resurse;

Clasificarea OCM

Prima diviziune (prin prezența cozilor):

• CMO cu eșecuri;
• CMO cu o coadă.

V CMO cu refuzuri o solicitare care sosește într-un moment în care toate canalele sunt ocupate primește un refuz, părăsește QS și nu este deservită în viitor.

V CMO cu o coadă o solicitare care sosește într-un moment în care toate canalele sunt ocupate nu pleacă, ci intră în coadă și așteaptă oportunitatea de a fi servită.

Cozile sunt împărțite în diferite tipuri în funcție de modul în care este organizată coada, - limitat sau nelimitat... Restricțiile se pot referi atât la lungimea cozii, cât și la timpul de așteptare, „disciplina de serviciu”.

Deci, de exemplu, sunt luate în considerare următoarele QS:

• QS cu cereri nerăbdătoare (lungimea cozii și timpul de service sunt limitate);
• QS cu serviciu prioritar, adică unele cereri sunt servite în afara rândului etc.

Tipurile de restricții la coadă pot fi combinate.

O altă clasificare împarte OCM în funcție de sursa aplicațiilor. Cererile (cerințele) pot fi generate de sistemul în sine sau de un mediu extern care există independent de sistem.

Desigur, fluxul de aplicații generat de sistemul însuși va depinde de sistem și de starea acestuia.

În plus, CMO-urile sunt împărțite în deschis CMO și închis CMO.

Într-un QS deschis, caracteristicile fluxului de aplicații nu depind de starea QS-ului în sine (cate canale sunt ocupate). Într-un QS închis, ele depind. De exemplu, dacă un muncitor deservește un grup de mașini care din când în când necesită ajustare, atunci intensitatea fluxului de „cerințe” din partea mașinilor depinde de câte dintre ele funcționează deja corect și așteaptă ajustarea.

Un exemplu de sistem închis: plata unui salariu de către un casier la o întreprindere.

După numărul de canale, CMO-urile sunt împărțite în:

• monocanal;
• multicanal.

Caracteristicile sistemului de așteptare

Principalele caracteristici ale unui sistem de așteptare de orice fel sunt:

• fluxul de intrare al cererilor primite sau al cererilor de servicii;
• disciplina la coada;
• mecanism de service.

Flux de intrare de cerințe

Pentru a descrie fluxul de intrare, trebuie să setați o lege probabilistică care determină succesiunea de momente în care sosesc cererile de servicii,și indicați numărul de astfel de cereri în fiecare admitere obișnuită. În acest caz, de regulă, ele operează cu conceptul de „repartizare probabilistică a momentelor de primire a creanțelor”. Aici ei pot face ca cerințe individuale și de grup (numărul de astfel de cereri în fiecare admitere succesivă). În acest din urmă caz, vorbim de obicei despre un sistem de servicii cu serviciu în grup paralel.

A i- ora de sosire între cereri - variabile aleatoare independente distribuite identic;

E (A)- timpul mediu (MO) de admitere;

λ = 1 / E (A)- intensitatea primirii cererilor;

Caracteristicile fluxului de intrare:

1. O lege probabilistică care determină succesiunea timpilor de primire a cererilor de servicii.
2. Numărul de cereri în fiecare sosire succesivă pentru fluxuri de grup.

Disciplina la coada

Coadă - un set de cerințe care așteaptă serviciul.

Coada are un nume.

Disciplina la coada definește principiul conform căruia cererile care ajung la intrarea sistemului de deservire sunt conectate din coadă la procedura de service. Cele mai frecvent utilizate discipline de coadă sunt definite de următoarele reguli:

• primul venit, primul servit;

primul intrat primul ieşit (FIFO)

cel mai comun tip de coadă.

Ce structură de date ar fi potrivită pentru a descrie o astfel de coadă? Matricea este proastă (limitată). Puteți utiliza o structură de tip LIST.

Lista are un început și un sfârșit. Lista constă din intrări. O înregistrare este o celulă dintr-o listă. Solicitarea ajunge la sfârșitul listei și este selectată pentru serviciu de la începutul listei. Înregistrarea constă din caracteristicile aplicației și ale link-ului (un indicator al cine este în spate). În plus, dacă coada are o limită de timeout, atunci trebuie specificată și limita de timeout.

În calitate de programatori, ar trebui să puteți face liste cu două fețe, cu o singură față.

