Trei elemente de bază ale teoriei întreținerii în masă. Elemente ale teoriei proceselor aleatorii și a teoriei întreținerii de masă

Cu activitatea sistemelor specifice numite sisteme serviciul de masă (SMO), trebuie să vă confruntați în fiecare zi. Exemple de astfel de SMO sunt stațiile de telefon, serviciile de reparații, birourile de bilete, cărți de referință, magazine, farmacii, coafor, adică orice sisteme destinate serviciului (într-un fel sau altul) de un anumit flux de aplicații (sau "cerințe"), de intrare la unii, în general, momente aleatorii de timp.

Fiecare SMO este alcătuit dintr-un anumit număr de unități de servire (sau "dispozitive"), numit canale de service. Canalele pot fi linii de comunicare, ascensoare, vânzători, casieri etc.

Timpul de serviciu al fluxului de aplicații durează unii, de regulă, aleatoriu, perioadă de timp, după care canalul este eliberat și gata pentru primirea următoarei aplicații. Caracterul aleatoriu al fluxului de aplicații și orele de serviciu conduce la faptul că, în anumite perioade de timp la intrarea la SMO, coada creează, la celelalte perioade ale SMO va lucra cu subrugerea.

Astfel, procesul de lucru OCP este un proces aleatoriu cu stări discrete și timpuri continue: statul OCP modifică saltul la momentele de sosire a noii aplicații sau la sfârșitul serviciului (clientul a venit - clientul a rămas).

Subiectul teoriei de întreținere în masă (TMO) este construcția de modele matematice care leagă aceste condiții pentru funcționarea SMO (natura fluxului de aplicații, numărul de canale și performanța acestora, disciplina de întreținere) cu indicatori de eficiență a SMO .

Diferite caracteristici pot fi utilizate ca astfel de indicatori: numărul mediu de aplicații servite pe unitate de timp; Numărul mediu de canale ocupate; Probabilitatea de a menține refuzul.

Luați în considerare următorul exemplu.

Lăsați-o să fie o farmacie care servește mai multor angajați (canale de serviciu). Clienții care atrag pentru medicamente formează un debit. Imaginați-vă că cumpărătorul a fugit în farmacie, gata să achiziționeze un medicament scump, dar nu are

timp sau dorința de a sta în linie. Este necesar să se calculeze probabilitatea ca acesta să nu fie întreținut - pentru că dacă majoritatea clienților pleacă fără să cumpere, este puțin probabil să păstreze farmacia deloc. De asemenea, este util să cunoaștem gradul de încărcare a fiecărui angajat, aceasta caracterizează rentabilitatea farmaciei. Ca număr de clienți potențiali și timpul de serviciu aleatoriu, sarcina este decisă nu doar.

În exemplul plecării clientului, dacă serviciul său nu a început imediat, arată oarecum artificial - majoritatea cumpărătorilor pot aștepta. Cu toate acestea, dacă în loc de o farmacie, luați în considerare PBX (schimbul telefonic automat), iar serviciul este considerat durata conversației telefonice, apoi se efectuează starea menționată mai sus.

Dacă rezuma de la umplerea reală a modelelor SMO (atelier, farmacie, PBX, ascensoare în casă etc.), CMO poate fi descrisă prin specificarea următoarelor componente (figura 9.1):

1. Cerințe comune.

2. coada dispărută.

3. Serviciul de mecanism.

4. În fluxul cerințelor.

Smochin. 9.1.Modelul teoriei de întreținere de masă

În unele sisteme, lipsește "coada".

SMO este împărțit în clase pentru o serie de semne, de exemplu, cu eșecuri (ca în telefonie) și așa cu coadă. În practică, este mai frecventă și are o valoare mai mare a fumului cu coada de așteptare: Nu e de mirare că TMO este uneori numită "teoria coadă". În SMO-ul cu coada de coadă, durata de coadă și / sau timpul de așteptare poate fi limitată sau nu are restricții; Serviciul poate fi cu prioritate sau fără ea, în ordinea de primire sau aleatorie.

Prioritatea poate fi absolut sau relativ.

SMOU poate fi deschis și închis. În primul rând - fluxul de aplicații nu depinde de starea SMO în sine (câte canale sunt ocupate), în

al doilea depinde. Exemplu - Ajustarea mașinilor unelte într-un singur muncitor. Aici, intensitatea "cerințelor" de la mașini depinde de cât de mult sunt deja defecte.

Clasificarea CLO nu se limitează la soiuri.

Revenind la componentele SMO, ia în considerare mai detaliat fluxul de intrare cerințele ca fiind unul dintre cele mai importante concepte ale TMO.

Fluxul de cerințese numește combinația de aplicații pentru întreținerea sistemului de service. Ar putea firegulatsau stochastic.(adică aleatoriu). În primul caz, cerințele sunt urmate între ele la intervale egale, în al doilea caz, momentele apariției cerințelor - variabile aleatoare.

O caracteristică importantă a fluxului de cerințe este ea intensitate - numărul mediu de cerințe introduse în sistem pe unitate. Pentru fluxul regulat În cazul general, intensiv

poate fi atât constantă cât și dependentă de t. De exemplu, fluxul de mașini pe timp de noapte nu este atât de intens ca ziua.

Se numește fluxul de intrare staționar dacă probabilitatea primirii unui anumit număr de cerințe într-o anumită perioadă de timp depinde numai De la lungimea acestui decalaj.

În special, fluxul de timbre de intensitate ar trebui să fie constant, adică. in medie La intervale de lungime egală ar trebui să fie același număr de cerințe.

Proprietatea staționară are numeroase fluxuri reale de flux, cel puțin într-o zonă limitată de timp (sarcina pe schimbările PBX în timpul zilei, dar nu între, să zicem ora și două).

Fluxul de cerințe se numește flux fără amerisie dacă pentru orice moment non-ciclu numărul de cerințe

facturile introduse în sistem, nu depind de câte cerințe au fost primite de-a lungul intervalului.

Cu alte cuvinte, trecutul nu afectează prezentul! De fapt, aceasta înseamnă că cerințele care formează fluxul apar în acelea sau alte momente independent unul de celălalt (cum ar fi, de exemplu, fluxul de pasageri inclus în metrou).

Lăsați valoarea relevantă valoarea numărului de cerințe privind intervalul.

Firul este numit comun în cazul în care o

observa asta

unde

În fluxul obișnuit, apariția a două și mai multe cerințe într-o perioadă scurtă de timp este aproape imposibilă. Streamul clienților din farmacie este, de obicei, obișnuit.

Fluxul de revendicări este numit mai simplu Dacă el este staționar, obișnuit și nu are o amerorare. Gândurile de acest tip sunt adesea găsite în practică. Termenul "cel mai simplu" este asociat cu o descriere matematică simplă a acestor fluxuri.

Se poate demonstra că pentru cel mai simplu flux, numărul de cerințe în momentul timpului t. Distribuit de legea Poisson cu parametrul (a se vedea clauza 7.2.1), adică.

Stationaritatea și lipsa de amerisie sunt ascultătoare, ordinare (adică, condiție (9.1)) rezultă din egalitate

care pot fi verificate în funcție de regula de lopital.

Parametrul x aici caracterizează intensitatea fluxului. Într-adevăr,

Cel mai simplu flux este, de asemenea, numit staționar poisson.

Exemplul 1.Luați în considerare configurarea mașinilor unelte într-un singur lucrător. Se presupune că toate mașinile sunt aproximativ în aceeași stare (acesta din urmă asigură staționarul fluxului de defecțiuni). Probabilitatea defecțiunilor unei mașini este mică (două, trei etc. - cu atât mai mult) - de aici obișnuită. În plus, dacă există o mulțime de mașini și timpul mediu de reparație nu este suficient, atunci putem presupune că fluxul de defalcare nu are o amerorare. Cu alte cuvinte, el este cel mai simplu.

