Exemplu de model matematic al unui sistem de așteptare. Modelarea prin simulare a sistemelor de aşteptare

Chetverikov S. Yu., Popov M.A.

Rusia, Institutul de Economie și Antreprenoriat (Moscova)

Teoria sistemelor de coadă este o disciplină matematică aplicată care studiază caracteristicile numerice ale fenomenelor care au loc în economie. Acestea includ funcționarea centrului telefonic, a centrelor de servicii pentru consumatori, case de marcat in supermarket etc.

Modelele matematice ale unor astfel de obiecte sunt sisteme de așteptare (QS) descrise după cum urmează: cererile (aplicații pentru service) intră în sistem, fiecare dintre ele fiind deservită de ceva timp și apoi părăsește sistemul. Cu toate acestea, din cauza constrângerilor de resurse (număr de case de marcat care deservesc, viteza serviciului etc.), sistemul este capabil să deservească simultan doar un anumit număr de cereri. Modelele matematice în acest caz sunt concepute pentru a rezolva problema calculării indicatorilor numerici ai calității funcționării QS.

La construirea modelelor QS, se disting fundamental două sisteme: determinist și stocastic, care determină de fapt tipul model matematic.

Considerăm cel mai simplu sistem determinist format din P dispozitive identice, în care cerințele ajung la intervale de timp deterministe (constante), iar timpul pentru deservirea fiecărei cerințe este, de asemenea, constant. Este evident că dacă cererile ajung la intervale

iar timpul de service pentru fiecare cerință este

atunci condiţia necesară şi suficientă pentru funcţionarea normală a sistemului este îndeplinirea inegalităţii

În caz contrar, în timp, cerințele se vor acumula în sistem.

Parametrii Xși q au o semnificație fizică simplă:

X- numărul mediu de cereri sosite pe unitatea de timp sau intensitatea fluxului de intrare;

q este numărul mediu de cerințe pe care fiecare dispozitiv le poate îndeplini pe unitatea de timp sau intensitatea cerințelor de service de către un dispozitiv;

/ 7ts - numărul mediu de cerințe care pot servi P electrocasnice sau cerința de intensitate de întreținere a întregului sistem.

Astfel, condiția (1) înseamnă că intensitatea fluxului de intrare nu trebuie să depășească intensitatea cerințelor de întreținere de către întregul sistem. Luați în considerare cantitatea

Așa-numitul sistem de boot.

Atunci inegalitatea (1) poate fi rescrisă ca:

În acest caz, sarcina poate fi interpretată ca fracțiunea medie de timp în care dispozitivele sunt ocupate cu solicitări de service, iar valoarea 1 - p - ca fracțiunea medie a timpului în care dispozitivele sunt inactive.

În sfârșit, încă o notă despre funcționarea unui sistem cu caracteristici deterministe:

dacă în momentul inițial de timp sistemul este liber și condiția (2) este satisfăcută, atunci fiecare cerere care intră în sistem devine imediat dispozitivul de service;

în cazul p

în cele din urmă, dacă p > 1, atunci pe unitatea de timp coada crește în medie cu Domnul-1).

În sistemele reale de așteptare, elementele aleatoriei joacă un rol semnificativ:

în primul rând, intervalele dintre sosiri de revendicări nu sunt deterministe;

în al doilea rând, timpii de deservire a cererilor nu sunt determiniști.

În plus, pot apărea elemente ale aleatoriei din alte motive, de exemplu, defecțiuni ale elementelor sistemelor de așteptare.

Se pare că elementele aleatoriei afectează semnificativ calitatea funcționării sistemelor de servicii. Deci, dacă sarcina p = 1, atunci, spre deosebire de sistemele deterministe, în sistemele stocastice coada tinde spre infinit în timp, în medie. Cozile în sistemele stocastice se formează chiar și în cazul p

Luați în considerare o descriere oficială a QS. Principalii parametri ai QS sunt:

fluxul de cerințe primite;

structura sistemului;

caracteristicile temporale ale cerințelor de serviciu;

disciplina de serviciu.

Să aruncăm o privire la aceste opțiuni.

Flux de intrare caracterizat prin momente aleatorii de primire a cerinţelor în sistem simplu, și pentru sisteme complexe - și tipurile de cerințe care ajung în aceste momente.

Când se specifică un flux aleatoriu, se presupune de obicei că fluxul de intrare este recurent și, cel mai adesea, Poisson.

Să facem câteva observații despre corectitudinea descrierii fluxurilor de cereri care intră în sistemele reale de către Poisson și cele recurente. Este evident că proprietatea absenței efectelor secundare în sistemele reale este extrem de rară, deoarece un flux cu o astfel de proprietate poate primi un număr arbitrar mare de cerințe cu o probabilitate diferită de zero (deși extrem de mică) în orice perioadă arbitrar mică de timp. Cu toate acestea, practica arată că descrierea fluxului de intrare de către Poisson este legitimă în majoritatea cazurilor cu un grad suficient de acuratețe. O confirmare matematică suplimentară a acestui fapt este teorema lui Khinchin, care spune că unirea unui număr mare de fluxuri „rare” sub restricții foarte slabe dă un flux Poisson.

A doua proprietate a fluxului Poisson - staționaritatea - de asemenea, nu scoate critici. Într-adevăr, intensitatea fluxului de intrare, de regulă, depinde de momentul zilei, an și așa mai departe. Dacă se păstrează proprietățile de absență a efectelor secundare și ordinaritatea, atunci se obține un flux Poisson nestaționar. În unele cazuri, este posibil să se dezvolte modele matematice pentru calcularea sistemelor economice cu un astfel de flux de intrare, dar formulele rezultate sunt foarte greoaie și greu de aplicat în practică. Din acest motiv, calculele sunt limitate la un anumit interval de timp în care intensitatea fluxului de intrare se modifică puțin.

Dacă se abandonează numai proprietatea obișnuită, atunci se obține un flux Poisson neobișnuit, în care momentele de sosire a cerințelor formează un flux Poisson obișnuit, dar în fiecare astfel de moment sosește un număr aleatoriu de cerințe. Majoritatea rezultatelor care sunt valabile pentru sistemele cu un flux Poisson sunt practic neschimbate la sistemele cu un flux Poisson neobișnuit.

Pentru a seta structura QS este necesar să enumerați toate elementele disponibile în sistem și să indicați ce tipuri de cerințe sau chiar la ce faze de service poate servi fiecare element. În acest caz, un singur element poate servi cereri de mai multe tipuri și, invers, cereri de același tip pot fi servite pe mai multe elemente. În cele ce urmează, vom presupune că QS-ul are unul sau mai multe elemente identice și fiecare cerință poate fi servită pe oricare dintre ele. Sistemele de acest tip sunt numite o singura linie(un element) sau multilinie(mai multe articole).

Sistemele de service pot avea elemente pentru cereri de așteptare pentru începerea serviciului. Dacă există infinit de astfel de elemente, atunci se vorbește despre sisteme cu așteptare, dacă numărul lor este finit - despre sisteme cu un număr finit de locuri de așteptare, dacă lipsesc deloc (cerința care a făcut ca toate elementele să fie ocupate la momentul respectiv). de intrare în sistem se pierde; un exemplu sunt sistemele telefonice obișnuite) - despre sistemele cu pierderi.

Sincronizare cerințele de serviciu sunt, de asemenea, un obiect complex pentru o descriere formalizată. De obicei, se presupune că timpul de serviciu al tuturor clienților este independent unul de celălalt și sunt variabile aleatoare distribuite în mod egal. Dacă QS primește solicitări de mai multe tipuri, distribuția timpului de serviciu poate depinde de tipul cererii.

Disciplina de serviciu constă în regula de așteptare a cerințelor și ordinea în care acestea sunt selectate din coada pentru service, distribuția elementelor între cerințe, iar în sistemele multifazice - între fazele de serviciu. Vom presupune că cea mai simplă disciplină este implementată în sistem - deservirea cerinței în ordinea sosirii (FIFO). În sistemele cu mai multe linii, se formează o coadă comună pentru toate elementele, iar prima revendicare din coadă se îndreaptă către orice element eliberat.

Cu toate acestea, QS folosește și discipline de servicii mai complexe. Cele mai simple exemple de astfel de discipline sunt ordinea inversă (inversa) a serviciului (LIFO), în care este deservită cerința care a intrat ultima dată în sistem.

Disciplina separării uniforme a elementelor sistemului, în care fiecare dintre P cerințele din sistem sunt deservite la aceeași rată 1/p. Uneori, în momentul în care o cerință intră în sistem, se cunoaște timpul serviciului acesteia (lucrarea care trebuie efectuată). Apoi este posibil să se utilizeze discipline care depind de timpii de deservire reziduali ai solicitărilor. În special, disciplina de a servi prima cerință cu timpul de serviciu minim rămas vă permite să obțineți oricând lungimea minimă a cozii de așteptare. Utilizarea disciplinelor complexe de servicii permite de foarte multe ori, fără costuri suplimentare, îmbunătățirea semnificativă a calității funcționării QS.

O clasă specială de QS-uri sunt sisteme prioritare care primesc fluxuri de cerințe de mai multe priorități și cerințe de mai multe priorități înalte să aibă prioritate față de cerințele cu prioritate inferioară, de ex. servit mai devreme. Prioritățile pot fi relative, atunci când cererile cu prioritate mai mare nu întrerup serviciile de solicitări cu prioritate inferioară asupra elementelor, și absolute, când apare o astfel de întrerupere.

În cazul priorităților absolute, sunt posibile și diverse modificări: clienții nedeserviți cu serviciu întrerupt părăsesc sistemele (sisteme cu abandon), continuă să fie deserviți după ce toți clienții cu priorități mai mari părăsesc sistemul (sisteme cu îngrijire ulterioară) și sunt deserviți. din nou.

Disciplinele de serviciu ar trebui să includă, de asemenea, factori precum etapa pregătitoareînainte de începerea deservirii următoarei cereri sau după ce o solicitare a ajuns într-un sistem liber, etapa trecerii unui element la solicitări de service de alt tip, solicitări de service de către elemente nesigure ale sistemului etc. În cele din urmă, timpul petrecut de o solicitare în sistem sau timpul necesar pentru a aștepta începerea serviciului poate fi limitat.

Să descriem acum acele caracteristici QS care sunt de interes pentru utilizator. Uneori în practică sunt numite caracteristici probabilistic-temporale. Cele mai importante dintre ele sunt lungimea cozii(adică numărul de cereri care așteaptă să fie deservite) și timp de așteptare pentru ca cererea să înceapă deservirea. Deoarece atât lungimea cozii, cât și timpul de așteptare pentru începerea serviciului sunt variabile aleatorii, atunci, în mod natural, ele sunt descrise de propriile distribuții. În plus, distribuția lungimii cozii și a timpului de așteptare depind de timpul curent.

În sistemele cu pierderi sau cu un număr finit de locuri de așteptare, cele mai importante caracteristici includ și probabilitatea pierderii creanței. Uneori, împreună cu lungimea cozii, ei iau în considerare numărul total de solicitări din sistem,și împreună cu serviciul începe timpul de așteptare - timpul de rezidență al cerinței în sistem.

În sistemele cu pierderi sau un număr finit de locuri de așteptare, precum și în sistemele cu așteptare și încărcare p

Cele mai multe lucrări despre teoria stării de așteptare sunt dedicate găsirii caracteristicilor staționare, deși caracteristicile non-staționare au fost studiate suficient de detaliat.

Literatură

• 1. Gnedenko B.V. Curs de probabilitate. Moscova: Fizmatgiz, 1961.
• 2. Feller W. Introducere în teoria probabilității și aplicațiile acesteia.T.I. M.: Domnule,
• 1984.
• 3. Gnedenko B.V., Kovalenko I.N. Introducere în teoria cozilor. Moscova: Nauka, 1966.
• 4. Saaty T.L. Elemente ale teoriei cozilor și aplicațiile acesteia. M.: Sov. radio, 1965.

Lucru de curs

„Simularea unui sistem de așteptare”

la cursul „Cercetare operațională”

Introducere

În cercetarea operațională, se întâlnesc adesea sisteme concepute pentru utilizare reutilizabilă în rezolvarea aceluiași tip de probleme. Procesele care apar în acest caz se numesc procese de service, iar sistemele sunt numite sisteme de așteptare (QS). Fiecare QS constă dintr-un anumit număr de unități de serviciu (instrumente, dispozitive, puncte, stații), care se numesc canale de serviciu. Canalele pot fi linii de comunicație, puncte de operare, calculatoare, vânzători, etc. În funcție de numărul de canale, QS sunt împărțite în monocanal și multi-canal.