Listează acțiuni:

• introduceți în coadă;
• ia de la început;
• eliminați din listă după expirarea timpului.
• a venit ultimul - servit primul LIFO (clip pentru cartușe, fundătură la gară, a intrat într-un vagon plin).

O structură cunoscută sub numele de STACK. Poate fi descris printr-o matrice sau o structură de listă;

• selecția aleatorie a aplicațiilor;
• selectarea aplicatiilor dupa criteriul de prioritate.

Fiecare aplicație se caracterizează, printre altele, printr-un nivel de prioritate și, la sosire, este plasată nu în coada cozii, ci la sfârșitul grupului său de prioritate. Dispeceratul sortează după prioritate.

Caracteristicile cozii

• prescripţietimp de asteptare momentul începerii serviciului (există o coadă cu un timp limitat de așteptare pentru serviciu, care este asociată cu conceptul de „lungime admisibilă a cozii”);
• lungimea cozii.

Mecanism de service

Mecanism de service este determinată de caracteristicile procedurii de service în sine și de structura sistemului de servicii. Caracteristicile procedurii de întreținere includ:

• numărul de canale de servicii ( N);
• durata procedurii de deservire (distribuția probabilistică a timpului de gestionare a daunelor);
• numărul de revendicări satisfăcute ca urmare a fiecărei astfel de proceduri (pentru cererile de grup);
• probabilitatea de defecțiune a canalului de servire;
• structura sistemului de servicii.

Pentru o descriere analitică a caracteristicilor procedurii de service, se operează cu conceptul de „distribuție probabilistică a timpului de deservire a clienților”.

S i- timpul de service i cerinţele;

E (S)- timpul mediu de service;

μ = 1 / E (S)- viteza cererilor de service.

Trebuie remarcat faptul că timpul de serviciu al unei cereri depinde de natura cererii în sine sau de cerințele clientului și de starea și capacitățile sistemului de deservire. În unele cazuri, este de asemenea necesar să se țină cont probabilitatea de defectare a canalului de serviciu după un anumit interval de timp limitat. Această caracteristică poate fi modelată ca un flux de defecțiuni care intră în QS și au prioritate față de toate celelalte aplicații.

Rata de utilizare a CMO

N· Μ este rata de service în sistem când toate dispozitivele de service sunt ocupate.

ρ=λ/( Nμ) se numește coeficientul de utilizare al sistemului , arată cât de mult sunt implicate resursele sistemului.

Structura sistemului de servicii

Structura sistemului de servicii este determinată de numărul și aranjarea reciprocă a canalelor de servicii (mecanisme, dispozitive etc.). În primul rând, trebuie subliniat că un sistem de servicii poate avea nu un canal de servicii, ci mai multe; un astfel de sistem este capabil să satisfacă mai multe cerințe simultan. În acest caz, toate canalele de servicii oferă aceleași servicii și, prin urmare, se poate susține că există serviciu paralel .

Exemplu. Ghișee de casă în magazin.

Sistemul de servicii poate consta din mai multe tipuri diferite de canale de servicii prin care trebuie să treacă fiecare cerință de serviciu, adică în sistemul de servicii. procedurile de service pentru clienți sunt implementate secvenţial ... Mecanismul serviciului definește caracteristicile fluxului de cereri de ieșire (servite).

Exemplu. Comisia medicală.

Serviciu combinat - deservirea depozitelor la banca de economii: mai întâi controlorul, apoi casierul. De regulă, există 2 controlori pentru un casier.

Asa de, funcționalitatea oricărui sistem de așteptare este determinată de următorii factori principali :

• distribuția probabilistică a timpilor de primire a cererilor de servicii (singure sau de grup);
• puterea sursei cerințelor;
• distribuția probabilistică a duratei serviciului;
• configurarea sistemului de servicii (serviciu paralel, serial sau paralel-serial);
• numărul și performanța canalelor de difuzare;
• disciplina cozii.

Principalele criterii de eficacitate a funcționării QS

La fel de principalele criterii de eficacitate a funcţionării sistemelor de aşteptare în funcție de natura problemei care se rezolvă, pot exista:

• probabilitatea de deservire imediată a cererii primite (P obsl = K obs / K post);
• probabilitatea refuzului de a deservi cererea primită (P deschis = K deschis / K post);

Evident, P obsl + P obt = 1.