Decizie.Lăsați intensitatea defalcări / h. Cu formula (9.2)

pentru și t. \u003d 1 Găsiți probabilitatea k. Defalsuri pentru o oră

Să facem masă. 9.1.Tabelul 9.1.

k.

....

p k (1)

0,05

0,15

0,22

0,22

0,17

0,05

....

Următorul concept important al TMO este timpul de serviciu.

Este caracteristică funcționării fiecărui canal individual al sistemului de servire și reflectă lățimea de bandă. Timpul de serviciu este o valoare aleatorie.

Pentru simplitate, vom lua în considerare sistemul constând din același tip de dispozitive de servire care au dreptul general Distribuție. În acest caz, presupunem că această lege de distribuție este indicativă, cu funcția de distribuție a timpului de serviciu (a se vedea formula (7.19))

Parametrul (similar cu parametrii debitului) determină intensitatea întreținerii; Valoarea este un timp mediu de serviciu. t. O aplicație:

Legea indicativă are o importanță deosebită atât în \u200b\u200bstudiile teoretice, cât și în multe aplicații. Proprietatea sa cea mai importantă este că, cu această lege a distribuției serviciului, timpul de serviciu rămas nu depinde de cât timp a durat deja serviciul.

Apoi, descriem pe scurt sistemul de întreținere de masă cu canale I cu defecțiuni. Aceasta este sarcina "clasică" a TMO, care a apărut de la nevoile practice de telefonie și a fost rezolvată la începutul secolului al XX-lea de matematicianul danez Elang. Sarcina este așa.

Disponibil i. canalele că cel mai simplu flux de aplicații cu intensitatea X. Dacă la momentul primirii următoarei cerințe există cel puțin un aparat liber, apoi oricare dintre dispozitivele

ușor de venit la serviciu. În caz contrar, aplicația primește un refuz și lasă sistemul.

Toate canalele funcționează independent unul de celălalt și de la fluxul de intrare.

Timpul de serviciu al fiecărei cerințe este distribuit în conformitate cu legea orientativă (a se vedea (9.3)) cu parametrul (adică timpul mediu de serviciu ). Este necesar să se găsească caracteristicile eficienței SMO în modul staționar (instalat), adică, cu o creștere nelimitată în timpul său. Mai precis, suntem interesați de:

. DAR- lățime de bandă absolută, adică numărul mediu de aplicații servite pe unitate de timp;

Lățime de bandă relativă sau ponderea medie a aplicațiilor deservite de sistem;

. P Otv. - probabilitatea refuzului sau că cererea va părăsi SMO-ul fără ascultare;

Numărul mediu de canale ocupate;

. - probabilitatea care este angajată k. canale și, în special, P 0. - probabilitatea de nefuncționare a sistemului;

. - rata de angajare a canalelor în procente (%);

.
- Coeficientul de inactivitate al canalului

în procente (%). Denota

Valoarea și se numește de obicei "intensitatea fluxului de aplicații" și semnificația sa este numărul mediu de aplicații care vin pentru timpul mediu de întreținere a aceleiași aplicații. Folosind această denumire, puteți arăta că probabilitatea P 0. că totul i. Canalele sunt gratuite, exprimate prin formula:

și probabilitate au un fel

Formule (9.6), (9.7) Pentru probabilitate R K. numit formule erlang - în onoarea fondatorului TMO. Cu ajutorul lor, puteți calcula restul caracteristicilor SMO. Deci, probabilitatea Într-adevăr, pentru ca solicitantul să primească un eșec, este necesar pentru toți i. Canalele erau ocupate. Asa de,

De aici găsim o lățime de bandă relativă, adică probabilitatea ca aplicația să fie servită:

Lățimea de bandă absolută este obținută prin înmulțirea intensității fluxului de aplicații Î:

Numărul mediu de canale ocupate pentru a determina așteptările matematice, luând în considerare formulele (9.6) și (9.7), este egală

Rețineți că, cunoașterea probabilității de refuz În funcțiune

sistemul S. i. Canale de serviciu (a se vedea (9.8)), similare cu sistemul canalul poate fi calculat folosind egalitatea egală

Dăm două exemple folosind teoria considerată. Exemplul 2. Să fie un PBX cu cinci linii de comunicare. Fluxul de apeluri care intră în PBX se presupune că este simplu cu intensitate. apelați pe minut, iar timpul de conversație - distribuit în conformitate cu legea indicativă cu un timp de convorbire medie \u003d 2 min. Se presupune, de asemenea, că cerința primește un refuz dacă toate cele 5 linii sunt ocupate la sosirea sa. Este necesar să se calculeze principalele caracteristici ale eficienței SMO în modul constant.

De aici, concluzionăm că, pe PBX, în medie există 2 linii din 5, fiecare linie este încărcată doar cu 39%, aproximativ 4 apeluri de la 100. Astfel, PBX funcționează prea eficient și este foarte posibil să se reducă Numărul total de linii și (sau) pentru a mări intensitatea fluxului de aplicații.

Exemplul 3.Următorul exemplu ne întoarce la sarcina eficacității farmaciei. Permiteți-mi să am o farmacie cu personalul de servicii de 3 persoane. Examenul statistic a arătat că numărul mediu de clienți care adaug la farmacie într-o oră este egal cu 24, iar timpul mediu de serviciu al fiecărui client durează 5 minute. Aflați ce este probabilitatea pe care nu o puteți servi (se presupune că, dacă toate ferestrele sunt ocupate, clientul merge) și cât de mult vânzători sunt încărcați de muncă.

Decizie.Presupunem că clienții formează cel mai simplu flux (dacă farmacia este situată pe un loc crud, poate fi euristică de a fi fundamentată) și vom folosi formulele lui Erlan pentru a rezolva.

Se pare că un vânzător poate fi chiar redus. Calculele efectuate, totuși, acest lucru nu este confirmat. Într-adevăr, folosind formula (9.12), vom găsi

Astfel, încărcarea fiecăruia dintre cei doi vânzători rămași va crește ușor (de la 0,53 la 1/2. 1.2 \u003d 0,6 zi de lucru), dar coeficientul de "eficiență" al farmaciei va scădea de la 0,79 la 0,6, deoarece în situația actuală , numai 60% vor fi servite ((1 - 0.4). 100%) de clienți potențiali și nu cu 79%, după trei furnizori.

Modele teorii de întreținere de masă

Teoria întreținerii în masă este o zonă de matematică aplicată utilizând metodele teoriei proceselor aleatorii și a teoriei probabilității de a studia diferitele naturi ale sistemelor complexe. Teoria întreținerii în masă nu este direct legată de optimizare. Numirea sa este cea bazată pe rezultatele observațiilor "intrarea" sistemului de a-și anticipa capacitățile și de a organiza cel mai bun serviciu pentru o anumită situație și de a înțelege modul în care acesta din urmă va reflecta asupra costului sistemului ca întreg.

Modele teorii de întreținere de masă Descrieți procesul de cerere în masă pentru întreținere, luând în considerare natura aleatorie a primării cerințelor și duratei serviciului.

Scopul modelelor de teorie a serviciului de masă este de a prezice posibilitatea unui sistem de service, pe baza informațiilor despre un flux alator de cerințe primite, pentru a organiza cea mai bună conformitate cu situația specifică și pentru a evalua modul în care acest lucru va afecta valoarea acesteia .

Sistemul de întreținere de masă (SMO) apare atunci când există o aspect masiv de aplicații (cerințe) pentru întreținere și satisfacția lor ulterioară.

O caracteristică a OCP este natura aleatorie a fenomenelor studiate. Exemplu tipic de SMO - rețeaua de telefon (cu îndepărtarea tubului din pârghia telefonică, abonatul oferă o aplicație pentru menținerea unei conversații pe una dintre liniile de rețea telefonică).