Aplicațiile ajung de obicei la QS nu în mod regulat, ci aleatoriu, formând așa-numitul flux aleatoriu de aplicații (cerințe). Serviciul de aplicații continuă, de asemenea, pentru o perioadă de timp aleatorie. Natura aleatorie a fluxului de aplicații și a timpului de service duce la faptul că QS-ul este încărcat neuniform: în unele perioade de timp se acumulează un număr foarte mare de aplicații (fie stau în coadă, fie lasă QS-ul neservit), în timp ce în alte perioade. perioadele în care QS funcționează cu o sarcină insuficientă sau în gol.

Subiectul teoriei cozilor de așteptare este construirea de modele matematice care pun în legătură condițiile date de funcționare ale QS (numărul de canale, performanța acestora, natura fluxului de aplicații etc.) cu indicatorii de performanță ai QS, care descriu capacitatea sa de a face față fluxului de aplicații. Următorii sunt utilizați ca indicatori de performanță ai QS:

– Debitul absolut al sistemului ( A

Q

- probabilitatea refuzului de a deservi cererea ();

k);

- numărul mediu de aplicații din coadă ();

QS sunt împărțite în 2 tipuri principale: QS cu eșecuri și QS cu așteptare (coadă). Într-un QS cu refuzuri, o solicitare care sosește într-un moment în care toate canalele sunt ocupate este refuzată, părăsește QS-ul și nu participă la procesul ulterioar de servicii (de exemplu, o solicitare pentru o conversație telefonică într-un moment în care toate canalele sunt ocupat primește un refuz și lasă QS-ul neservit) . Într-un QS cu așteptare, o revendicare care ajunge într-un moment în care toate canalele sunt ocupate nu pleacă, ci sta la coadă pentru service.

Una dintre metodele de calculare a indicatorilor de performanță QS este metoda simulării. Utilizarea practică a modelării prin simulare pe calculator presupune construirea unui model matematic adecvat care să ia în considerare factorii de incertitudine, caracteristicile dinamice și întregul complex de relații dintre elementele sistemului studiat. Modelarea de simulare a funcționării sistemului începe cu o stare inițială specifică. Datorită implementării diferitelor evenimente de natură aleatorie, modelul sistemului trece în celelalte stări posibile în momentele ulterioare de timp. Acest proces evolutiv continuă până la sfârșitul perioadei de planificare, adică. până la sfârșitul simulării.

1. Principalele caracteristici ale CMO și indicatori ai eficacității acestora

1.1 Conceptul unui proces stocastic Markov

Să existe un sistem care să-și schimbe starea aleatoriu în timp. În acest caz, spunem că în sistem are loc un proces aleatoriu.

Un proces se numește proces cu stări discrete dacă stările sale pot fi enumerate în prealabil și trecerea sistemului de la o stare la alta are loc într-un salt. Un proces se numește proces în timp continuu dacă tranzițiile sistemului de la stare la stare au loc instantaneu.

Procesul QS este un proces aleatoriu cu stări discrete și timp continuu.

Un proces aleatoriu se numește proces Markov sau proces aleatoriu fără efecte secundare, dacă în orice moment, caracteristicile probabilistice ale procesului în viitor depind doar de starea acestuia în acest momentși nu depindeți de când și cum a ajuns sistemul în această stare.

Când se analizează procesele de operare QS, este convenabil să se utilizeze o schemă geometrică - grafic de stare. De obicei, stările sistemului sunt reprezentate prin dreptunghiuri, iar posibilele tranziții de la stare la stare sunt reprezentate prin săgeți. Un exemplu de grafic de stare este prezentat în fig. unu.

Un flux de evenimente este o succesiune de evenimente omogene care urmează unul după altul în momente aleatorii.

Fluxul se caracterizează prin intensitatea λ – frecvența de apariție a evenimentelor sau numărul mediu de evenimente care intră în QS pe unitatea de timp.

Un flux de evenimente se numește regulat dacă evenimentele urmează unul după altul la intervale regulate.

Un flux de evenimente este numit staționar dacă caracteristicile sale probabilistice nu depind de timp. În special, intensitatea unui flux staționar este o valoare constantă: .

Un flux de evenimente se numește obișnuit dacă probabilitatea ca două sau mai multe evenimente să lovească o perioadă mică de timp este mică în comparație cu probabilitatea ca un singur eveniment să se lovească, adică dacă evenimentele apar în el unul câte unul și nu în grupuri.

Un flux de evenimente se numește flux fără efect secundar dacă pentru oricare două intervale de timp care nu se suprapun și numărul de evenimente care se încadrează pe unul dintre ele nu depinde de numărul de evenimente care cad pe celelalte.

Un flux de evenimente este numit cel mai simplu (sau Poisson staționar) dacă este atât staționar, cât și obișnuit și nu are efecte secundare.

1.2 Ecuații Kolmogorov

Toate tranzițiile din sistem de la o stare la alta au loc sub un anumit flux de evenimente. Fie sistemul într-o stare , din care este posibilă o tranziție la stare, atunci putem presupune că sistemul este afectat de cel mai simplu flux cu intensitate , transferându-l din stare în . De îndată ce apare primul eveniment al firului, are loc tranziția acestuia. Pentru claritate, pe graficul de stare, fiecare săgeată corespunzătoare tranziției este indicată de intensitatea . Un astfel de grafic de stare etichetat vă permite să construiți un model matematic al procesului, de exemplu. găsiți probabilitățile tuturor stărilor în funcție de timp. Pentru ei, sunt compilate ecuații diferențiale, numite ecuații Kolmogorov.

Regula pentru compilarea ecuațiilor lui Kolmogorov:În partea stângă a fiecărei ecuații se află derivata în timp a probabilității unei stări date. În partea dreaptă se află suma produselor tuturor stărilor din care este posibilă o tranziție la o stare dată, cu intensitatea fluxurilor de evenimente corespunzătoare minus intensitatea totală a tuturor fluxurilor care scot sistemul din această stare, înmulțită cu probabilitatea acestei stări.

De exemplu, pentru graficul de stare prezentat în Fig. 1, ecuațiile Kolmogorov au forma:

pentru că în partea dreaptă a sistemului, fiecare termen intră 1 dată cu un semn și 1 dată cu un semn , apoi, adunând toate ecuațiile, obținem că

,

,

Prin urmare, una dintre ecuațiile sistemului poate fi eliminată și înlocuită cu ecuația (1.2.1).

Pentru a obține o soluție specifică, trebuie să cunoașteți condițiile inițiale, adică. probabilități la momentul inițial de timp.

1.3 Probabilități finale și graficul stărilor QS

Pentru un timp suficient de lung al proceselor din sistem (la ), se pot stabili probabilitățile stărilor care nu depind de timp, care se numesc probabilități finale, adică. sistemul este în modul staționar. Dacă numărul de stări ale sistemului este finit, iar din fiecare dintre ele într-un număr finit de pași se poate trece la orice altă stare, atunci există probabilitățile finale, adică.

Sensul probabilităților finale este că ele sunt egale cu timpul relativ mediu petrecut de sistem într-o stare dată.

pentru că în stare staționară, derivatele de timp sunt egale cu zero, apoi ecuațiile pentru probabilitățile finale se obțin din ecuațiile Kolmogorov prin egalarea laturilor lor din dreapta cu zero.

Graficele de stare utilizate în modelele sistemelor de așteptare se numesc schema de moarte și rasă. Această denumire se datorează faptului că această schemă este utilizată în problemele biologice legate de studiul mărimii populației. Particularitatea sa constă în faptul că toate stările sistemului pot fi reprezentate ca un lanț, în care fiecare dintre stări este conectată cu cele anterioare și ulterioare (Fig. 2).

Orez. 2. Graficul stărilor în modelele QS

Să presupunem că toate fluxurile care transferă sistemul dintr-o stare în alta sunt cele mai simple. Conform graficului prezentat în fig. 2, vom compune ecuații pentru probabilitățile finale ale sistemului. Arata ca:

Sistemul este obținut din ( n +1) ecuație, care se rezolvă prin metoda eliminării. Această metodă constă în faptul că succesiv toate probabilitățile sistemului sunt exprimate prin probabilitatea .

,

.

Înlocuind aceste expresii în ultima ecuație a sistemului, găsim , apoi găsim probabilitățile rămase ale stărilor QS.

1.4 Indicatori de performanță QS

Scopul modelării QS este de a calcula performanța unui sistem prin caracteristicile sale. Următorii sunt utilizați ca indicatori de performanță ai QS:

este capacitatea absolută a sistemului ( A), adică numărul mediu de cereri deservite pe unitatea de timp;

este debitul relativ ( Q), adică ponderea medie a cererilor primite deservite de sistem;

este probabilitatea de eșec (), adică probabilitatea ca aplicația să lase QS-ul neservit;

- număr mediu canale ocupate (k);

- numărul mediu de aplicații în QS ();

– timpul mediu de ședere a aplicației în sistem ();

- numărul mediu de aplicații în coadă () - lungimea cozii;

- numărul mediu de aplicații din sistem ();

- timpul mediu în care aplicația rămâne în coadă ();

- timpul mediu în care aplicația rămâne în sistem ()

– gradul de încărcare a canalului (), i.e. probabilitatea ca canalul să fie ocupat;

este numărul mediu de cereri deservite pe unitatea de timp;

– timpul mediu de așteptare pentru serviciu;

– probabilitatea ca numărul de aplicații din coadă să depășească o anumită valoare etc.

Se dovedește că pentru orice natură a fluxului de aplicații, pentru orice distribuție a timpului de serviciu, pentru orice disciplină de serviciu, timpul mediu de rezidență al unei aplicații în sistem (coadă) este egal cu numărul mediu de aplicații din sistem. (coada) împărțită la intensitatea fluxului de aplicații, adică

(1.4.1)

Formulele (1.4.1) și (1.4.2) se numesc formule mici. Ele decurg din faptul că în regimul staționar limitator numărul mediu de creanțe care sosesc în sistem este egal cu numărul mediu de creanțe care părăsesc acesta, i.e. ambele fluxuri de aplicații au aceeași intensitate.

Formulele pentru calcularea indicatorilor de performanță sunt date în tabel. unu.

Tabelul 1.

Indicatori	QS cu un singur canal cu coadă limitată	QS multicanal cu coadă limitată
Final probabilități
Probabilitate
Debit absolut capacitatea
Debit relativ capacitatea
Numărul mediu de aplicații per
Numărul mediu de aplicații sub serviciu
Numărul mediu de aplicații în sistem

1.5 Concepte de bază ale simulării

Scopul principal al modelării prin simulare este de a reproduce comportamentul sistemului studiat pe baza analizei celor mai semnificative relații ale elementelor sale.

Simularea pe calculator ar trebui considerată ca un experiment static.

Din teoria funcțiilor variabilelor aleatoare se știe că pentru a modela o variabilă aleatoare cu orice funcție de distribuție continuă și monotonică este suficient să se poată modela o variabilă aleatoare distribuită uniform pe intervalul . După ce a obţinut o realizare a unei variabile aleatoare, se poate găsi realizarea corespunzătoare a unei variabile aleatoare, deoarece acestea sunt legate prin egalitate.

Să presupunem că într-un sistem de așteptare, timpul de serviciu al unui client este distribuit conform legii exponențiale cu parametrul , unde este intensitatea fluxului de servicii. Apoi funcția de distribuție a timpului de serviciu are forma

Fie o realizare a unei variabile aleatoare , distribuită uniform pe intervalul , și fie realizarea timpului de serviciu aleator al unei cereri corespunzătoare acesteia. Apoi, conform (1.5.1)

1.6 Modele de simulare a clădirii

Prima etapă în crearea oricărui model de simulare este etapa de descriere a unui sistem din viața reală în ceea ce privește caracteristicile principalelor evenimente. Aceste evenimente, de regulă, sunt asociate cu tranzițiile sistemului studiat de la o stare posibilă la alta și sunt desemnate ca puncte pe axa timpului. Pentru a atinge scopul principal al modelării, este suficientă observarea sistemului în momentele implementării principalelor evenimente.

Luați în considerare un exemplu de sistem de așteptare cu un singur canal. Scopul modelării prin simulare a unui astfel de sistem este de a determina estimări ale caracteristicilor sale principale, cum ar fi timpul mediu petrecut de o aplicație în coadă, lungimea medie a cozii și ponderea timpului de nefuncționare a sistemului.