Fluxuri, întârzieri, întreținere. Formula Pollachek-Khinchin

Întârziere - unul dintre criteriile pentru deservirea QS, timpul petrecut de aplicație în așteptarea service-ului.

D i- întârziere în coada de cereri i;

W i = D i + S i- timpul petrecut în sistemul cerinței i.

(cu probabilitatea 1) este întârzierea medie în stare de echilibru a unei cereri în coadă;

(cu probabilitate 1) - timpul mediu în stare de echilibru petrecut de cerere în CMO (în așteptare).

Q (t) - numărul de cereri din coadă la un moment dat t;

L (t)– numărul de cereri din sistem la un moment dat t(Q (t) plus numărul de cereri care sunt în serviciu la un moment dat t.

Apoi indicatorii (dacă există)

(cu probabilitate 1) - stare constantă de timp-număr mediu de cereri în coadă;

(cu probabilitate 1) - număr mediu de cereri în stare constantă în sistem.

Rețineți că ρ<1 – обязательное условие существования d, w, Qși Lîn sistemul de aşteptare.

Reamintind că ρ = λ / ( Nμ), atunci se vede că dacă intensitatea sosirii cererilor este mai mare decât Nμ, atunci ρ> 1 și este firesc ca sistemul să nu poată face față unui astfel de flux de cereri și, prin urmare, nu putem vorbi despre valori d, w, Qși L.

Cele mai generale și necesare rezultate pentru sistemele de așteptare includ ecuațiile de conservare

Trebuie menționat că criteriile menționate mai sus pentru evaluarea performanței sistemului pot fi calculate analitic pentru sistemele de așteptare. L/M/N(N> 1), adică sisteme cu fluxuri Markov de revendicări și servicii. Pentru M/G/ l pentru orice distribuție Gși pentru alte sisteme. În general, distribuția timpului între sosiri, distribuția timpului de serviciu sau ambele aceste cantități trebuie să fie exponențială (sau un fel de distribuție Erlang exponențială de ordin k-lea) pentru ca o soluție analitică să devină posibilă.

În plus, puteți vorbi și despre caracteristici precum:

• debitul absolut al sistemului - A = P obsl * λ;
• debitul relativ al sistemului -

Un alt exemplu interesant (și ilustrativ) de soluție analitică – calculul întârzierii medii la cozi de aşteptare pentru un sistem de aşteptare M/G/ 1 prin formula:

.

În Rusia, această formulă este cunoscută ca formula Pollachek – Khinchin, în străinătate această formulă este asociată cu numele de Ross (Ross).

Astfel, dacă E (S) este mai important, apoi suprasarcina (în acest caz măsurată ca d) va fi mai mare; ceea ce este de așteptat. Formula relevă și un fapt mai puțin evident: aglomerația crește și atunci când variabilitatea distribuției timpului de serviciu crește, chiar dacă timpul mediu de serviciu rămâne același. Intuitiv, acest lucru poate fi explicat după cum urmează: variația variabilei aleatoare a timpului de serviciu poate lua o valoare mare (deoarece trebuie să fie pozitivă), adică singurul dispozitiv de service va fi ocupat perioadă lungă de timp, ceea ce va duce la o creștere a cozii.

Subiectul teoriei cozilor este stabilirea relației dintre factorii care determină funcționalitatea sistemului de așteptare și eficiența funcționării acestuia. În cele mai multe cazuri, toți parametrii care descriu sistemele de așteptare sunt variabile sau funcții aleatorii, prin urmare aceste sisteme sunt denumite sisteme stocastice.

Natura aleatorie a fluxului de revendicări (revendicări), precum și, în cazul general, durata serviciului duce la faptul că în sistemul de așteptare are loc un proces aleatoriu. Prin natura procesului aleator care apar în sistemul de așteptare (QS), distinge Sisteme Markov și non-Markov ... În sistemele Markov, fluxul de cereri de intrare și fluxul de ieșire de cereri deservite (revendicări) sunt Poisson. Fluxurile Poisson îl fac ușor de descris și construit model matematic sisteme de asteptare. Aceste modele au destule solutii simple, prin urmare, majoritatea aplicațiilor binecunoscute ale teoriei cozilor de așteptare folosesc schema Markov. În cazul proceselor non-Markov, problemele studierii sistemelor de așteptare devin mult mai complicate și necesită utilizarea modelării statistice, a metodelor numerice folosind calculatoare.