Elementele principale ale SMO sunt:

Ajutorul primitor al cererilor (cerințelor) pentru întreținere;

Coadă pentru aplicații de service;

Instrumente (canale) de întreținere;

Fluxul emergent al aplicațiilor servite (Figura 8.5).

Un astfel de element al SMO ca o coadă poate fi absent în unele sisteme, dar, în același timp, SMO poate avea alte elemente, de exemplu, fluxul emergent al aplicațiilor nereservite.

Pentru sistemele legate de sistemele de întreținere de masă, există o anumită clasă de sarcini, a căror soluție vă permite să răspundeți, de exemplu, la următoarele întrebări:

Figura 8.5 - Schema Generalizată pentru Smur

Ce intensitate ar trebui să se desfășoare întreținerea sau ar trebui să se efectueze procesul la o anumită intensitate și la alți parametri ai fluxului de intrare de cerințe pentru a minimiza coada sau întârzierea în pregătirea unui document sau a altor tipuri de informații?

Care sunt probabilitatea apariției unei întârzieri sau a unei coadă și a valorii acesteia? Cât de mult timp este în linie și cum să minimizeze întârzierea lui?

Care este probabilitatea de pierdere a cererii (client)?

Care ar trebui să fie încărcarea optimă a canalelor de servire? Care sunt parametrii sistemului Pierderea minimă a profitului sunt realizate?

Puteți adăuga o serie de sarcini în această listă.

Ca sistem de servicii de masă, pot fi prezentate următoarele lucrări și procese: Aeroporturile aeroporturilor de la Aeroportul, serviciul auto la stațiile de benzină, navele de descărcare pe PPS, cumpărătorii de întreținere în magazine, primind pacienți în clinică, servicii pentru clienți în magazinul de reparații etc.

De multe ori fluxul de aplicații de intrare Acesta este prezentat sub forma celui mai simplu flux cu proprietatea staționarității, lipsa consecințelor și obiceiurilor.

Streamul este staționar dacă modul probabil nu depinde de timp. Deschiderea fluxului apare dacă probabilitatea a două și mai multe aplicații în intervalul de timp τ este o valoare infinit de scăzută comparativ cu τ. Fluxul are absența absenței consecințelor dacă primirea de aplicații nu depinde de preistorul procesului.

Pentru cel mai simplu flux, primirea de aplicații în OCP este descrisă de legea distribuției Poisson

P k ( τ ) ,

unde rk ( τ ) - Wellitatea primirii de aplicații pentru timp τ ;

λ - intensitatea fluxului de intrare.

O proprietate importantă pentru a studia, pe care Poisson are fluxul, este că procedura de separare și asociere oferă din nou fluxurile Poisson. Apoi, dacă fluxul de intrare este format din N.surse independente, fiecare dintre acestea generează intensitatea fluxului Poisson λ i (i \u003d 1, 2, ..., n), atunci intensitatea sa va fi determinată prin formula

λ = λ L +. λ 2 +...+ λ N.

În cazul separării fluxului Poisson pe firele independente N, obținem că intensitatea fluxului λ Voi fi egal cu r i λ unde r i este ponderea fluxului I-Th flux de intrare cerințe.

Coada este o mulțime de aplicații (cerințe) care așteaptă serviciul.

În funcție de admisibilitatea și natura formării coadă, sistemul de întreținere în masă este împărțit:

1. CLO cu defecțiuni - Formarea coadă nu este permisă, deci aplicația care a venit în momentul în care canalele sunt ocupate, primește un eșec și este pierdut. Exemplu: PBX (execuția comenzilor pentru o anumită perioadă), sistemul de apărare aeriană al obiectului (obiectivul din zona de bomboană este puțin timp).

2. SMO cu o așteptare nelimitată - aplicația primită, făcând toate dispozitivele de servire ocupate, devine coadă și așteptări pentru serviciu. Numărul de locuri de așteptat (lungimea coadă) nu este limitat. Nu se limitează la timpul de așteptare. Exemplu: Întreprinderile de servicii de uz casnic, cum ar fi watches reparații ateliere, pantofi.

3. Tip mixt SM. Aceste sisteme au o coadă,
care restricții sunt suprapuse. De exemplu: pentru lungimea maximă a coadă (tip - cu limitată la) sau la momentul așteptării aplicației în coadă (tip N cu limitată în). Exemple de tip de tip SM sunt ateliere de lucru pe repararea echipamentelor radio cu zone limitate de stocare. Puncte de tranzacționare pentru vânzarea de fructe, legume care pot fi stocate timp limitat sunt mixte de tip Smu II.

Procedura de primire a cererilor de servicii se numește Serviciul de disciplină.

Următoarele opțiuni pentru disciplina serviciului pot fi în Smu cu coadă:

a) în ordinea primirii cererilor (prima dată - primele au fost servite) - magazine, întreprinderi de servicii de uz casnic;

b) în ordinea admiterii inverse, adică ultima aplicație este servită mai întâi (ultimul a venit - primul a fost servit) - săpăturile de la buncăre;

c) în conformitate cu prioritatea (participanți la marele război patriotic din policlinică);

d) în ordine aleatorie (în sistemul de apărare a sistemului de apărare atunci când este reflectat de placa de aer inamic).

Parametrul principal procesul de service Este luată în considerare momentul de servire a cererii de către canal (dispozitivul de servire J) - T J (J \u003d 1.2, ..., m).

Valoarea t J în fiecare caz este determinată de o serie de factori: intensitatea primirii cererilor, calificările contractantului, tehnologia de muncă, mediul etc. Legile distribuției unei valori aleatorii ale T J pot fi cele mai variate, dar legea distribuției exponențiale a distribuției a devenit cea mai mare distribuție în aplicațiile practice. Funcția distribuției unei valori aleatorii T J are forma:

F (t) \u003d l - e - μt,

unde M este un parametru pozitiv care determină intensitatea cerințelor de serviciu;

unde E (t) este așteptările matematice a unei valori aleatorii de servicii a cerinței t j.

Cea mai importantă proprietate a distribuției exponențiale este după cum urmează. Dacă există mai multe tipuri de canale de serviciu și egale cu alegerea lor atunci când se primește aplicația, distribuția timpului de serviciu prin toate canalele M va fi o funcție indicativă a formularului:

Dacă SMO-ul constă din canale neomogene, atunci
Toate canalele sunt omogene, atunci.

Prin numărul de dispozitive de întreținere (canale), este împărțit în:

Un singur canal;

Multichannel.

Structura SMO și caracteristicile elementelor sale sunt prezentate în figura 8.6.

Studiul SMO este de a găsi indicatori care caracterizează calitatea și condițiile de funcționare a sistemului de servire și a indicatorilor care reflectă consecințele economice ale deciziilor luate.

Cel mai important concept din analiza OCP este conceptul de statut de sistem. Statul este o descriere a sistemului, pe baza căreia poți să-și prezinte comportamentul viitor.

Figura 8.6 - Structura și caracteristicile elementelor SMO

La analizarea SMO, indicatorii de servicii medii determină. În funcție de rezolvarea problemei, ele pot fi:

lungimea medie a coadajului,

timpul mediu de așteptare în linie,

procentajul mediu de servicii deservite (sau primit), numărul mediu de canale de angajați (sau inactiv),

timpul mediu de ședere în SMO și alții.

Ca criteriu de optimizare, aplicați:

Profiturile maxime din funcționarea SMO;

Minimum a pierderilor totale asociate cu timpul de nefuncționare a canalelor, simplitatea aplicațiilor din coada de așteptare și plecare a cererilor care nu au ascultat;

Asigurarea unei lățime de bandă dată.

Variabila parametrii sunt de obicei: numărul de canale, disciplina lor de performanță, lungime și coadă, prioritatea serviciului.