Caracteristicile procesului de coadă în sine își pot schimba valorile fie în momentul primirii unei noi cereri de service, fie la sfârșitul deservirii următoarei solicitări. QS-ul poate începe imediat să servească următoarea cerere (canalul de serviciu este gratuit), dar nu este exclusă necesitatea de a aștepta atunci când cererea trebuie să ia loc în coadă (QS cu coadă, canalul de serviciu este ocupat). După finalizarea deservirii următoarei solicitări, QS-ul poate începe imediat deservirea următoarei solicitări, dacă aceasta există, dar poate rămâne și inactiv dacă nu există. Informațiile necesare pot fi obținute prin observarea diverselor situații care apar în timpul implementării principalelor evenimente. Deci, atunci când o cerere ajunge în QS cu o coadă cu un canal de serviciu ocupat, lungimea cozii crește cu 1. În mod similar, lungimea cozii scade cu 1 dacă deservirea următoarei revendicări este finalizată și setul de revendicări în coadă. Nu este gol.

Pentru funcționarea oricărui model de simulare, este necesar să alegeți o unitate de timp. În funcție de natura sistemului care se modelează, o astfel de unitate poate fi o microsecundă, o oră, un an etc.

Deoarece, în esență, simularea pe computer este un experiment de calcul, rezultatele observate în agregat trebuie să aibă proprietățile implementării unui eșantion aleatoriu. Numai în acest caz se va asigura o interpretare statistică corectă a sistemului simulat.

În modelarea prin simulare pe calculator, interesul principal îl reprezintă observațiile obținute după ce sistemul studiat ajunge în modul staționar de funcționare, întrucât în ​​acest caz varianța eșantionului scade brusc.

Timpul necesar pentru ca sistemul să ajungă în modul staționar de funcționare este determinat de valorile parametrilor săi și de starea inițială.

Deoarece scopul principal este de a obține date de observație cu cea mai mică eroare posibilă, atunci pentru a atinge acest obiectiv, puteți:

1) creșterea duratei modelării prin simulare a procesului de funcționare a sistemului studiat. În acest caz, crește nu numai probabilitatea ca sistemul să ajungă în modul staționar de funcționare, dar crește și numărul de numere pseudoaleatoare utilizate, ceea ce afectează pozitiv și calitatea rezultatelor obținute.

2) pentru o durată fixă ​​de timp T modelarea de simulare de efectuat N experimente de calcul, numite și modele, cu seturi diferite de numere pseudoaleatoare, fiecare dintre acestea dând o observație. Toate rulările încep cu aceeași stare inițială a sistemului simulat, dar folosind seturi diferite de numere pseudoaleatoare. Avantajul acestei metode este independența observațiilor obținute, indicatori ai eficienței sistemului. Dacă numărul N modelul este suficient de mare, atunci limitele intervalului de încredere simetric pentru parametru sunt determinate după cum urmează:

, , adică , Unde

varianta corectata, ,

N– numărul de rulări de program, – fiabilitatea, .

2. Modelarea analitică a QS

2.1 Graficul de stare al sistemului și ecuația lui Kolmogorov

Luați în considerare un sistem de așteptare cu două canale (n = 2) cu o coadă limitată egală cu șase (m = 4). QS primește cel mai simplu flux de aplicații cu o intensitate medie λ = 4,8 și o lege exponențială a distribuției timpului între sosirea aplicațiilor. Fluxul de cereri deservite în sistem este cel mai simplu cu o intensitate medie μ = 2 și o lege exponențială a distribuției timpului de serviciu.

Acest sistem are 7 stări, le notăm:

S 0 - sistemul este liber, nu există solicitări;

S 1 - 1 cerere de service, coada este goală;

S 2 - 2 cereri de service, coada este goală;

S 3 - 2 cereri de service, 1 cerere în coadă;

S 4 - 2 cereri de service, 2 cereri in coada;

S 5 - 2 cereri de service, 3 cereri în coadă;

S 6 - 2 cereri de service, 4 cereri în coadă;

Probabilitățile ca sistemul să intre în stările S 0 , S 1 , S 2 , …, S 6 sunt, respectiv, egale cu Р 0 , Р 1 , Р 2 , …, Р 6 .

Graficul de stare al sistemului de așteptare este o schemă de moarte și reproducere. Toate stările sistemului pot fi reprezentate ca un lanț în care fiecare dintre stări este conectată cu cea anterioară și cu următoarea.

Orez. 3. Graficul stărilor unui QS cu două canale

Pentru graficul construit, scriem ecuațiile Kolmogorov:

Pentru a rezolva acest sistem, punem condițiile inițiale:

Sistemul de ecuații al lui Kolmogorov (sistem ecuatii diferentiale) rezolvăm prin metoda numerică Euler folosind pachetul software Maple 11 (vezi Anexa 1).

metoda Euler

Unde - în cazul nostru, acestea sunt părțile corecte ale ecuațiilor Kolmogorov, n=6.

Să alegem un pas de timp. Să presupunem unde T este timpul necesar pentru ca sistemul să atingă o stare de echilibru. De aici obținem numărul de pași . În mod consecvent N odată calculate prin formula (1), obținem dependențele probabilităților stărilor sistemului în timp, prezentate în fig. 4.

Valorile probabilităților QS la sunt egale cu:

Orez. 4. Dependenţe ale probabilităţilor stărilor sistemului în timp

P0

P5

P4

P3

P2

P1

2.2 Probabilităţi finale ale sistemului

Cu un timp suficient de lung pentru procesele din sistem (), se pot stabili probabilitățile stărilor care nu depind de timp, care se numesc probabilități finale, adică. sistemul este în modul staționar. Dacă numărul de stări ale sistemului este finit, iar din fiecare dintre ele se poate trece la orice altă stare într-un număr finit de pași, atunci există probabilitățile finale, adică.

pentru că în stare staționară, derivatele de timp sunt egale cu 0, apoi ecuațiile pentru probabilitățile finale se obțin din ecuațiile Kolmogorov prin egalarea laturilor din dreapta cu 0. Să scriem ecuațiile pentru probabilitățile finale pentru QS-ul nostru.

Să rezolvăm acest sistem ecuatii lineare folosind pachetul software Maple 11 (vezi Anexa 1).

Obținem probabilitățile finale ale sistemului:

Compararea probabilităților obținute din sistemul de ecuații Kolmogorov pentru , cu probabilitățile finale arată că erorile sunt egale:

Acestea. destul de mic. Aceasta confirmă corectitudinea rezultatelor obținute.

2.3 Calculul indicatorilor de performanță a sistemului prin probabilităţi finale

Să găsim indicatorii de performanță ai sistemului de așteptare.

Mai întâi, calculăm intensitatea redusă a fluxului de aplicații:

1) Probabilitatea de a refuza deservirea aplicației, i.e. probabilitatea ca clientul să lase sistemul nedeservit În cazul nostru, clientului i se refuză serviciul dacă toate cele 2 canale sunt ocupate și coada este plină maxim (adică 4 persoane în coadă), aceasta corespunde stării sistemului S 6 . pentru că probabilitatea ca sistemul să intre în starea S 6 este P 6 , atunci

4) Lungimea medie a cozii, de ex. numărul mediu de cereri din coadă este egal cu suma produselor numărului de cereri din coadă și probabilitatea stării corespunzătoare.

5) Timpul mediu pe care o aplicație îl petrece într-o coadă este determinat de formula lui Little:

3. Modelarea prin simulare a QS

3.1 Algoritmul metodei de simulare QS (abordare pas cu pas)

Luați în considerare un sistem de așteptare cu două canale (n = 2) cu o lungime maximă de coadă de șase (m = 4). QS primește cel mai simplu flux de aplicații cu o intensitate medie λ = 4,8 și o lege exponențială a distribuției timpului între sosirea aplicațiilor. Fluxul de cereri deservite în sistem este cel mai simplu cu o intensitate medie μ = 2 și o lege exponențială a distribuției timpului de serviciu.

Pentru a simula QS-ul, vom folosi una dintre metodele de modelare statistică - modelarea prin simulare. Vom folosi o abordare pas cu pas. Esența acestei abordări este că stările sistemului sunt luate în considerare în momentele de timp ulterioare, pasul între care este suficient de mic încât să nu aibă loc mai mult de un eveniment în timpul său.

Să alegem pasul de timp (). Ar trebui să fie mult mai mic decât timpul mediu de primire a cererii () și timpul mediu al serviciului acesteia (), adică

Unde (3.1.1)

Pe baza condiției (3.1.1), determinăm pasul de timp .

Ora de primire a unei aplicații în QS și timpul serviciului acesteia sunt variabile aleatorii. Prin urmare, atunci când se simulează QS, acestea sunt calculate folosind numere aleatorii.

Luați în considerare primirea cererii în CMO. Probabilitatea ca un ordin să ajungă în QS în timpul intervalului este egală cu: . Să generăm un număr aleator și dacă , atunci vom considera că cererea la acest pas a intrat în sistem dacă , apoi nu a intrat.

Acest lucru se face în program este Solicitat () . Vom lua intervalul de timp constant și egal cu 0,0001, atunci raportul va fi egal cu 10000. Dacă se primește cererea, atunci aceasta ia valoarea „adevărat”, în caz contrar valoarea este „falsă”.

bool isRequested()

dublu r = R.NextDouble();

dacă (r< (timeStep * lambda))

Să luăm acum în considerare serviciul unei aplicații în QS. Timpul de serviciu al unei aplicații în sistem este determinat de expresie , unde este un număr aleatoriu. În program, timpul de service este determinat cu ajutorul funcției GetServiceTime () .

dublu GetServiceTime()

dublu r = R.NextDouble();

return(-1/mu*Math. Log(1-r, Math.E));

Algoritmul metodei de simulare poate fi formulat după cum urmează. Orele de funcționare ale QS ( T) este împărțit în pași de timp dt, fiecare dintre ei efectuează o serie de acțiuni. Mai întâi, sunt determinate stările sistemului (canale ocupate, lungimea cozii), apoi, folosind funcția este Solicitat () , se stabilește dacă cererea a fost primită la acest pas sau nu.

Dacă este primit și, în același timp, există canale gratuite, atunci folosind funcția GetServiceTime () generăm timpul de procesare a aplicației și o punem în funcțiune. Dacă toate canalele sunt ocupate, iar lungimea cozii este mai mică de 4, atunci plasăm cererea în coadă; dacă lungimea cozii este 4, atunci cererea va fi refuzată.

În cazul în care la acest pas cererea nu a fost primită, iar canalul de serviciu a fost liber, verificăm dacă există coadă. Dacă există, atunci din coadă punem cererea de service într-un canal gratuit. După operațiunile efectuate, timpul de service pentru canalele ocupate este redus cu valoarea pasului dt .

După ce timpul a trecut T, adică după modelarea funcționării QS-ului, se calculează indicatorii de performanță ai sistemului, iar rezultatele sunt afișate pe ecran.

3.2 Diagramă program

Schema bloc a programului care implementează algoritmul descris este prezentată în fig. 5.

Orez. 5. Organigrama programului

Să scriem câteva blocuri mai detaliat.

Blocul 1. Setarea valorilor inițiale ale parametrilor.

R aleatoriu; // Generator de numere aleatorii

public uint maxQueueLength; // Lungimea maximă a cozii

public uint channelCount; // Numărul de canale din sistem

public dublu lambda; // Intensitatea fluxului de cereri primite

public dublu mu; // Intensitatea fluxului de deservire a cererii

public double timeStep; // Pas de timp

public double timeOfFinishProcessingReq; // Ora de încheiere a deservirii cererii pe toate canalele

public double timeInQueue; // Timpul petrecut de QS în state cu o coadă

dubla procesare publică; // Timpul de rulare a sistemului

public double totalProcessingTime; // Timp total pentru cererile de service

public uint requestEntryCount; // Numărul de cereri primite

public uint declinedRequestCount; // Numărul de cereri respinse

public uint acceptedRequestCount; // Numărul de cereri servite

uint queueLength; // Lungimea cozii //

Tip care descrie stările QS

enumerare SysCondition(S0, S1, S2, S3, S4, S5, S6);

SysCondition currentSystemCondition; // Starea curentă a sistemului

Setarea stărilor sistemului. Să evidențiem 7 stări diferite pentru acest sistem cu 2 canale: S 0 , S 1 . S 6 . QS este în starea S 0 când sistemul este liber; S 1 – cel puțin un canal este liber; în starea S 2 când toate canalele sunt ocupate și există loc în coadă; în starea S 6, toate canalele sunt ocupate și coada a atins lungimea maximă (queueLength = 4).

Determinăm starea curentă a sistemului folosind funcția GetCondition()

SysCondition GetCondition()

SysCondition p_currentCondit = SysCondition.S0;

int busyChannelCount = 0;

pentru (int i = 0; i< channelCount; i++)

dacă (timeOfFinishProcessingReq[i] > 0)

busyChannelCount++;

p_currentCondit += k * (i + 1);

dacă (busyChannelCount > 1)

(p_currentCondit++;)

return p_currentCondit + (int) QueueLength;

Modificarea timpului de rezidență QS în statele cu o lungime de coadă de 1, 2, 3, 4. Acest lucru este implementat de următorul cod:

dacă (QueueLength > 0)

timeInQueue += timeStep;

dacă (QueueLength > 1)

(timeInQueue += timeStep;)

Există o astfel de operațiune precum plasarea unei cereri de serviciu pe un canal gratuit. Toate canalele sunt scanate, începând de la primul, când este îndeplinită condiția timeOfFinishProcessingReq [ i ] <= 0 (canalul este gratuit), i se depune o cerere, adică se generează ora de încheiere pentru deservirea cererii.

pentru (int i = 0; i< channelCount; i++)

dacă (timeOfFinishProcessingReq[i]<= 0)

timeOfFinishProcessingReq[i] = GetServiceTime();

totalProcessingTime+= timeOfFinishProcessingReq[i];

Serviciul aplicațiilor în canale este modelat de codul:

pentru (int i = 0; i< channelCount; i++)

dacă (timeOfFinishProcessingReq[i] > 0)

timeOfFinishProcessingReq[i] -= timeStep;

Algoritmul metodei de simulare este implementat în limbajul de programare C#.

3.3 Calcul Indicatori de performanță QS bazați pe rezultatele simulării sale

Cei mai importanți indicatori sunt:

1) Probabilitatea refuzului de a deservi cererea, i.e. probabilitatea ca clientul să lase sistemul neservit. În cazul nostru, clientului i se refuză serviciul dacă toate cele 2 canale sunt ocupate și coada este cât mai plină (adică 4 persoane în coadă). Pentru a găsi probabilitatea de eșec, împărțim timpul în care QS rămâne în starea cu coada 4 la timpul total al sistemului.

2) Debitul relativ este ponderea medie a cererilor primite deservite de sistem.

3) Debitul absolut este numărul mediu de aplicații servite pe unitatea de timp.

4) Lungimea cozii, i.e. numărul mediu de aplicații din coadă. Lungimea cozii este egală cu suma produselor numărului de persoane din coadă și probabilitatea stării corespunzătoare. Găsim probabilitățile stărilor ca raportul dintre timpul QS în această stare și timpul total al funcționării sistemului.

5) Timpul mediu pe care o aplicație îl petrece într-o coadă este determinat de formula lui Little

6) Numărul mediu de canale ocupate este definit după cum urmează:

7) Procentul de aplicații cărora li s-a refuzat serviciul se află după formula

8) Procentul de cereri deservite se află prin formula

3.4 Prelucrarea statistică a rezultatelor şi compararea lor cu rezultatele modelării analitice

pentru că indicatorii de performanță sunt obținuți ca rezultat al modelării QS pentru un timp finit, ei conțin o componentă aleatorie. Prin urmare, pentru a obține rezultate mai fiabile, este necesar să se efectueze prelucrarea statistică a acestora. În acest scop, estimăm intervalul de încredere pentru ei pe baza rezultatelor a 20 de rulări ale programului.

Valoarea se încadrează în intervalul de încredere dacă inegalitatea

, Unde

așteptarea matematică (valoarea medie), se găsește prin formula

varianta corectata,

,

N =20 - numărul de rulări

- fiabilitate. La și N =20 .

Rezultatul programului este prezentat în Fig. 6.

Orez. 6. Tip de program

Pentru comoditatea compararii rezultatelor obtinute prin diferite metode de modelare, le prezentam sub forma unui tabel.

Masa 2.

Indicatori Eficiența QS	rezultate analitic modelare	rezultate modelare de simulare (ultimul pas)	Rezultatele simularii
			Concluzie fiduciar interval	Limită superioară fiduciar interval
Probabilitatea de eșec		0,174698253017626	0,158495148639101	0,246483801571923
Lățimea de bandă relativă		0,825301746982374	0,753516198428077	0,841504851360899
Lățimea de bandă absolută		3,96144838551539	3,61687775245477	4,03922328653232
Lungimea medie a cozii		1,68655313447018	1,62655862750852	2,10148609204869
Timpul mediu pe care o aplicație îl petrece în coadă	0,4242558575	0,351365236347954	0,338866380730942	0,437809602510145
Canale ocupate în medie		1,9807241927577	1,80843887622738	2,01961164326616

Din Tabel. 2 arată că rezultatele obținute în modelarea analitică a QS se încadrează în intervalul de încredere obținut din rezultatele simulării. Adică rezultatele obținute prin diferite metode sunt consistente.

Concluzie

În această lucrare sunt luate în considerare principalele metode de modelare a QS și de calculare a indicatorilor de performanță ai acestora.

Modelarea unui QS cu două canale cu o lungime maximă a cozii de 4 a fost efectuată folosind ecuațiile Kolmogorov și au fost găsite probabilitățile finale ale stărilor sistemului. Se calculează indicatorii eficacității sale.

A fost efectuată o simulare a funcționării unui astfel de QS. În limbajul de programare C#, a fost compilat un program care simulează funcționarea acestuia. Au fost efectuate o serie de calcule, pe baza rezultatelor cărora s-au găsit valorile indicatorilor de eficiență a sistemului și s-a efectuat prelucrarea statistică a acestora.

Rezultatele obținute în timpul modelării prin simulare sunt în concordanță cu rezultatele modelării analitice.

Literatură

1. Wentzel E.S. Cercetare operațională. – M.: Butarda, 2004. – 208 p.

2. Volkov I.K., Zagoruiko E.A. Cercetare operațională. - M .: Editura MSTU im. N.E. Bauman, 2002. - 435 p.

3. Volkov I.K., Zuev S.M., Tsvetkova G.M. procese aleatorii. - M .: Editura MSTU im. N.E. Bauman, 2000. - 447 p.

4. Gmurman V.E. Ghid de rezolvare a problemelor de teoria probabilităților și statistică matematică. - M.: Şcoala superioară, 1979. - 400 p.

5. Ivniţki V.L. Teoria rețelelor de așteptare. – M.: Fizmatlit, 2004. – 772 p.

6. Operațiuni de cercetare în economie / ed. N.Sh. Kremer. - M.: Unitate, 2004. - 407 p.

7. Takha H.A. Introducere în cercetarea operațională. - M.: Editura „Williams”, 2005. - 902 p.

8. Kharin Yu.S., Malyugin V.I., Kirlitsa V.P. et al. Fundamentele simulării și modelării statistice. - Minsk: Design PRO, 1997. - 288 p.

În ultimele decenii, în diverse domenii ale economiei naționale, a devenit necesară rezolvarea problemelor probabilistice legate de funcționarea sistemelor de așteptare. Exemple de astfel de sisteme sunt centralele telefonice, atelierele de reparații, punctele de vânzare cu amănuntul, casele de bilete și așa mai departe. munca oricărui sistem de așteptare constă în deservirea fluxului de cerințe de intrare (apeluri de la abonați, fluxul de clienți către magazin, cerințele pentru lucrul în atelier etc.).
Disciplina matematică care studiază modelele sistemelor reale de așteptare se numește teoria cozilor de așteptare. Sarcina teoriei coadă este de a stabili dependența indicatorilor de performanță rezultați ai sistemului de așteptare (probabilitatea ca cerința să fie îndeplinită; așteptarea matematică a numărului de cerințe deservite etc.) de indicatorii de intrare (numărul de dispozitivele din sistem, parametrii fluxului de cerințe de intrare etc.) .) este posibil să se stabilească astfel de dependențe sub formă de formulă numai pentru sistemele simple de așteptare. Studiul sistemelor reale se realizează prin imitarea sau modelarea muncii lor pe un computer folosind metoda testelor statistice.
Sistemul de așteptare este considerat dat dacă sunt definite următoarele:
1) fluxul cerinţelor de intrare sau, cu alte cuvinte, legea distribuţiei care caracterizează momentele în timp în care cerinţele intră în sistem. Cauza principală a cerințelor se numește sursă. În cele ce urmează, suntem de acord să presupunem că sursa are un număr nelimitat de cerințe și că cerințele sunt omogene, adică diferă doar în momentele apariției lor în sistem;
2) un sistem de service constând dintr-o unitate și un nod de serviciu. Acesta din urmă este unul sau mai multe dispozitive de serviciu, care vor fi denumite dispozitive. Fiecare cerință trebuie să se adreseze unuia dintre instrumente pentru a fi întreținută. Se poate dovedi că cerințele vor trebui să aștepte până când dispozitivele sunt libere. În acest caz, cerințele sunt în magazin, formând una sau mai multe cozi. Să presupunem că trecerea cerinței de la nodul de stocare la nodul de serviciu are loc instantaneu;
3) timpul de serviciu al cerinței de către fiecare dispozitiv, care este o variabilă aleatorie și se caracterizează printr-o anumită lege de distribuție;
4) disciplina de așteptare, adică un set de reguli care guvernează numărul de cerințe care sunt în același timp în sistem. Un sistem în care o cerere primită este respinsă atunci când toate dispozitivele sunt ocupate se numește sistem fără așteptare. Dacă o solicitare care a ținut toate dispozitivele ocupate intră într-o coadă și așteaptă până când
până când unul dintre dispozitive devine liber, atunci un astfel de sistem se numește sistem pur de așteptare. Un sistem în care un client care a ținut toate serverele ocupate intră în coadă numai dacă numărul de clienți din sistem nu depășește un anumit nivel (altfel clientul se pierde) se numește sistem mixt de așteptare;
5) disciplina de serviciu, adică un set de reguli conform cărora cerința este selectată din coada pentru serviciu. Următoarele reguli sunt cel mai des folosite în practică:
- cererile sunt acceptate pentru deservire în ordinea de prioritate;
- Cererile sunt acceptate pentru serviciu conform termenului minim de primire a refuzului;
- cererile sunt acceptate pentru serviciu într-o ordine aleatorie în conformitate cu probabilitățile date;
6) disciplina la coada, i.e. un set de reguli conform cărora cerința dă preferință uneia sau altei cozi (dacă există mai multe) și se află în coada selectată. De exemplu, o revendicare primită poate avea loc în cea mai scurtă coadă; în această coadă, poate fi localizat ultimul (o astfel de coadă se numește ordonat) sau poate merge la service în afara rândului său. Sunt posibile și alte opțiuni.

Modelarea prin simulare a sistemelor de aşteptare

Model - este orice imagine, analogă, mentală sau stabilită, imagine, descriere, diagramă, desen etc. a oricărui obiect, proces sau fenomen, care în procesul de cunoaștere (studiu) înlocuiește originalul, păstrând unele proprietăți tipice importante pentru acest studiu. .
Modelarea este studiul oricărui obiect sau sistem de obiecte prin construirea și studierea modelelor acestora. Și, de asemenea, aceasta este utilizarea modelelor pentru a determina sau rafina caracteristicile și a raționaliza modalitățile de construire a obiectelor nou construite.
Modelul este un instrument pentru studierea sistemelor complexe.
În general un sistem complex este prezentată ca o construcție pe mai multe niveluri de elemente care interacționează combinate în subsisteme de diferite niveluri. Sistemele complexe includ sisteme informatice. Proiectarea unor astfel de sisteme complexe se realizează în două etape.

1 Design exterior

În această etapă, se efectuează alegerea structurii sistemului, a elementelor sale principale, organizarea interacțiunii dintre elemente, luarea în considerare a impactului mediului extern și evaluarea indicatorilor de performanță ai sistemului.

2 Design intern - proiectarea elementelor individuale
sisteme

O metodă tipică pentru studierea sistemelor complexe în prima etapă este simularea lor pe computer.
Ca rezultat al modelării, se obțin dependențe care caracterizează influența structurii și parametrilor sistemului asupra eficienței, fiabilității și altor proprietăți. Aceste dependențe sunt folosite pentru a obține structura și parametrii optimi ai sistemului.
Se numește un model formulat în limbajul matematicii folosind metode matematice model matematic.
Modelarea prin simulare se caracterizează prin reproducerea fenomenelor descrise printr-un model matematic, cu păstrarea structurii lor logice, a succesiunii de alternanță în timp. Orice informație adecvată care circulă în model poate fi utilizată pentru estimarea valorilor dorite, atâta timp cât este disponibilă pentru înregistrare și prelucrare ulterioară.
Valorile dorite în studiul proceselor prin simulare sunt de obicei determinate ca valori medii din datele unui număr mare de implementări de proces. Dacă numărul realizărilor N folosit pentru estimarea valorilor căutate este suficient de mare, atunci, datorită legii numerelor mari, estimările obținute capătă stabilitate statistică și pot fi luate ca valori aproximative ale valorilor căutate cu suficientă precizie pentru practică.
Esența metodei de modelare a simulării aplicată sarcinilor de așteptare este următoarea. Se construiesc algoritmi
cu ajutorul cărora este posibil să se dezvolte realizări aleatorii ale fluxurilor date de evenimente omogene, precum și să se modeleze procesele de funcționare a sistemelor de servicii. Acești algoritmi sunt utilizați pentru a reproduce în mod repetat implementarea unui proces de serviciu aleatoriu în condiții fixe ale problemei. Informațiile rezultate despre starea procesului sunt supuse unei prelucrări statistice pentru a evalua valorile care sunt indicatori ai calității serviciului.