Întrebări pentru auto-test

1. Conceptul de modele matematice și modelare.

2. Ce este un model economic și statistic și o funcție de producție?

3. Utilizarea modelelor grafice și grafoanalitice în control.

4. Utilizarea analizei de corelare pentru a detecta comunicarea dintre parametri

5. Tipuri și metode de construire a modelelor de regresie.

6. Studiul statistic al relațiilor de cauzalitate.

7. Clasificarea modelelor matematice în patru aspecte ale detaliilor (conform V.A. Kardasha).

8. Clasificarea modelelor în funcție de aparatul matematic aplicat. Conceptul de modele de bilanț.

9. Etapele de modelare. Verificați modelul pentru adecvare.

10. Conceptul de sisteme de întreținere de masă (SMIC). Părți compozite ale cm.

11. SMO cu eșecuri și cu coadă. Varietăți de cozi.

12. SMO-uri cu un singur canal și multicanal. Disciplinele de serviciu

13. Modelarea SMOU. Indicatori obținuți în experimente pe modelul SMO.

14. Criterii pentru optimizarea sistemelor de întreținere de masă.

1. Element și sarciniÎn activitățile de producție și viata de zi cu zi Adesea există situații atunci când este necesară menținerea cerințelor sau aplicațiilor de intrare în sistem. Adesea există situații în care este necesar să rămâneți în situația așteptărilor. Exemple de acest lucru pot servi ca o coadă de cumpărători de la un magazin mare, un grup de aeronave de pasageri, așteptând permisiunea de a decola la aeroport, un număr de mașini și mecanisme exacte stabilite într-o coadă de fixare în magazinul de reparații a întreprinderii , etc. Uneori, sistemele de întreținere au oportunități limitate de a satisface cererea, ceea ce duce la formarea cozilor. De regulă, nici timpul pentru nevoile de întreținere, nici durata serviciului nu este cunoscută în avans. Evitarea situației de așteptare este cel mai adesea posibilă, dar puteți reduce timpul de așteptare la o limită dificilă.

Subiectteoriile de întreținere de masă sunt sistemele de întreținere de masă (SMO). Sarciniteoriile de întreținere în masă sunt analiza și studierea fenomenelor care apar în sistemele de service. Una dintre sarcinile principaleteoria este de a determina astfel de caracteristici ale sistemului care asigură calitatea de funcționare specificată, de exemplu, cel puțin timpul de așteptare, minimul lungimii de coadă medie. Scopul studierii modului de funcționare al sistemului de serviciiîn condiții atunci când factorul de accident este esențial a controlaniste performanța cantitativă a sistemului de întreținere de masă. Acești indicatori, în special, sunt timpul mediu de timp al clientului în coada de așteptare sau la o parte a timpului în care sistemul de servire este inactiv.În același timp, în primul caz, estimăm sistemul din poziția "Client", în timp ce în al doilea caz, estimăm gradul de volum de muncă al sistemului de servire. Prin modificarea caracteristicilor de funcționare ale sistemului de servicii pot fi obținute rezonabile compromiteÎntre cerințele "clienților" și capacitatea sistemului de servicii.

Ca indicatoriaceste valori pot fi, de asemenea, utilizate ca număr mediu de aplicații din coadă, probabilitatea ca numărul de aplicații din coadă să depășească o anumită valoare etc.

Sistem - o combinație de elemente, legături între ele și scopul funcționării. Orice sistem de întreținere în masă se caracterizează printr-o structură determinată de compoziția elementelor și a relațiilor funcționale.

Elemente de bază ale sistemuluiurmătorul:

1. debitul de intrare (intensitatea fluxului de intrare );

2. Canale de service (număr de canale n., mediu utilizat k.Productivitate  );

3. Coada de cerințe (numărul mediu de aplicații  z., sejur mediu al unei aplicații t.);

4. Fixați fluxul de cerințe (intensitatea fluxului de intrare  ).

2. Clasificarea sistemelor de întreținere de masăDe numărul de canale, POM este împărțit în un singur canal și multichannel. . În locația surselor de aplicații, sistemul de servicii de masă poate fi împărțit în:

 Închis - sursă în sistem și are un impact asupra acesteia;

 Open - în afara sistemului și nu afectează.

Prin fazele serviciului, OCP poate fi împărțită în:

 o singură fază - o etapă de serviciu,

 Multiphase - două sau mai multe etape.

Sistemele de întreținere de masă (SMO) în condițiile de așteptare sunt împărțite în două clase principale: cu eșecuri și SMO. cu așteptarea . În SMO cu refuz, aplicația care vine în momentul în care toate canalele sunt ocupate, primește un refuz, lasă SMOU și în viitor procesul de service nu participă (un exemplu - apelul la telefon). În Smo cu așteptare, aplicația care a venit în momentul în care toate canalele sunt ocupate, nu pleacă, dar devine o coadă de așteptare.

Așteptările sunt împărțite în diferite specii, în funcție de modul în care este organizată coada de așteptare: cu limitată sau lungimea de așteptare nelimitată ,cu timp de așteptare limitat etc.

Pentru clasificarea SMO, disciplina de întreținere este importantă, care determină procedura de alegere a cererilor din rândul celor primite și procedura de distribuire a acestora între canalele libere. Întreținerea disciplinei - Regulile pentru care se aplică Smolul. Pe această bază, cerința de serviciu poate fi organizată:

1. În conformitate cu principiul "a venit prima dată - primul este servit";

2. În conformitate cu principiul "a venit prima dată - ultimul servit" (de exemplu, expedierea de produse omogene din depozit).

3. aleatoriu;

4. Cu prioritate. În acest caz, poate fi prioritate absolut (Cerere mai importantă deplasează uzualul) și relativ (O aplicație importantă primește numai locul "cel mai bun" din coadă).

La analiza proceselor aleatorii cu stări discrete, este convenabil să se utilizeze schema geometrică - așa-numita contele de state.

Exemplu. Dispozitiv S. constă din două noduri,

fiecare dintre ele într-un moment alator poate eșua, după care începe repararea unui nod instantaneu, care continuă în prealabil printr-un timp aleatoriu necunoscut. Starea sistemului posibil: S. 0 - Ambele noduri sunt bune; S. 1 - primul nod este reparat, al doilea este corect; S. 2 - primul nod funcționează, al doilea este reparat; S. 3 - Ambele noduri sunt reparate.

3. Cerințe de intrareCaracteristica totală a tuturor sarcinilor asociate cu întreținerea în masă este natura aleatorie a fenomenelor studiate.. Numărul de cerințe de serviciu, intervale de timp între încasările lor și durata serviciului aleatoriu. Prin urmare, aparatul principal al sistemului de servicii care descrie teoria proceselor aleatorii, în special Markovski. Pentru a studia procesele care apar în aceste sisteme, se utilizează metodele de modelare a simulării.

Procesul de Smo este un proces aleatoriu cu stări discrete și timpi continuu. Aceasta înseamnă că starea SMO-ului se schimbă în momente aleatorii ale oricăror evenimente (apariția unei noi aplicații, prioritate de serviciu, finisare de serviciu).

Subaleatoriu (Stochastic, probabilistic)proces Se înțelege că procesul de schimbare a timpului statului oricărui sistem în conformitate cu legea probabilistică.Aplicațiile de service FO, de obicei, nu primesc în mod regulat (de exemplu, fluxul de apel la bursa de telefon, fluxul de eșecuri de calculator, fluxul de cumpărători etc.), formând așa-numitul flux de aplicații (sau cerințe).

Fluxul este caracterizat intensitate λ - frecvența evenimentelor sau un număr mediu de evenimente care intră în SMOL pe unitate de timp.

Fluxul evenimentelor este numit regulat Dacă evenimentele urmează unul după altul la anumite intervale egale (fluxul de produse din transportorul magazinului de asamblare).