3 Formarea implementărilor unui flux aleator de cereri

În studiul sistemelor complexe prin metoda simulării, se acordă o atenție considerabilă luării în considerare a factorilor aleatori.
Evenimentele aleatoare, variabilele aleatoare și procesele (funcțiile) aleatoare sunt folosite ca scheme matematice folosite pentru a formaliza acțiunea acestor factori. Formarea pe calculator a realizărilor de obiecte aleatoare de orice natură se reduce la generarea și transformarea numerelor aleatoare. Luați în considerare o metodă pentru obținerea valorilor posibile ale variabilelor aleatoare cu o lege de distribuție dată. Pentru a forma valorile posibile ale variabilelor aleatoare cu o lege de distribuție dată, materialul inițial este variabile aleatoare care au o distribuție uniformă în intervalul (0, 1). Cu alte cuvinte, valorile posibile xi ale variabilei aleatoare t, care are o distribuție uniformă în intervalul (0, 1), pot fi transformate în valori posibile yi ale variabilei aleatoare r), a cărei lege de distribuție este dat. Metoda de transformare este că numerele aleatoare sunt selectate dintr-o populație uniform distribuită care satisface o anumită condiție în așa fel încât numerele selectate să se supună unei legi de distribuție date.
Să presupunem că este necesar să se obțină o succesiune de numere aleatoare yi cu o funcție de densitate 1^(y). Dacă domeniul funcției f^y) nu este limitat pe una sau ambele părți, este necesar să treceți la distribuția trunchiată corespunzătoare. Fie intervalul de valori posibile pentru distribuția trunchiată (a, b).
Din variabila aleatoare r) corespunzătoare funcției de densitate f → y), trecem la f.
Valoare aleatoare b, va avea un interval de valori posibile (0, 1) și o funcție de densitate f ^ (z) dată de expresie.
Fie valoarea maximă a lui f^(z) egală cu f m . Să stabilim distribuții uniforme în intervalele (0, 1) ale numerelor aleatoare x 2 i-1 și x 2 i. Procedura de obținere a unei secvențe yi de numere aleatoare cu o funcție de densitate ^(y) se reduce la următoarele:
1) perechile de numere aleatoare x2i-1 sunt selectate din populația inițială,
2) pentru aceste numere se verifică validitatea inegalității
x 21<-- ^[а + (Ъ-а)х 2М ] (3)
m
3) dacă inegalitatea (3) este satisfăcută, atunci următorul număr yi este determinat din relație
yi \u003d a + (b-a) x 21 (4)
La modelarea proceselor de servicii, devine necesar să se formeze realizări ale unui flux aleatoriu de evenimente (aplicații) omogene. Fiecare eveniment de flux este caracterizat de momentul tj la care are loc. Pentru a descrie un flux aleator de evenimente omogene ca un proces aleatoriu, este suficient să specificam o lege de distribuție care caracterizează succesiunea de variabile aleatoare tj. Pentru a obține o realizare a unui flux de evenimente omogene t1, t2..., tk, este necesar să se formeze o realizare zbz 2 ,...,zk a unui vector aleator k-dimensional ££2,... , Sk și calculați valorile ti în conformitate cu următoarele rapoarte:
t2 =
Fie un flux ordinar staționar cu efect secundar limitat să fie dat de funcția de densitate f(z). În conformitate cu formula Palm (6), găsim funcția de densitate f1(z1) pentru primul interval z1.
1-Jf(u)du
Acum putem genera un număr aleator z b așa cum se arată mai sus, corespunzător funcției de densitate f1(z1), și obținem momentul apariției primei cereri t1 = z1. În continuare, formăm o serie de numere aleatoare corespunzătoare funcției de densitate f(z), iar folosind relația (4) calculăm valorile mărimilor t2, t3 ,.., tk.
4 Prelucrarea rezultatelor simulării
La implementarea algoritmilor de modelare pe un computer, se generează informații despre stările sistemului studiat. Aceste informații reprezintă materialul sursă pentru determinarea valorilor aproximative ale cantităților căutate sau, după cum se spune, estimări pentru cantitățile căutate.
Estimarea probabilității evenimentului A este calculată prin formula
p(A) = mN. (7)
Estimarea mediei x a unei variabile aleatoare b, calculat de
formulă
_ 1n
k=1
Estimarea S 2 pentru varianța variabilei aleatoare ^ se calculează prin formula
1 N 1 ( N L 2
S2=1 DA xk 2-5> J (9)
Estimarea momentului de corelare K^ pentru variabile aleatoare b,și c cu valori posibile x k și respectiv y k, se calculează prin formula
1 N 1 N
Y> [ Wow

5 Exemplu de modelare QS
Luați în considerare următorul sistem:
1 Solicitările ajung la momente aleatorii, în timp ce
intervalul de timp Q dintre oricare două cereri succesive are o lege exponențială cu parametrul eu, adică, funcția de distribuție are forma
>0. (11) Sistemul de așteptare este format din servere identice, numerotate.
3 Timpul T despre bsl - o variabilă aleatoare cu o lege de distribuție uniformă pe segment.
4 Sistem fără așteptare, de ex. cerința care a ocupat toate dispozitivele părăsește sistemul.
5 Disciplina de serviciu este următoarea: dacă în momentul primirii cerinței k -a primul server este liber, atunci începe deservirea cerinței; dacă acest server este ocupat și al doilea este liber, atunci cererea este deservită de al doilea server și așa mai departe.
Este necesar să se estimeze așteptările matematice ale numărului de cereri deservite de sistem în timpul T și respinse.
Pentru momentul inițial de calcul alegem momentul sosirii primei cerințe Т1=0. Să introducem următoarea notaţie: Tk este momentul primirii cerinţei k-a; ti - ora de încheiere a serviciului de solicitare al-lea dispozitiv, i=1, 2, 3, ...,s.
Să presupunem că la momentul T 1 toate dispozitivele sunt libere.
Prima cerere ajunge la serverul 1. Timpul de serviciu al acestui server are o distribuție uniformă pe segmentul . Prin urmare, valoarea specifică a t obl a acestui timp se găsește prin formula
(12)
unde r este valoarea unei variabile aleatoare R distribuite uniform pe segment. Dispozitivul 1 va fi ocupat în timpul t o bsl. Prin urmare, punctul de timp t 1 al sfârșitului cerinței de service de către dispozitivul 1 trebuie considerat egal cu: t 1 = T1+ t despre obsl.
Apoi adăugați unul la contorul de cereri servite și treceți la următoarea solicitare.
Să presupunem că k cerințe au fost deja luate în considerare. Să definim momentul Т k+1 de primire a (k+1)-a cerință. Pentru a face acest lucru, găsim valoarea t a intervalului de timp dintre cerințe succesive. Deoarece acest interval are o lege exponențială, atunci
12
x \u003d - În r (13)
| Ll
unde r este următoarea valoare a variabilei aleatoare R . Apoi momentul sosirii (k + 1)-a cerință: T k +1 = Tk + T.
Primul dispozitiv este gratuit în acest moment? Pentru a răspunde la această întrebare, este necesar să verificați condiția ti< Tk + i - Если это условие выполнено, то к моменту Т k +1 первый прибор освободился и может обслуживать требование. В этом случае t 1 заменяем на (Т k +1 + t обсл), добавляем единицу в счетчик об служенных требований и переходим к следующему требованию. Если t 1>T k +1, atunci primul dispozitiv la momentul T k +1 este ocupat. În acest caz, verificăm dacă al doilea dispozitiv este liber. Dacă starea i 2< Tk + i выполнено, заменяем t2 на (Т k +1+ t о бсл), добавляем единицу в счетчик обслуженных требований и переходим к следующему требованию. Если t 2>Т k +1, apoi verificăm condiția 1з<Тк+1 и т. д. Eсли при всех i от 1 до s имеет ti >T k +1, atunci în acest moment T k +1 toate dispozitivele sunt ocupate. În acest caz, adăugăm unul la contorul de defecțiuni și trecem la următoarea cerință. De fiecare dată, după calcularea T k + 1, trebuie să verificăm și condiția de terminare a implementării: Tk + i< T . Если это условие выполнено, то одна реализация процесса функционирования системы воспроизведена и испыта ние заканчивается. В счетчике обслуженных требований и в счетчике отказов находятся числа n обсл и n отк.
După repetarea unui astfel de test de n ori (folosind r diferit) și mediarea rezultatelor experimentelor, determinăm estimările așteptărilor matematice ale numărului de clienți serviți și ale numărului de clienți care au fost respinși:
(14)
(Ji
n j =1
unde (n obl) j și (n obl) j sunt valorile lui n obl și n obl în al-lea experiment.
13

Lista surselor utilizate
1 Emelyanov A.A. Simulare modelare a proceselor economice [Text]: Proc. indemnizație pentru universități / A.A. Emelyanov, E.A. Vlasova, R.V. Gând. - M. : Finanţe şi statistică, 2002. - 368s.
2 Buslenko, N.P. Modelarea sistemelor complexe [Text] / N.P. Buslenko.- M.: Nauka, 1978. - 399p.
3 sovietici B.Ya. Sisteme de modelare [Text]: Proc. pentru universități / B.Ya. Sove tov, S.A. Yakovlev. -M. : Cel mai inalt. şcoală, 1985. - 271 p.
4 sovietici B.Ya. Sisteme de modelare [Text]: Atelier de laborator: Proc. indemnizație pentru universitățile din specialitatea: „Sistem automatizat de prelucrare a informațiilor și control”. / B.Ya. Sovetov, S.A. Yakovlev. -M. : Cel mai inalt. scoala, 1989. - 80 p.
5 Maximei I.V. Modelare prin simulare pe computer [Text] / Maksimey, I.V. -M: RADIO ŞI COMUNICARE, 1988. - 231s.
6 Wentzel E.S. Teoria probabilității [Text]: manual. pentru universități / E.S. Golul de aerisire.- M.: Mai sus. şcoală, 2001. - 575 p.
7 Gmurman, V.E. Teoria probabilității și statistică matematică [Text]: manual. indemnizatie / V.E. Gmurman.- M .: Mai sus. şcoală, 2001. - 479 p.
anexa a
(obligatoriu)
Subiecte aproximative de așezare și lucrări grafice
1 Există un medic care lucrează la camera de urgență. Durata tratamentului pacientului
iar intervalele de timp dintre internarea pacienţilor sunt variabile aleatorii distribuite conform legii Poisson. În funcție de gravitatea leziunilor, pacienții sunt împărțiți în trei categorii, admiterea unui pacient de orice categorie este un eveniment aleatoriu cu o distribuție equiprobabilă. Medicul tratează mai întâi pacienții cu leziuni cele mai grave (în ordinea în care sunt primite), apoi, dacă nu există, pacienți cu severitate moderată și numai atunci - pacienți cu leziuni minore. Simulați procesul și estimați timpii medii de așteptare în coada de pacienți din fiecare categorie.
2 Există două zone de reparații în parcul auto urban. Primul servește reparații de scurtă și medie durată, al doilea - mediu și lung. Ca avarii, vehiculele sunt livrate flotei; intervalul de timp dintre livrări este o variabilă aleatorie Poisson. Durata reparației este o variabilă aleatorie cu o distribuție normală. Modelați sistemul descris. Estimați timpii medii de așteptare în coada de transport, necesitând reparații pe termen scurt, pe termen mediu și, respectiv, pe termen lung.
3 Un minimarket cu un singur controler - un casier deservește clienții al căror flux de intrare respectă legea Poisson cu un parametru de 20 de clienți/oră. Simulați procesul descris și determinați probabilitatea de nefuncționare pentru controlor - casier, lungimea medie a cozii, numărul mediu de clienți în mini-market, timpul mediu de așteptare pentru serviciu, timpul mediu petrecut de clienți în mini -să comercializeze și să-și evalueze munca.
4 ATS primește cereri pentru apeluri la distanță lungă. Fluxul de cereri este Poisson. În medie, se primesc 13 cereri pe oră. Găsiți numărul mediu de cereri primite pe zi, timpul mediu dintre apariția cererilor. La centrala telefonica apar disfunctionalitati daca se primesc peste 50 de solicitari in jumatate de ora. Găsiți probabilitatea defecțiunii stației.
5 La gară întreținere vine cel mai simplu
fluxul de aplicații cu o intensitate de 1 mașină la 2 ore.Nu pot fi mai mult de 3 mașini la coadă în curte. Timp mediu de reparație - 2 ore. Evaluați activitatea CMO și elaborați recomandări pentru îmbunătățirea serviciului.
6 Un țesător se ocupă de un grup de războaie, efectuând intervenții pe termen scurt după caz, a căror durată este o variabilă aleatorie. Simulați situația descrisă. Care este probabilitatea de oprire a două mașini simultan. Cât este timpul mediu de nefuncționare per mașină.
7 La o centrală telefonică la distanță lungă, doi operatori de telefonie deservesc o coadă comună de comenzi. Următoarea comandă este servită de operatorul de telefonie care a fost primul eliberat. Dacă ambii sunt ocupați la primirea comenzii, apelul va fi anulat. Simulați procesul presupunând că fluxurile de intrare sunt Poisson.
8 Sunt doi medici care lucrează la camera de urgență. Durata tratamentului doare
iar intervalele de timp dintre internările pacienţilor sunt variabile aleatorii distribuite conform legii Poisson. În funcție de gravitatea leziunilor, pacienții sunt împărțiți în trei categorii, admiterea unui pacient de orice categorie este un eveniment aleatoriu cu o distribuție equiprobabilă. Medicul tratează mai întâi pacienții cu leziuni cele mai grave (în ordinea în care sunt primite), apoi, dacă nu există, pacienți cu severitate moderată și numai atunci - pacienți cu leziuni minore. Simulați procesul și estimați timpii medii de așteptare în coada de pacienți din fiecare categorie.
9 La o centrală telefonică interurbană deservesc doi operatori de telefonie
creați o coadă comună de comenzi. Următoarea comandă este servită de acel operator de telefonie,
care a fost lansat primul. Dacă ambele sunt ocupate în momentul primirii comenzii, atunci se formează o coadă. Simulați procesul presupunând că fluxurile de intrare sunt Poisson.
10 Într-un sistem de transmisie de date, pachetele de date sunt schimbate între nodurile A și B pe un canal de comunicație duplex. Pachetele ajung la punctele sistemului de la abonați cu intervale de timp între ei de 10 ± 3 ms. Transmisia pachetului durează 10 ms. Punctele au registre tampon care pot stoca două pachete, inclusiv pe cel transmis. Dacă un pachet ajunge în momentul în care registrele sunt ocupate, punctele sistemului sunt prevăzute cu acces la o linie de comunicație prin satelit half duplex, care transmite pachete de date în 10 ± 5 ms. Când linia de satelit este ocupată, pachetul este respins. Simulați schimbul de informații în sistemul de transmisie de date timp de 1 min. Determinați frecvența apelurilor către linia de satelit și încărcarea acesteia. În cazul unor posibile defecțiuni, determinați volumul de registre tampon necesare pentru funcționarea fără probleme a sistemului.
11 Lăsați sistemul standard să fie utilizat la o centrală telefonică cu o singură intrare: dacă abonatul este ocupat, atunci coada nu este formată și este necesar să apelați din nou. Simulați situația: trei abonați încearcă să ajungă la același proprietar al numărului și, dacă reușesc, vorbesc cu el o perioadă (aleatorie ca durată). Care este probabilitatea ca cineva care încearcă să treacă prin telefon să nu poată face acest lucru într-un anumit timp T.
12 O societate comercială intenționează să onoreze comenzile de cumpărare a mărfurilor prin telefon, pentru care este necesară instalarea unei minicentrale telefonice automate adecvate cu mai multe aparate telefonice. Dacă comanda ajunge când toate liniile sunt ocupate, atunci clientul primește un refuz. Dacă în momentul primirii cererii cel puțin o linie este liberă, atunci se trece la această linie și se plasează o comandă. Intensitatea fluxului de aplicații de intrare este de 30 de comenzi pe oră. Durata aplicației este în medie de 5 minute. A determina număr optim canale de servicii pentru a asigura starea de funcționare staționară a QS.
13 Într-un magazin cu autoservire sunt 6 controlori - casierii. Fluxul de intrare de cumpărători respectă legea lui Poisson cu o intensitate de 120 de persoane pe oră. Un casier poate servi 40 de persoane pe oră. Determinați probabilitatea ca casierul inactiv, numărul mediu de clienți în coadă, timpul mediu de așteptare, numărul mediu de casiere ocupate. Oferiți o evaluare a activității QS.
14 Un flux Poisson de 200 de clienți pe oră intră într-un magazin cu autoservire. Ziua sunt deservite de 3 controlori de casierie cu o intensitate de 90 de clienti pe ora. Intensitatea fluxului de intrare al cumpărătorilor în orele de vârf crește la o valoare de 400 de cumpărători pe oră, iar în orele de recesiune ajunge la 100 de cumpărători pe oră. Determinați probabilitatea formării unei cozi în magazin și lungimea medie a cozii în timpul zilei, precum și numărul necesar de controlori de casierie în timpul orelor de vârf și de recesiune, oferind aceeași lungime a cozii și probabilitatea formării acesteia ca în modul nominal.
15 Numărul mediu de clienți care sosesc la nodul de decontare într-un magazin cu autoservire este de 100 de persoane pe oră. Casiera poate deservi 60 de persoane pe oră. Simulați procesul și determinați de câte casiere sunt necesare astfel încât probabilitatea ca o coadă să nu depășească 0,6.
16 Simulați o coadă într-un magazin cu un singur vânzător cu legi la fel de probabile de distribuție a variabilelor aleatoare: sosirea clienților și durata serviciului (cu un set fix de parametri). Obțineți caracteristici stabile: valorile medii de așteptare în coadă de către cumpărător și timpul de inactivitate al vânzătorului în așteptarea sosirii cumpărătorilor. Evaluează-le credibilitatea.
17 Simulați o coadă într-un magazin cu un vânzător cu legile Poisson de distribuție a variabilelor aleatoare: sosirea clienților și durata serviciului (cu un set fix de parametri). Obțineți caracteristici stabile: valorile medii de așteptare în coadă de către cumpărător și timpul de inactivitate al vânzătorului în așteptarea sosirii cumpărătorilor. Evaluează-le credibilitatea.
18 Creați un model de benzinărie. Găsiți indicatori ai calității cererilor de servicii. Determinați numărul de rafturi, astfel încât coada să nu crească.
19 Numărul mediu de clienți care sosesc la nodul de casă într-un magazin cu autoservire, 60 de persoane pe oră. Casiera poate deservi 35 de persoane pe oră. Simulați procesul și determinați de câte casiere sunt necesare astfel încât probabilitatea ca o coadă să nu depășească 0,6.
20 Modelați o rută de autobuz cu n stații. Determinați indicatorii de performanță pentru utilizarea QS.

Desen 0 - 2 Fluxuri de evenimente (a) și cel mai simplu flux (b)

10.5.2.1. staționaritate

Fluxul se numește staționar , dacă probabilitatea de a lovi unul sau altul număr de evenimente într-o perioadă elementară de timp lungime τ (

Figura 0-2 , A) depinde doar de lungimea secțiunii și nu depinde de locul exact pe ax t aceasta zona este situata.

Staționaritatea fluxului înseamnă uniformitatea acestuia în timp; caracteristicile probabilistice ale unui astfel de flux nu se modifică în timp. În special, așa-numita intensitate (sau „densitate”) a fluxului de evenimente, numărul mediu de evenimente pe unitatea de timp pentru un flux staționar, trebuie să rămână constantă. Acest lucru, desigur, nu înseamnă că numărul real de evenimente care apar pe unitatea de timp este constant; fluxul poate avea concentrații locale și rarefacție. Este important ca pentru un flux staționar aceste concentrații și rarefări să nu fie de natură obișnuită, iar numărul mediu de evenimente care se încadrează într-un singur interval de timp să rămână constant pentru întreaga perioadă luată în considerare.

În practică, există adesea fluxuri de evenimente care (cel puțin pentru o perioadă limitată de timp) pot fi considerate staționare. De exemplu, fluxul de apeluri care sosesc la centrala telefonică, să zicem, în intervalul de la 12 la 13 ore poate fi considerat staționar. Același flux nu va mai fi staționar pentru o zi întreagă (noaptea, intensitatea fluxului de apeluri este mult mai mică decât în ​​timpul zilei). Rețineți că același lucru este și cazul majorității proceselor fizice pe care le numim „staționare”, de fapt, ele sunt staționare doar pentru o perioadă limitată de timp, iar extinderea acestei perioade la infinit este doar un truc convenabil folosit în scopuri de simplificare. .

10.5.2.2. Fără efect secundar

Fluxul evenimentelor se numește flux fără efecte secundare , dacă pentru orice interval de timp care nu se suprapun numărul de evenimente care se încadrează pe unul dintre ele nu depinde de câte evenimente au căzut pe celălalt (sau altele, dacă sunt luate în considerare mai mult de două secțiuni).

În astfel de fluxuri, evenimentele care formează fluxul apar în momente succesive independent unele de altele. De exemplu, fluxul de pasageri care intră într-o stație de metrou poate fi considerat un flux fără efecte secundare, deoarece motivele care au determinat sosirea unui pasager individual în acest moment particular și nu în altul, de regulă, nu sunt legate de motive similare. pentru alți pasageri. Dacă apare o astfel de dependență, condiția pentru absența unui efect secundar este încălcată.

Luați în considerare, de exemplu, fluxul de trenuri de marfă care circulă de-a lungul unei linii de cale ferată. Dacă, din motive de siguranță, aceștia nu pot să se succedă mai des decât la intervale de timp t0 , atunci există o dependență între evenimentele din flux, iar condiția fără efect secundar este încălcată. Cu toate acestea, dacă intervalul t0 este mic în comparație cu intervalul mediu dintre trenuri, atunci o astfel de încălcare este nesemnificativă.

Desen 0 - 3 Distribuția Poisson

Luați în considerare pe axă t cel mai simplu flux de evenimente cu intensitatea λ. (Figura 0-2 b) . Ne va interesa un interval de timp aleator T între evenimentele adiacente din acest flux; găsiți legea distribuției sale. Mai întâi, să găsim funcția de distribuție:

F(t) = P(T ( 0-2)

adică probabilitatea ca valoarea lui T va avea o valoare mai mică decâtt. Lăsați deoparte de la începutul intervalului T (puncte t0) segmentul t și găsiți probabilitatea ca intervalul T va fi mai putin t . Pentru a face acest lucru, este necesar ca pentru o secțiune de lungime t , adiacent unui punct t0 , cel puțin un eveniment accesat de fir. Să calculăm probabilitatea acestui lucru F(t) prin probabilitatea evenimentului opus (pe segment t niciun eveniment din flux nu va atinge):

F (t) \u003d 1 - P 0

Probabilitate P 0 găsim prin formula (1), presupunândm = 0:

de unde funcția de distribuție a valorii T va fi:

(0-3)

Pentru a afla densitatea distribuției f(t) variabilă aleatorie T, este necesar să se diferenţieze expresia (0‑1) print:

0-4)

Legea distribuției cu densitatea (0-4) se numește exponențială (sau exponențial ). Valoarea λ se numește parametru lege exemplară.

Figura 0 - 4 Distribuție exponențială

Găsiți caracteristicile numerice ale unei variabile aleatorii T- așteptări matematice (valoare medie) M[t]=mt , şi dispersia D t . Noi avem

( 0-5)

(integrare pe părți).

Dispersia valorii lui T este:

(0-6)

Extragând rădăcina pătrată a varianței, găsim abaterea standard a variabilei aleatoare T.

Deci, pentru o distribuție exponențială, așteptarea matematică și abaterea standard sunt egale între ele și sunt inverse parametrului λ, unde λ. intensitatea curgerii.

Astfel, aspectul m evenimentele dintr-un interval de timp dat corespunde distribuției Poisson, iar probabilitatea ca intervalele de timp dintre evenimente să fie mai mici decât un număr predeterminat corespunde distribuției exponențiale. Toate acestea sunt doar descrieri diferite ale aceluiași proces stocastic.

QS Exemplul-1 .

Ca exemplu, luați în considerare un sistem bancar în timp real care deservește un număr mare de clienți. În timpul orelor de vârf, cererile de la casierii băncii care lucrează cu clienții formează un flux Poisson și ajung în medie două pe 1 s (λ = 2). Fluxul constă în cererile care ajung cu o rată de 2 cereri pe secundă.

Calculați probabilitatea P ( m ) apariții m mesaje în 1 s. Deoarece λ = 2, din formula anterioară avem

Inlocuind m = 0, 1, 2, 3, obținem următoarele valori (până la patruzecimale):

Figura 0 - 5 Cel mai simplu exemplu de flux

Mai mult de 9 mesaje în 1 s sunt, de asemenea, posibile, dar probabilitatea acestui lucru este foarte mică (aproximativ 0,000046).