Fluxul evenimentelor este numit staționar Dacă caracteristicile sale probabiliste nu depind de timp . În special, fluxul staționar λ (i.) \u003d λ (fluxul de mașini de pe bulevard în timpul orelor de vârf).

Fluxul evenimentelor este numit flux fără consecințe Dacă pentru oricare două secțiuni de timp fără ciclu - τ 1 și τ 2 - numărul de evenimente care se încadrează pe unul dintre ele nu depinde de numărul de evenimente care se încadrează pe altele (fluxul de persoane care intră în metrou sau fluxul de cumpărători care pleacă din registrul de numerar).

Fluxul de evenimente comun Dacă apar evenimente în el pentru unul și nu de grupuri (Fluxul de trenuri - obișnuite, fluxul de autoturisme - nu).

Fluxul evenimentelor este numit mai simplu Dacă este simultan staționară, obișnuită și nu are consecințe.

Fluxul obișnuit al aplicațiilor fără consecințe este descris de distribuția (legea) Poisson.

Cel mai simplu flux din teoria serviciului de masă joacă același rol ca legea normală în teoria probabilității. Caracteristica sa principală este că atunci când adăugați mai multe fluxuri cele mai simple independente, se formează un flux total, care este de asemenea aproape de cel mai simplu.

Fiecare eveniment corespunde momentuluit.În care sa întâmplat acest eveniment.T - intervalul dintre cele două puncte de timp . Flux de eveniment - secvență independentă de momentt..

Pentru cel mai simplu flux cu intensitate λ probabilitatea de a intra într-o perioadă elementară (mică) de timp δ t.cel puțin un eveniment de flux este egal.

Fluxul obișnuit al aplicațiilor fără consecințe este descris de distribuția (legea) Poisson cu parametrul λτ :

, (1)

pentru care așteptările matematice a unui soi aleator este egal cu dispersia sa:
.

În special, probabilitatea ca în timp τ nu se va întâmpla evenimente ( m.\u003d 0) este egal

. (2)

Exemplu.Cel mai simplu flux de apeluri cu intensitate vine la linia telefonică automată. λ \u003d 1.2 apeluri pe minut. Găsiți șansa ca în două minute: a) nu va veni niciun apel; b) vine exact un apel; c) va veni cel puțin un apel.

Decizie. a) Valoare aleatorie H. - numărul de apeluri în două minute este distribuit de legea Poisson cu parametrul λτ \u003d 1,2 · 2 \u003d 2.4. Probabilitatea ca să nu existe provocări ( m.\u003d 0), conform formulei (2):

b) probabilitatea unui apel ( m.=1):

c) probabilitatea de cel puțin un apel:

4. Limitați probabilitatea de stateÎn cazul în care numărul de stări de sistem, desigur și de la fiecare dintre acestea, este posibil ca un număr finit de pași să meargă în orice alt stat, atunci există probabilitățile limită.

Luați în considerare descrierea matematică a procesului Markov cu stări discrete și timp continuu pe exemplul procesului, graficul este descris în fig. 1. Vom presupune că toate tranzițiile de sistem din partea statuluiS. i. înS. j. apar sub influența celor mai simple fluxuri de evenimente cu intensitățile statuluiλ iJ. (i., j.=0,.1,2,3).

De la trecerea sistemului de la statS. 0 înS. 1 va avea loc sub influența fluxului de defecțiuni ale primului nod și tranziția inversă de la statS. 1 înS. 0 - sub influența fluxului și a evenimentelor asociate cu sfârșitul reparării primului nod etc.

Graficul stadiului sistemului cu intensitățile populate de săgeți va fi numit plasat . Sistemul în cauză are patru state posibile: S. 0 ,S. 1 ,S. 2 ,S. 3 . Să numim probabilitatea i.- Este probabilitatea p. i. (t.) Ce moment t.sistemul va fi capabil să S. i. . Evident, pentru orice moment t.cantitatea de probabilități a tuturor statelor este egală cu una:
.

Limitați probabilitatea de stat S. i. Are - arată că timpul mediu relativ relativ al sistemului în această stare (În cazul în care probabilitatea limită a statuluiS. 0 .p. 0 \u003d 0,5, atunci acest lucru înseamnă că în mijlocul unui sistem de jumătate de timp este într-o stareS. 0 ).

Pentru sistem S.cu graficul statelor prezentate în fig. Sistemul de ecuații algebrice liniare care descrie regimul staționar are forma (numită și sistemul ecuațiile Kolmogorov. ):

(3)

Acest sistem poate fi obținut de numărul marcat de stat, ghidat de regulăConform care în partea stângă a ecuațiilor este probabilitatea limită a acestei stărip. i. înmulțită cu intensitatea totală a tuturor fluxurilor cu vedere la vederei. - la stat egal cu cantitatea de intensitate a tuturor fluxurilor primite de lai. -Oh cu privire la probabilitatea acestor state din care se desfășoară aceste fluxuri.

Exemplu. Găsiți probabilitățile limită ale sistemului, a cărei grafice de stat este descris în fig. superior. pentru λ 01 =1, λ 02 =2, λ 10 =2, λ 13 =2, λ 20 =3, λ 23 =1, λ 31 =3, λ 32 =2 .

Sistemul de ecuații algebrice pentru acest caz în conformitate cu (3) are forma:

Decizia sistemului liniar al ecuațiilor, ajungem p. 0 = 0,4, p. 1 = 0,2, p. 2 = 0,27, p. 3 \u003d 0,13; acestea. În sistemul de mod staționar limită S. În medie, 40% din timp vor fi capabili să S. 0 (ambele noduri sunt bune), 13% sunt capabile S. 1 (Primul nod este reparat, a doua lucrare), 27% - într-o stare S. 2 (Cel de-al doilea nod este reparat, primele lucrări) și 13% într-o stare S. 3 (ambele noduri sunt reparate).

Determinați venitul net din modul intern al sistemului considerat S. În condițiile care, pe unitate de timp, întreținerea unității unu și nodul a doua aduce venituri, respectiv 10 și 6 unități monetare, iar reparația acestora necesită costuri 4 și 2 unități monetare. Estimăm eficiența economică a reducerii disponibile în timpul de mijloc al reparației fiecăruia dintre cele două noduri, dacă trebuie să dublați costul de reparare a fiecărui nod (pe unitate de timp).

Pentru a rezolva această problemă, luând în considerare valorile obținute p. 0 , p. 1 , p. 2 , p. 3 Definim ponderea timpului de funcționare a primului nod, adică. p. 0 + p. 2 \u003d 0,4 + 0,27 \u003d 0,67 și ponderea timpului de serviciu al celui de-al doilea nod p. 0 + p. 1 \u003d 0,4 + 0,2 \u003d 0,6. În același timp, primul nod este repararea unei părți medii de timp egală p. 1 + p. 3 \u003d 0,2 + 0,13 \u003d 0,33 și al doilea nod p. 2 + p. 3 \u003d 0,27 + 0,13 \u003d 0,40. Prin urmare, venitul mediu net pe unitate de timp este egal cu D.\u003d 0,67 · 10 + 0,6 · 6-0,33 · 4-0,4 · 2 \u003d 8,18 Den.ED Reducerea reparațiilor medii ale fiecărui nod va însemna o creștere a intensităților fluxului "sfârșitul reparării" fiecărui nod, adică Acum λ 10 =4, λ 20 =6, λ 31 =6, λ 32 =4 și sistemul de ecuații care descriu modul staționar al sistemului S.se va uita la:

.

Rezolvarea sistemului pe care îl obținem p. 0 = 0,6, p. 1 = 0,15, p. 2 = 0,2, p. 3 \u003d 0,05. Având în vedere că p. 0 + p. 2 = 0,6+0,2 = 0,8,

p. 0 + p. 1 = 0,6+0,15 = 0,75, p. 1 + p. 3 = 0,15+0,05 = 0,2, p. 2 + p. 3 \u003d 0,2 + 0,05 \u003d 0,25, iar costul reparării primului și al doilea nod este respectiv 8 și 4 den.Yd., calculați venitul mediu net pe unitate de timp: D1.\u003d 0,8 · 10 + 0,75 · 6-0,2 · 8-0,25 · 4 \u003d 9,99 Den.ED.

pentru că D1.mai mult D. (cu aproximativ 20%), fezabilitatea economică a accelerării reparației nodurilor este evidentă.

5. Procesul de reproducere și decesProcesul de reproducere și deces în SMO este caracterizat de faptul că, dacă toate statele sistemului sunt numerotate S. 1 ,S. 2 ,… ,S. n. Motive de state S. k. (k.< n.) Puteți obține fie într-o stare S. k. -1 fie într-o stare S. k. +1 .

Pentru probabilitățile limită, următorul sistem de ecuații este caracteristic:

(4)

la care se adaugă starea:

Din acest sistem puteți găsi probabilități limită. Primim:

, (6)

,
, …,
. (7)

Exemplu.Procesul de deces și reproducere este reprezentat de grafic. (Smochin).

Găsiți probabilitățile limită ale statelor.

Decizie. Prin formula (6) găsim
,

pO (7)
,
,

acestea. În modul constant constant, o medie de 70,6% din timp, sistemul va fi capabil S. 0 17,6% - într-o stare S. 1 și 11,8% - într-o stare S. 2 .

6. Sisteme de defectareCa indicatori ai eficienței cu eșecuri, vom lua în considerare:

DAR- lățime de bandă absolută a SMO, adică Numărul mediu de aplicații servite pe unitate de timp

Q.- lățime de bandă relativă, adică Ponderea medie a aplicațiilor deservite de sistem;

- probabilitatea eșecului, adică. că cererea va părăsi SMO-ul fără ascultare;

- numărul mediu de canale ocupate (pentru un sistem multicanal).

Markov procese aleatorii

Numit de numele matematicii ruse remarcabile A.A. Markova, care a început pentru prima oară studiul comunicării probabiliste a variabilelor aleatorii și a creat teoria, care poate fi numită "dinamica probabilității". În prezent, teoria proceselor Markov și a aplicațiilor sale sunt utilizate pe scară largă în diverse domenii și, printre altele, în studiul operațiunilor și teoria adoptării unor soluții optime.

Procesul Markov.- discret sau continuu procesul aleator X.(t.), care poate fi complet setat folosind două cantități:

· probabilitate P.(x.,t.) ce valoare aleatorie x.(t.) la momentul timpului t. egal x., I.

· Probabilitate P.(x. 2 , t. 2 |x. 1 ,t. 1) Dacă x. pentru t. = t. 1 egal x. 1, atunci t. = t. 2 El este egal x. 2 .

Cea de-a doua dintre aceste valori este numită probabilitatea tranziției De la stat x. 1 la t \u003d t. 1 în stat x. 2 pentru t \u003d t. 2 .

Lanțurile Markov. Apel discrete în timp și valoarea lui Markov

procese.

Exemplul 1.

Să presupunem că vorbim despre castele consecutive de monede sub jocul "în orlyank"; Moneda se grăbește în momentele condiționate de timp t \u003d 0, 1, ... și la fiecare pas, jucătorul poate câștiga ± 1 cu aceeași probabilitate de 1/2, deci în momentul în care câștigurile sale totale există o aleatorie Valoare ξ (t) cu valori posibile ale j \u003d 0, ± 1, ... cu condiția ca ξ (t) \u003d k, În etapa următoare, câștigurile vor fi egale cu ξ (t + 1) \u003d k. ± 1, luând VNG-urile indicate J \u003d K ± 1 C aceeași probabilitate de 1/2. Este convenabil, se poate spune că aici cu probabilitatea corespunzătoare există o tranziție de la stat ξ (t) \u003d K. la starea ξ (t + 1) \u003d k.± 1.

19.5.1. Formule și definiții ale lanțurilor Markov

Rezumând acest exemplu, vă puteți imagina "sistemul" cu numărul număresc de stări posibile de "fază", care, cu un timp discret, t \u003d 0, 1, ... trece accidental de la stat la stat.

Fie ξ (t) poziția sa în momentul t ca rezultat al lanțului de tranziții aleatorii ξ (0) - ξ (1) - ... - ξ (t) - ... (1)

În mod oficial, denotăm toate stările posibile cu integer I \u003d 0, ± 1, să presupunem că cu statul cunoscut ξ (t) \u003d k. În etapa următoare, sistemul intră într-o stare ξ (t + 1) \u003d j cu o probabilitate condiționată

p kj \u003d p (ξ (t + 1) \u003d j | ξ (t) \u003d k) ... (2)

indiferent de comportamentul său în trecut, mai precis, indiferent de lanțul de tranziții (1) până în momentul în care T:

P (ξ (t + 1) \u003d j | ξ (0) \u003d i, ..., ξ (t) \u003d k) \u003d p (ξ (t + 1) \u003d j | ξ (t) \u003d k) deloc T, K, J ... (3) - proprietatea Markov.

O astfel de schemă probabilistică numită un lanț omogen de Markov cu un număr numeric de state - omogenitatea ei este că cei definiți în (2) probabilități tranzitorii p kj, Σ J p kj \u003d 1, k \u003d 0, ± 1, ..., nu depind de timp, adică

P (ξ (t + 1) \u003d J | ξ (t) \u003d k) \u003d P IJ - matricea probabilităților de tranziție Într-un pas nu depinde de n. Este clar că P IJ este o matrice pătrată cu elemente non-negative și linii unice. O astfel de matrice (finită sau infinită) se numește o matrice stochastică. Orice matrice stochastică poate servi ca o matrice de probabilitate de tranziție.

Exemplul practic 1.

Să presupunem că o anumită companie furnizează echipamente la Moscova: în districtul nordic (denotă), sudul (C) și Central (C). Compania are un grup de curieri care servește aceste zone. Este clar că pentru a pune în aplicare următoarea livrare, curierul merge în zona care acest moment El este mai aproape. Următoarele au fost statistic:

1) După efectuarea livrării B și următoarea livrare în 30 de cazuri se desfășoară într-o, în 30 de cazuri - în B și în 40 de cazuri - în C;

2) După livrarea în următoarea livrare în 40 de cazuri se desfășoară într-o, în 40 de cazuri - în C și în 20 de cazuri - în C;

3) După livrarea în următoarea livrare în 50 de cazuri se desfășoară într-o, în 30 de cazuri - în C și în 20 de cazuri - în C.

Astfel, zona următoarei livrări este determinată numai de livrarea anterioară.

Matricea probabilității de tranziție va arăta astfel:

De exemplu, P 12 \u003d 0,4 este probabilitatea ca după livrarea în zona din următoarea livrare să se desfășoare în zona A. Să presupunem că fiecare livrare cu mișcarea ulterioară în zona următoare durează 15 minute. Apoi, în conformitate cu datele statistice, după 15 minute, 30% din curierii care au fost într-o vor fi într-o, 30% vor fi în și 40% - în C. De la data viitoare când fiecare dintre curierii va fi cu siguranță în Unul dintre județe, apoi suma în coloane este egală cu 1. și, deoarece avem de-a face cu probabilitățile, fiecare element al matricei 0<р ij <1. Наиболее важным обстоятельством, которое позволяет интерпретировать данную модель как цепь Маркова, является то, что местонахождение курьера в момент времени t+1 зависит numai Din locația la momentul t.