Distribuția rezultată poate fi reprezentată ca histogramă (prezentată în figură).

Exemplu de CMO-2.

Un dispozitiv (server) care procesează trei mesaje în 1 secundă.

Să existe un echipament care poate procesa trei mesaje în 1 s (µ=3). În medie, două mesaje sunt primite în 1 secunde și în conformitate c Distribuția Poisson. Ce proporție dintre aceste mesaje va fi procesată imediat după primire?

Probabilitatea ca rata de sosire să fie mai mică sau egală cu 3 s este dată de

Dacă sistemul poate procesa maximum 3 mesaje în 1 s, atunci probabilitatea ca acesta să nu fie supraîncărcat este

Cu alte cuvinte, 85,71% dintre mesaje vor fi difuzate imediat și 14,29% cu o oarecare întârziere. După cum puteți vedea, o întârziere în procesarea unui mesaj pentru un timp mai mare decât timpul de procesare a 3 mesaje va apărea rar. Timpul de procesare a unui mesaj este în medie de 1/3 s. Prin urmare, o întârziere mai mare de 1 s va fi rară, ceea ce este destul de acceptabil pentru majoritatea sistemelor.

Exemplu de CMO 3

· Dacă un casier de bancă este ocupat în 80% din timpul său de lucru, iar restul timpului își petrece așteptarea clienților, atunci el poate fi considerat un dispozitiv cu un factor de utilizare de 0,8.

· Dacă canalul de comunicație este folosit pentru a transmite simboluri pe 8 biți la o rată de 2400 bps, adică maxim 2400/8 simboluri sunt transmise în 1 s, și construim un sistem în care cantitatea totală de date este de 12000 simboluri trimise de la diferite dispozitive prin canal pe minut ocupat (inclusiv sincronizare, caractere de sfârșit de mesaj, caractere de control etc.), atunci rata de utilizare a echipamentului canalului de comunicație în acest minut este egală cu

· Dacă motorul de acces la fișiere în oră aglomerată realizează 9000 de accesări la fișiere și timpul per acces este în medie de 300 ms, atunci utilizarea hardware-ului motorului de acces în oră aglomerată este

Conceptul de utilizare a echipamentului va fi folosit destul de des. Cu cât utilizarea echipamentului este mai aproape de 100%, cu atât întârzierea este mai mare și coada este mai lungă.

Folosind formula anterioară, puteți compila tabele cu valorile funcției Poisson, din care puteți determina probabilitatea de a primim sau mai multe mesaje într-o anumită perioadă de timp. De exemplu, dacă o medie de 3,1 mesaje pe secundă [i.e. e. λ = 3.1], atunci probabilitatea de a primi 5 sau mai multe mesaje într-o secundă dată este 0,2018 (pentrum = 5 în tabel). Sau sub formă analitică

Folosind această expresie, analistul de sisteme poate calcula probabilitatea ca sistemul să nu îndeplinească un anumit criteriu de încărcare.

Adesea, calculele inițiale pot fi făcute pentru valorile de încărcare a echipamentului.

p ≤ 0,9

Aceste valori pot fi obținute folosind tabelele Poisson.

Fie din nou rata medie de sosire a mesajelor λ = 3,1 mesaje/s. Din tabele rezultă că probabilitatea de a primi 6 sau mai multe mesaje în 1 s este 0,0943. Prin urmare, acest număr poate fi luat ca un criteriu de încărcare pentru calculele inițiale.

10.6.2. Provocări de proiectare

Având în vedere natura aleatorie a sosirii mesajelor pe dispozitiv, acesta din urmă petrece o parte din timp procesând sau deservind fiecare mesaj, rezultând formarea de cozi. Coada de la bancă așteaptă eliberarea casierului și a calculatorului (terminalul) acestuia. Coada de mesaje din memoria tampon de intrare a computerului așteaptă să fie procesată de procesor. Coada de solicitări pentru matrice de date așteaptă eliberarea canalelor etc. Se pot forma cozi în toate blocajele sistemului.

Cu cât rata de utilizare a echipamentului este mai mare, cu atât cozile rezultate sunt mai lungi. După cum se va arăta mai jos, este posibil să se proiecteze un sistem care să funcționeze satisfăcător cu un factor de utilizare de ρ = 0,7, dar un factor mai mare decât ρ > 0,9 poate duce la o calitate slabă a serviciului. Cu alte cuvinte, dacă o legătură de date în bloc are o încărcare de 20%, este puțin probabil să aibă o coadă pe el. Dacă se încarcă; este 0,9, atunci, de regulă, se vor forma cozi, uneori foarte mari.

Coeficientul de utilizare a echipamentului este egal cu raportul dintre sarcina pe echipament și sarcina maximă pe care o poate suporta acest echipament sau este egal cu raportul dintre timpul de ocupare a echipamentului și timpul total de funcționare a acestuia.

La proiectarea unui sistem, este obișnuit să se estimeze factorul de utilizare pentru diferite feluri echipamente; exemple relevante vor fi date în capitolele ulterioare. Cunoașterea acestor coeficienți vă permite să calculați cozile pentru echipamentul corespunzător.

· Care este lungimea cozii?

· Cât timp va dura?

Întrebările de acest tip pot fi răspunse folosind teoria cozilor.

10.6.3. Sisteme de așteptare, clasele și principalele caracteristici ale acestora

Pentru QS, fluxurile de evenimente sunt fluxuri de cereri, fluxuri de cereri de „serviciu” etc. Dacă aceste fluxuri nu sunt Poisson (procesul Markov), descrierea matematică a proceselor care au loc în QS devine incomparabil mai complexă și necesită un aparat mai greoi, aducerea lui la formule analitice este posibilă doar în cazurile cele mai simple.

Cu toate acestea, aparatul teoriei „Markoviane” a stării de așteptare poate fi util și în cazul în care procesul care are loc în QS este diferit de cel Markov; cu ajutorul acestuia, caracteristicile de eficiență QS pot fi estimate aproximativ. Trebuie remarcat faptul că, cu cât QS-ul este mai complex, cu cât conține mai multe canale de servicii, cu atât formulele aproximative obținute folosind teoria Markov sunt mai precise. În plus, într-o serie de cazuri, pentru a lua decizii în cunoștință de cauză privind gestionarea funcționării QS, nu este deloc necesar să se cunoască exact toate caracteristicile acestuia, adesea destul de aproximative, orientative.

QS sunt clasificate în sisteme cu:

eșecuri (cu pierderi). În astfel de sisteme, o solicitare care sosește în momentul în care toate canalele sunt ocupate primește un „refuz”, părăsește QS și nu participă la procesul de service ulterioar.

aşteptare (cu coadă). În astfel de sisteme, o solicitare care sosește atunci când toate canalele sunt ocupate este pusă în coadă și așteaptă până când unul dintre canale devine liber. Când canalul este liber, una dintre aplicațiile din coadă este acceptată pentru service.

Serviciul (disciplina la coadă) într-un sistem de așteptare poate fi

ordonat (cererile sunt comunicate în ordinea primirii),

· dezordonat(cererile sunt depuse în ordine aleatorie) sau

grămadă (ultima aplicație este selectată prima din coadă).

Prioritate

o cu prioritate statica

o cu prioritate dinamică

(în acest din urmă caz ​​a priori tet poate crește, de exemplu, odată cu timpul de așteptare pentru cerere).

Sistemele cu o coadă sunt împărțite în sisteme

· cu așteptare nelimitată și

· cu limitat aşteptare.

În sistemele cu așteptare nelimitată, fiecare solicitare care sosește în momentul în care nu există canale libere intră în coadă și așteaptă „răbdător” eliberarea canalului care o va accepta pentru service. Orice cerere primită de CMO va fi comunicată mai devreme sau mai târziu.

În sistemele cu așteptare limitată, sunt impuse anumite restricții privind rămânerea aplicației în coadă. Aceste restricții se pot aplica

· lungimea cozii (numărul de aplicații simultan în sistemul de cozi cu o lungime limitată a cozii),

· timpul în care aplicația rămâne în coadă (după o anumită perioadă de așteptare, aplicația iese din coadă, iar sistemul pleacă cu un timp de așteptare limitat),

· timpul total petrecut de aplicație în QS

etc.

În funcție de tipul de QS, la evaluarea eficacității acestuia, pot fi utilizate anumite valori (indicatori de performanță). De exemplu, pentru un QS cu defecțiuni, una dintre cele mai importante caracteristici ale productivității sale este așa-numita lățime de bandă absolută numărul mediu de cereri pe care sistemul le poate deservi pe unitatea de timp.

Împreună cu absolutul este adesea considerat debit relativ QS este ponderea medie a cererilor primite deservite de sistem (raportul dintre numărul mediu de cereri deservite de sistem pe unitatea de timp și numărul mediu de cereri primite în acest timp).

Pe lângă debitul absolut și relativ în analiza QS cu eșecuri, putem, în funcție de sarcina studiului, să fim interesați de alte caracteristici, de exemplu:

· numărul mediu de canale ocupate;

· timpul de nefuncționare relativ mediu al sistemului ca întreg și al unui canal individual

etc.

QS-urile așteptate au caracteristici ușor diferite. Evident, pentru un QS cu timp de așteptare nelimitat, atât debitul absolut cât și cel relativ își pierd sensul, deoarece fiecare revendicare ajunge mai devreme.sau mai târziu va fi servit. Pentru un astfel de QS, caracteristicile importante sunt:

· numărul mediu de aplicații din coadă;

· numărul mediu de aplicații din sistem (în coadă și în service);

· timpul mediu de așteptare pentru o aplicație în coadă;

· timpul mediu petrecut de o aplicație în sistem (în coadă și în service);

precum și alte caracteristici ale așteptării.

Pentru un QS cu așteptare limitată, ambele grupuri de caracteristici sunt de interes: atât debitul absolut și relativ, cât și caracteristicile de așteptare.

Pentru a analiza procesul care are loc în QS, este esențial să cunoașteți principalii parametri ai sistemului: numărul de canale P, intensitatea debitului de aplicareλ , performanța fiecărui canal (numărul mediu de cereri μ deservite de canal pe unitatea de timp), condițiile de formare a cozii (restricții, dacă există).

În funcție de valorile acestor parametri, sunt exprimate caracteristicile eficienței operațiunii QS.

10.6.4. Formule pentru calcularea caracteristicilor QS pentru cazul service-ului cu un singur dispozitiv

Figura 0 - 6 Modelul unui sistem de așteptare cu coadă

Astfel de cozi pot fi create prin mesaje la intrarea procesorului care așteaptă să fie procesate. Acestea pot apărea în timpul funcționării stațiilor de abonat conectate la un canal de comunicație multipunct. În mod similar, la benzinării se formează cozi de mașini. Totuși, dacă există mai multe intrări în serviciu, avem o coadă cu multe dispozitive și analiza devine mai complicată.

Luați în considerare cazul celui mai simplu flux de cereri de servicii.

Scopul teoriei de așteptare prezentată este de a aproxima dimensiunea medie a cozii de așteptare, precum și timpul mediu petrecut de mesajele care așteaptă în cozi. De asemenea, este de dorit să se estimeze cât de des coada depășește o anumită lungime. Aceste informații ne vor permite să calculăm, de exemplu, cantitatea necesară de memorie tampon pentru stocarea cozilor de mesaje și a programelor aferente, numărul necesar de linii de comunicație, dimensiunile tampon necesare pentru hub-uri etc. Va fi posibil să se estimeze timpii de răspuns.

Fiecare dintre caracteristici variază în funcție de mijloacele folosite.

Luați în considerare o coadă cu un singur server. La proiectarea unui sistem de calcul, majoritatea cozilor de acest tip sunt calculate folosind formulele de mai sus. factor de variație a timpului de serviciu

Formula Khinchin-Polachek este utilizată pentru a calcula lungimile cozilor în proiectarea sistemelor informaționale. Se folosește în cazul unei distribuții exponențiale a timpului de sosire pentru orice distribuție a timpului de serviciu și orice disciplină de control, atâta timp cât alegerea următorului mesaj pentru serviciu nu depinde de timpul de serviciu.

La proiectarea sistemelor, există astfel de situații când apar cozi când disciplina de control depinde, fără îndoială, de timpul de service. De exemplu, în unele cazuri, putem alege să folosim mai întâi mesaje mai scurte pentru serviciu, pentru a obține un timp mediu de serviciu mai rapid. Atunci când gestionați o linie de comunicație, este posibil să acordați o prioritate mai mare mesajelor de intrare decât mesajelor de ieșire, deoarece primele sunt mai scurte. În astfel de cazuri, nu mai este necesară utilizarea ecuației lui Khinchin

Majoritatea timpilor de service în sistemele informaționale se află undeva între aceste două cazuri. Perioadele de service care sunt constante sunt rare. Chiar și timpul de acces la hard disk nu este constant din cauza poziției diferite a matricelor de date pe suprafață. Un exemplu care ilustrează cazul timpului de serviciu constant este ocuparea liniei de comunicație pentru transmiterea mesajelor de lungime fixă.