Acum, să punem o întrebare simplă: dacă curierul pornește de la C, care este probabilitatea ca urmând două livrări, va fi în, adică. Cum pot ajunge în 2 pași? Deci, există mai multe moduri de la în 2 pași:

1) mai întâi de la C în C și apoi de la C în B;

2) c -\u003e b și b -\u003e b;

3) C -\u003e A și A -\u003e b.

Având în vedere regula de multiplicare a evenimentelor independente, obținem că probabilitatea dorită este egală cu:

P \u003d P (ca) * P (ab) + P (CB) * P (BB) + P (CC) * P (CB)

Substituirea valorilor numerice:

P \u003d 0,5 * 0,3 + 0,3 * 0,4 + 0,2 * 0,3 \u003d 0,33

Rezultatul rezultat sugerează că, dacă curierul a început să lucreze de la C, atunci în 33 de cazuri de la 100 va fi în două livrare. Este clar că calculele sunt simple, dar dacă trebuie să determinați probabilitatea după 5 sau 15 livrări - poate dura mult timp.

Luați în considerare o modalitate mai simplă de a calcula astfel de probabilități. Pentru a obține probabilitățile tranziției de la diferite state pentru 2 pași, ridicați P în piață:

Apoi elementul (2, 3) este probabilitatea de tranziție de la 2 pași, care a fost obținută mai sus într-un alt mod. Rețineți că elementele din matrice P2 sunt, de asemenea, în intervalul de la 0 la 1, iar cantitatea conform coloanelor este de 1.

Asa de Dacă aveți nevoie pentru a determina probabilitățile de tranziție de la în 3 pași:

1 mod. P (ca) * P (ab) + P (CB) * P (BB) + P (CC) * P (CB) \u003d 0,37 * 0,3 + 0,33 * 0,4 + 0,3 * 0,3 \u003d 0,333, unde P (CA) - Probabilitatea de tranziție de la CBA în 2 pași (adică este un element (1, 3) al matricei P 2).

2 mod. Calculați matricea P 3:

Matricea probabilității de tranziție de 7 grade va arăta astfel:

Este ușor de observat că elementele fiecărui rând se străduiesc pentru unele numere. Acest lucru sugerează că, după un număr suficient de mare de livrare, nu contează în care a început districtul de curierat. Asa de La sfârșitul săptămânii, aproximativ 38,9% vor fi în 33,3% vor fi în C și 27,8% vor fi în C. Această convergență este garantată să aibă loc dacă toate elementele matricei de probabilitate tranzitorie aparțin intervalului (0 , 1).

Teoria întreținerii în masă

Aceasta sectiune studii de operațiunicare consideră o varietate de procese în economie, precum și în comunicare telefonică, asistență medicală și alte domenii ca procese de serviciu, adică satisfacția unor cereri, comenzi (de exemplu, nave de service în port - descărcarea și încărcărea lor, întreținerea Tokarei în depozitele instrumentale - emiterea de Cuttere, Serviciu pentru clienți în lenjerie de spălătorie, etc.).

Cu toate varietățile, aceste procese au aspecte comune: cerințe Pentru serviciu este neregulat (întâmplător) canalul de service. (Plasați la dig, fereastră în broșuri) și în funcție de ocuparea forței de muncă, durata serviciului și alți factori thferent..

Teoria studiilor de întreținere în masă modele statistice de primire a cerințelor și pe această bază produce soluții, adică astfel de caracteristici în care timpul petrecut în așteptare în linie, pe de o parte, și pe canale simple de serviciu - pe de altă parte, ar fi cel mai mic. Întregul sistem de producție și consumul de bunuri pot fi interpretate ca un sistem de servicii de masă în care se găsesc persoane (clienți) și bunuri. Cantitatea de pierdere a timpului de a aștepta în cozile și la timpul de întrerupere a canalelor de service (depozitarea mărfurilor în depozite) este considerată o măsură eficienţă studiat sistem economic.

Metode de analiză a sistemelor de servicii de masă

Metodele și modelele utilizate în teoria întreținerii de masă pot fi împărțite în analitice și imitație.

metode de analizăteoriile de întreținere de masă fac posibilă obținerea caracteristicilor sistemului ca unele funcții ale parametrilor operațiunii sale. Datorită acestui fapt, devine posibilă efectuarea unei analize calitative a influenței factorilor individuali asupra eficienței SMO.

Metode de imitațiepe baza modelării proceselor de întreținere de masă pe un computer și aplicați dacă este imposibil să utilizați modele analitice.

În prezent, teoretic cele mai dezvoltate și convenabile în aplicații practice, metode de rezolvare a problemelor de întreținere în masă în care este fluxul de intrare cea mai simplă (Poisson).

Pentru cel mai simplu flux, frecvența încasărilor de revendicări în sistem este supusă legii Poisson, adică probabilitatea de sosire în timp t.neted lacerințele sunt date cu formula:

Cel mai simplu flux are trei proprietăți de bază:

1) dezbatere,

2) staționar și

3) Lipsa de amerorare.

Ordonanțăflux înseamnă imposibilitatea practică a primirii simultane a două sau mai multe cerințe. De exemplu, un suficient de mic este probabilitatea ca mai multe mașini să nu reușească în cele din urmă la un grup de mașini unelte deservite de Brigada de reparații.

Staționarun flux este chemat pentru care așteptările matematice a numărului de cerințe care intră pe sistem pe unitate de timp (denotată de parametrul distribuției Poisson) nu se schimbă în timp. Astfel, probabilitatea de admitere la un sistem de o anumită cantitate de cerințe pentru o anumită perioadă de timp LA.depinde de valoarea sa și nu depinde de începerea referinței sale pe axa timpului.

Nici o referințăînseamnă că numărul cerințelor înscrise în sistem t,nu determină câte cerințe vor fi înregistrate în timpul perioadei de la t.inainte de t + dt.

De exemplu, dacă un fir a apărut pe o mașină de țesut la un moment dat și este eliminat prin țesut, nu definește, va apărea o nouă rupere pe această mașină la următorul moment sau nu, cu atât mai mult acest lucru nu afectează acest lucru probabilitatea unei pauze asupra altor mașini.

O caracteristică importantă a SMO - cerințe de serviciu în sistem.Timpul de serviciu al unei cerințe este, de regulă, o valoare aleatorie și, prin urmare, poate fi descrisă de legea distribuției. Cea mai mare distribuție în teorie și mai ales în aplicațiile practice primite distribuția timpului de serviciu exponențial.Funcția de distribuție pentru această lege are forma:

acestea. Probabilitatea ca timpul de serviciu să nu depășească o dimensiune t,determinată prin formula (5.2), unde µ - parametrul de distribuire a legii exponențiale a cerințelor de serviciu în sistem, adică. Valoare, timp de serviciu de serviciu invers

Sistemele de întreținere de masă sunt clasificate:

1. În funcție de condiții de așteptare Serviciu deschis:

· SMOU cu pierderi (eșecuri)

· SMOU cu așteptarea

În Smo. cu eșecuricerințe care sosesc în momentul în care toate canalele de service sunt ocupate, primiți defecțiuni și părăsiți sistemul. Un exemplu clasic al unui sistem cu eșecuri este o stație de telefonie. Dacă abonatul numit este ocupat, atunci cerința de conectare la acesta primește o eroare și lasă sistemul.

În Smo. cu așteptareacerință, realizarea tuturor canalelor de servire ocupate, devine coadă și așteaptă să fie eliberată [unul dintre canalele de servire.

SMO, permițând coada de așteptare, dar cu un număr limitat de cerințe în ea sunt numite sisteme de coadă limitate.

SMO, care permite coada de coadă, dar cu o perioadă limitată de ședere a fiecărei cerințe în el sunt numite sisteme cu așteptări limitate.

2. Prin numărul de canale de service, SM este împărțit în:

Un singur canal;

Multichannel.

3. La localizarea sursei de cerințele fumului sunt împărțite în:

deschiscând sursa cerinței este în afara sistemului;

închiscând sursa se află în sistemul însuși.

19.7. Sarcini pentru analizarea sistemelor de întreținere de masă închise și deschise

Sisteme închise și deschise, în funcție de timpul de așteptare, pot fi sisteme de întreținere în masă cu așteptare. Acestea sunt cele mai frecvente SMOS. Acestea sunt studiate folosind modele analitice.

Sistem de întreținere de masă cu conviețuiresistemul în care cerințele primite în momentul în care toate canalele de servire sunt ocupate, sunt în coadă și servite pe măsură ce canalele sunt eliberate.

Un exemplu de sistem deschis poate servi ca atelier de reparații TV. Aici, televizoarele defectuoase sunt o sursă de cerințe pentru întreținerea lor, acestea sunt în afara sistemului în sine, astfel încât numărul de cerințe poate fi considerat nelimitat. Un Sm închis se referă, de exemplu, o singură stație în care mașinile sunt o sursă de defecțiuni și, prin urmare, sursa cerințelor pentru întreținerea acestora, de exemplu, o echipă de adjuvanți.

Setarea generală a sarcinii este după cum urmează. Sistemul are. p.deservirea canalelor, fiecare dintre acestea poate servi simultan doar o singură cerință.

Cel mai simplu (Poisson) debit de revendicări este primit în sistem. Dacă la momentul primirii următoarei cerințe din sistemul de servicii este deja cel puțin p.cerințe, adică Toate canalele sunt ocupate, această cerință devine coadă și așteaptă începerea serviciului. Timpul de serviciu al fiecărei cerințe este o valoare aleatorie care respectă legea distribuției exponențiale cu parametrul µ .

WMO cu așteptările pot fi împărțite în două grupuri mari: Închis Și deschideți. LA Închissisteme în care fluxul de intrare are loc în sistem și este limitat. De exemplu, un maestru al cărui sarcină este de a ajusta mașinile din atelier, trebuie să le servească periodic. Fiecare mașină adiacentă devine o sursă potențială de cerințe de configurare. În astfel de sisteme, numărul total de cerințe de circulație este, desigur, și cel mai adesea în mod constant.

Dacă sursa de alimentare are un număr infinit de cerințe și se află în afara sistemului, atunci sistemele sunt numite zdrobit.Exemple de sisteme deschise pot servi ca magazine, stații de check-in, porturi etc. Pentru aceste sisteme, revendicările primite pot fi considerate nelimitate. În plus, WMO-urile deschise sunt destul de comune cu așteptările și linia limitată a coadă, cu o perioadă limitată de cerințe de ședere în coadă etc.

Caracteristicile notate ale funcționării SMO-ului cu așteptările datorate speciei lor impun anumite condiții pe aparatul matematic utilizat. Calculul caracteristicilor tuturor acestor SMO-uri poate fi efectuat pe baza calculării probabilităților statelor OCP (așa-numitele formule erlang).

Luați în considerare procedura de calculare a caracteristicilor lucrării sisteme deschise cu așteptare și lungime de coadă limitate.

Un astfel de CMO consta din p.deservirea canalelor, fiecare dintre acestea poate servi simultan doar o singură cerință. Cel mai simplu flux al revendicărilor cu parametrul A. este în sistem, iar timpul de serviciu al cerinței este o valoare aleatorie care face obiectul legii de distribuție exponențială cu parametrul c.Dacă la momentul primirii următoarei cerințe p.canalele sunt ocupate, iar în coada nu este mai mică t.cerințe, atunci cerința devine în așteptare. Dacă coada de așteptare merită deja t.cerințe, atunci cerința primită părăsește SMOU. Cu alte cuvinte, cerința primește un refuz dacă sistemul este localizat p + T.cerințe. Din ecuațiile care descriu starea unor astfel de sisteme, pot fi obținute următoarele formule pentru calcularea caracteristicilor lor principale.

1. Probabilitatea ca totul să servească canalele sunt gratuite,

(5.14)

2. Probabilitatea ca sistemul să fie localizat lacerințe, cu condiția ca numărul total al acestor cerințe să nu depășească numărul de canale de servire; Cu alte cuvinte, probabilitatea ca ocupația ocupată lacanale

3. Probabilitatea ca sistemul să fie localizat lacerințe atunci când numărul acestor cerințe este mai mare decât numărul de canale de servire,

(5.16)

4. probabilitatea ca toate canalele de servire să fie ocupate,

(5.17)

5. Probabilitatea refuzului

(5.18)

6. Lungimea medie a coadă

7. Canal mediu fără canale

Exemplul 2.Compania este angajată în livrarea de bunuri la comandă și are patru mașini care lucrează în jurul ceasului. Fluxul de comenzi este cel mai simplu, iar în medie o aplicație ajunge într-o oră. Timpul de transport al mărfurilor este supus legii exponențiale de distribuție și, în medie, transportul unei mărfuri durează o oră. Cu numărul de comenzi pentru transport, egal cu 10, compania oprește acceptarea aplicațiilor până când coada scade.

Este necesar să se determine caracteristicile companiei.

Decizie. Acest sistem se referă la tipul de SM cu așteptare și o lungime limitată de coadă. Noi găsim parametrii sistemului, acceptând o oră pe unitate:

Probabilitatea ca toate autoturismele să fie libere de transportul de mărfuri se găsesc cu formula (5.14):

Probabilitatea ca în CE să fie ocupată, este determinată de formula (5.17) și este

Atunci probabilitatea refuzului de a accepta ordinea de transport, calculată cu formula (5.18) va fi egală cu

, iar lungimea medie a coadălor în conformitate cu formula (5.19) va fi

Atunci probabilitatea refuzului de a accepta ordinea de transport, calculată cu formula (5.18), va fi egală cu

Și lungimea medie a coadălor în conformitate cu formula (5.19) va fi

Astfel, clientul nu va primi aproape niciodată un refuz de a accepta cererea de transport, dar încărcarea mașinilor va fi suficientă. De exemplu, doar patru mașini vor fi ocupate în două cazuri de la o sută.

Să ne întoarcem la luarea în considerare a algoritmilor pentru calcularea caracteristicilor de funcționare Închis WMO cu așteptările.Deoarece sistemul este închis, atunci trebuie adăugată o condiție la configurare: fluxul de cerințe de intrare este limitat, adică. În sistemul de servicii, în același timp, nu mai poate fi t.cerințe (T -numărul de obiecte servite). Astfel de SMO sunt, de asemenea, numite sisteme cu așteptare și flux limitat de cerințe.

Pentru criteriul care caracterizează calitatea funcționării sistemului în cauză, vom lua raportul dintre lungimea medie a coada de așteptare la cel mai mare număr de cerințe care sunt simultan în sistemul de servire sau fabricile de nefuncționare sunt servite. Ca un alt criteriu, ia raportul dintre numărul mediu de canale de servire neocupate la numărul total al acestora sau coeficientul de servicii al canalelor de service.

Primul dintre criterii caracterizează pierderea timpului datorită așteptării serviciului. Cel de-al doilea criteriu arată caracterul complet al sistemului de servicii și este important în sarcinile organizării forței de muncă.

Evident, coada poate apărea numai atunci când numărul de canale este mai mic decât cel mai mare număr de cerințe care sunt simultan în sistemul de service (P.< т).

Prezentăm secvența de calcule ale caracteristicilor WMO-urilor închise cu așteptările și formulele necesare.

1. Parametrul α=α/µ. - Indicatorul de încărcare a sistemului, adică Așteptările matematice a numărului de cerințe care intră în sistem în timpul duratei medii a serviciului

2. Probabilitatea de angajare lacanalele de servire, cu condiția ca numărul de cerințe din sistem să nu depășească numărul de canale de serviciu,