Pe de altă parte, răspândirea timpului de serviciu nu este la fel de mare ca în cazul unei distribuții arbitrare sau exponențiale, adică,σs rar atinge valorit s. Acest caz este uneori considerat „cel mai rău caz și, prin urmare, se folosesc formule care se referă la distribuția exponențială a timpilor de serviciu. Un astfel de calcul poate da dimensiuni oarecum supraestimate ale cozilor și timpilor de așteptare în ele, dar această eroare nu este cel puțin periculoasă.

Distribuția exponențială a timpilor de serviciu nu este, desigur, cel mai rău caz cu care trebuie să se confrunte în realitate. Totuși, dacă timpii de serviciu obținuți prin calcularea cozilor se dovedesc a fi repartizați mai prost decât timpii cu distribuție exponențială, acesta este adesea un semnal de avertizare pentru dezvoltator. Dacă abaterea standard este mai mare decât valoarea medie, atunci este de obicei necesară corectarea calculelor.

Luați în considerare următorul exemplu. Există șase tipuri de mesaje cu timpi de serviciu de 15, 20, 25, 30, 35 și 300. Numărul de mesaje pentru fiecare tip este același. Abaterea standard a acestor timpi este ceva mai mare decât media lor. Valoarea ultimului timp de service este mult mai mare decât celelalte. Acest lucru va face ca mesajele să rămână în coadă mult mai mult decât dacă timpii de service ar fi de aceeași ordine. În acest caz, la proiectare, este indicat să luați măsuri pentru a reduce lungimea cozii. De exemplu, dacă aceste numere sunt legate de lungimea mesajelor, atunci poate că mesajele foarte lungi ar trebui împărțite în părți.

10.6.6. Exemplu de calcul

La proiectarea unui sistem bancar, este de dorit să se cunoască numărul de clienți care vor trebui să stea la coadă pentru un casier în orele de vârf.

Timpul de răspuns al sistemului și abaterea sa standard sunt calculate luând în considerare timpul de introducere a datelor de la stația de lucru, imprimare și procesare a documentelor.

Acțiunile casieriei au fost cronometrate. Timpul de serviciu ts este egal cu timpul total petrecut de casier pe client. Rata de utilizare a casierului ρ este proporţională cu timpul angajării acestuia. Dacă λ este numărul de clienți în orele de vârf, atunci ρ pentru casierie este

Să presupunem că sunt 30 de clienți pe oră în orele de vârf. În medie, un casier petrece 1,5 minute per client. Atunci

ρ = (1,5 * 30) / 60 = 0,75

adică casieria este folosită de 75%.

Numărul de oameni în rând poate fi estimat rapid folosind grafice. Din ele rezultă că dacă ρ = 0,75, atunci numărul mediu nq de oamenila linie la casă se află între 1,88 și 3,0 în funcție de abaterea standard pt t s .

Să presupunem că măsurarea abaterii standard pentru ts a dat o valoare de 0,5 min. Atunci

σ s = 0,33 t s

Din graficul din prima figură, constatăm că nq = 2,0, adică, în medie, doi clienți vor aștepta la casă.

Timpul total pe care un client îl petrece la casă poate fi găsit ca

t ∑ = t q + t s = 2,5 min + 1,5 min = 4 min

unde t s se calculează folosind formula Khinchin-Polachek.

10.6.7. factor de câștig

Analizând curbele din cifre, vedem că atunci când echipamentul care deservește coada este folosit mai mult de 80%, curbele încep să crească într-un ritm alarmant. Acest fapt este foarte important în proiectarea sistemelor de transmisie a datelor. Dacă proiectăm un sistem cu mai mult de 80% de utilizare a hardware-ului, atunci o ușoară creștere a traficului poate duce la o scădere drastică a performanței sistemului sau chiar la blocarea acestuia.

O creștere a traficului de intrare cu un număr mic de x%. duce la o creștere a dimensiunii cozii cu aproximativ

Dacă rata de utilizare a echipamentului este de 50%, atunci această creștere este egală cu 4ts% pentru distribuția exponențială a timpului de serviciu. Dar dacă utilizarea echipamentului este de 90%, atunci creșterea dimensiunii cozii este de 100%, adică de 25 de ori mai mult. O ușoară creștere a încărcăturii la utilizarea echipamentelor cu 90% duce la o creștere de 25 de ori a dimensiunilor cozilor de așteptare, comparativ cu cazul utilizării echipamentelor cu 50%.

În mod similar, timpul de coadă crește cu

Cu un timp de serviciu distribuit exponențial, această valoare are valoarea 4 t s2 pentru utilizarea echipamentului egală cu 50% și 100 t s2 pentru un coeficient de 90%, adică din nou de 25 de ori mai rău.

În plus, pentru factorii de utilizare a echipamentelor mici, efectul modificărilor σs asupra dimensiunii cozii este nesemnificativ. Cu toate acestea, pentru coeficienți mari, modificarea σ s afectează foarte mult dimensiunea cozii. Prin urmare, atunci când se proiectează sisteme cu utilizare ridicată a echipamentelor, este de dorit să se obțină informații precise despre parametruσ s. Inexactitatea ipotezei privind exponenţialitatea distribuţiei lui tseste cel mai vizibil la valori mari ale lui ρ. Mai mult, dacă timpul de serviciu crește brusc, ceea ce este posibil în canalele de comunicare la transmiterea mesajelor lungi, atunci în cazul unui ρ mare, se formează o coadă semnificativă.

Universitatea Tehnică de Stat din Moscova

numit după N.E. Bauman (filiala Kaluga)

Catedra de Matematică Superioară

Lucru de curs

la cursul „Cercetare operațională”

Modelarea prin simulare a sistemului de aşteptare

Alocarea postului: alcătuiește un model de simulare și calculează indicatorii de performanță ai unui sistem de așteptare (QS) cu următoarele caracteristici:

Număr de canale de servicii n; lungimea maximă a cozii t;

Fluxul de cereri care intră în sistem este cel mai simplu cu o intensitate medie λ și o lege exponențială a distribuției timpului între sosirea cererilor;

Fluxul de cereri deservite în sistem este cel mai simplu, cu o intensitate medie µ și o lege exponențială a distribuției timpului de serviciu.

Comparați valorile găsite ale indicatorilor cu rezultatele. obţinut prin rezolvarea numerică a ecuaţiei Kolmogorov pentru probabilităţile stărilor sistemului. Valorile parametrilor QS sunt date în tabel.

Introducere

Capitolul 1. Principalele caracteristici ale OCP și indicatori ai eficacității acestora

1.1 Conceptul unui proces stocastic Markov

1.2 Fluxuri de evenimente

1.3 Ecuații Kolmogorov

1.4 Probabilități finale și graficul stărilor QS

1.5 Indicatori de performanță QS

1.6 Concepte de bază ale simulării

1.7 Modele de simulare a clădirii

capitolul 2

2.1 Graficul de stare al sistemului și ecuația lui Kolmogorov

2.2 Calculul indicatorilor de performanță a sistemului după probabilități finale

capitolul 3

3.1 Algoritmul metodei de simulare QS (abordare pas cu pas)

3.2 Diagramă program

3.3 Calculul indicatorilor de performanță QS pe baza rezultatelor simulării acestuia

3.4 Prelucrarea statistică a rezultatelor și compararea acestora cu rezultatele modelării analitice

Concluzie

Literatură

Anexa 1

În cercetarea operațională, se întâlnesc adesea sisteme concepute pentru utilizare reutilizabilă în rezolvarea aceluiași tip de probleme. Procesele care apar în acest caz se numesc procese de service, iar sistemele sunt numite sisteme de așteptare (QS).

Fiecare QS constă dintr-un anumit număr de unități de serviciu (instrumente, dispozitive, puncte, stații), care se numesc canale de serviciu. Canalele pot fi linii de comunicație, puncte de operare, calculatoare, vânzători, etc. În funcție de numărul de canale, QS sunt împărțite în monocanal și multi-canal.

Aplicațiile ajung de obicei la QS nu în mod regulat, ci aleatoriu, formând așa-numitul flux aleatoriu de aplicații (cerințe). Serviciul de aplicații continuă, de asemenea, pentru o perioadă de timp aleatorie. Natura aleatorie a fluxului de aplicații și a timpului de service duce la faptul că QS-ul este încărcat neuniform: în unele perioade de timp se acumulează un număr foarte mare de aplicații (fie stau în coadă, fie lasă QS-ul neservit), în timp ce în alte perioade. perioadele în care QS funcționează cu o sarcină insuficientă sau în gol.

Subiectul teoriei cozilor de așteptare este construirea de modele matematice care pun în legătură condițiile date de funcționare ale QS (numărul de canale, performanța acestora, natura fluxului de aplicații etc.) cu indicatorii de performanță ai QS, care descriu capacitatea sa de a face față fluxului de aplicații.

Următorii sunt utilizați ca indicatori de performanță ai QS:

Debitul absolut al sistemului (A), adică numărul mediu de cereri deservite pe unitatea de timp;

Debit relativ (Q), adică ponderea medie a cererilor primite deservite de sistem;

Probabilitatea eșecului serviciului de solicitare (

);

Numărul mediu de canale ocupate (k);

Numărul mediu de aplicații în CMO (

);

Timpul mediu de rezidență al unei aplicații în sistem (

);

Numărul mediu de aplicații din coadă (

);

Timpul mediu pe care îl petrece o aplicație în coadă (

);

Numărul mediu de cereri deservite pe unitatea de timp;

Timp mediu de așteptare pentru service;

Probabilitatea ca numărul de cereri din coadă să depășească o anumită valoare etc.

QS sunt împărțite în 2 tipuri principale: QS cu eșecuri și QS cu așteptare (coadă). Într-un QS cu refuzuri, o solicitare care sosește într-un moment în care toate canalele sunt ocupate este refuzată, părăsește QS-ul și nu participă la procesul ulterioar de servicii (de exemplu, o solicitare pentru o conversație telefonică într-un moment în care toate canalele sunt ocupat primește un refuz și lasă QS-ul neservit) . Într-un QS cu așteptare, o revendicare care ajunge într-un moment în care toate canalele sunt ocupate nu pleacă, ci sta la coadă pentru service.

Una dintre metodele de calculare a indicatorilor de performanță QS este metoda simulării. Utilizarea practică a modelării prin simulare pe calculator presupune construirea unui model matematic adecvat care să ia în considerare factorii de incertitudine, caracteristicile dinamice și întregul complex de relații dintre elementele sistemului studiat. Modelarea de simulare a funcționării sistemului începe cu o stare inițială specifică. Datorită implementării diferitelor evenimente de natură aleatorie, modelul sistemului trece în celelalte stări posibile în momentele ulterioare de timp. Acest proces evolutiv continuă până la sfârșitul perioadei de planificare, adică. până la sfârșitul simulării.

Să existe un sistem care să-și schimbe starea aleatoriu în timp. În acest caz, spunem că în sistem are loc un proces aleatoriu.

Un proces se numește proces cu stări discrete dacă stările sale

pot fi enumerate în prealabil și trecerea sistemului de la o stare la alta are loc brusc. Un proces se numește proces în timp continuu dacă tranzițiile sistemului de la stare la stare au loc instantaneu.

Procesul QS este un proces aleatoriu cu stări discrete și timp continuu.

Un proces aleatoriu se numește Markov sau un proces aleatoriu fără efecte secundare dacă este pentru orice moment de timp

caracteristicile probabilistice ale procesului în viitor depind doar de starea sa actuală și nu depind de când și cum a ajuns sistemul în această stare.

1.2 Fluxuri de evenimente

Un flux de evenimente este o succesiune de evenimente omogene care urmează unul după altul în momente aleatorii.

Fluxul se caracterizează prin intensitatea λ – frecvența de apariție a evenimentelor sau numărul mediu de evenimente care intră în QS pe unitatea de timp.

Un flux de evenimente se numește regulat dacă evenimentele urmează unul după altul la intervale regulate.

Un flux de evenimente este numit staționar dacă caracteristicile sale probabilistice nu depind de timp. În special, intensitatea unui flux staționar este o valoare constantă:

.

Un flux de evenimente este numit obișnuit dacă probabilitatea de a lovi o perioadă mică de timp

două sau mai multe evenimente este mică în comparație cu probabilitatea de a atinge un eveniment, adică dacă evenimentele apar în el individual și nu în grupuri.

Un flux de evenimente se numește flux fără efecte secundare dacă pentru oricare două intervale de timp care nu se suprapun