Smo cu eșecuri de definiții și formule. Smo multicanal cu coadă nelimitată

Ca indicatori ai eficacității QS cu eșecuri, vom lua în considerare:

1) A- debitul absolut al QS-ului, adică numărul mediu de cereri deservite pe unitatea de timp;

2) Q - debit relativ, adică ponderea medie a cererilor primite deservite de sistem;

3) P_(\text(otk)) - probabilitatea de eșec, adică faptul că cererea va lăsa CMO neservit;

4) \overline(k) - canale medie ocupate(pentru sistem multicanal).

Sistem cu un singur canal (SMO) cu defecțiuni

Să luăm în considerare problema. Există un canal, care primește un flux de solicitări cu intensitate \lambda . Fluxul de serviciu are intensitatea \mu . Găsiți probabilitățile limită ale stărilor sistemului și indicatorii eficienței acestuia.

Notă. Aici și mai jos, se presupune că toate fluxurile de evenimente care transferă QS de la o stare la alta vor fi cele mai simple. Acestea includ, de asemenea, fluxul de servicii - fluxul de aplicații deservite de un canal ocupat continuu. Timpul mediu de serviciu este invers ca intensitate \mu , i.e. \overline(t)_(\text(ob.))=1/\mu.

Sistemul S (QS) are două stări: S_0 - canalul este liber, S_1 - canalul este ocupat. Graficul de stare etichetat este prezentat în fig. 6.

În regim limitativ, staționar, sistemul ecuații algebrice pentru probabilitățile de stare are forma (vezi mai sus regula pentru compilarea unor astfel de ecuații)

\begin(cases)\lambda\cdot p_0=\mu\cdot p_1,\\\mu\cdot p_1=\lambda\cdot p_0,\end(cases)

acestea. sistemul degenerează într-o singură ecuație. Ținând cont de condiția de normalizare p_0+p_1=1 , găsim din (18) probabilitățile limită ale stărilor

P_0=\frac(\mu)(\lambda+\mu),\quad p_1=\frac(\lambda)(\lambda+\mu)\,

care exprimă timpul relativ mediu petrecut de sistem în starea S_0 (când canalul este liber) și S_1 (când canalul este ocupat), adică. determinați, respectiv, debitul relativ Q al sistemului și probabilitatea de defecțiune P_(\text(otk)):

Q=\frac(\mu)(\lambda+\mu)\,

P_(\text(otk))=\frac(\lambda)(\lambda+\mu)\,.

Găsim debitul absolut înmulțind debitul relativ Q cu rata de eșec

A=\frac(\lambda\mu)(\lambda+\mu)\,.

Exemplul 5 Se ştie că aplicaţiile pentru convorbiri telefonice într-un studio de televiziune sunt primite cu o intensitate \lambda egală cu 90 de aplicaţii pe oră, iar durata medie a unei convorbiri telefonice este de min. Determinați indicatorii de performanță ai QS (comunicații telefonice) în prezența unui număr de telefon.

Soluţie. Avem \lambda=90 (1/h), \overline(t)_(\text(ob.))=2 min. Debitul serviciului \mu=\frac(1)(\overline(t)_(\text(ob.)))=\frac(1)(2)=0,\!5(1/min) = 30 (1/h). Conform (20), capacitatea relativă a QS Q=\frac(30)(90+30)=0,\!25, adică în medie, doar 25% din aplicațiile primite vor negocia prin telefon. În consecință, probabilitatea refuzului serviciului va fi P_(\text(otk))=0,\!75(vezi (21)). Debitul absolut al QS conform (29) A=90\cdot0.\!25=22,\!5, adică în medie, 22,5 cereri pentru negocieri vor fi deservite pe oră. Evident, cu un singur număr de telefon, CMO nu va putea face față bine fluxului de aplicații.

Sistem multicanal (QS) cu defecțiuni

Luați în considerare clasicul Problema Erlang. Există n canale care primesc un flux de solicitări cu intensitate \lambda . Fluxul de serviciu are intensitatea \mu . Găsiți probabilitățile limită ale stărilor sistemului și indicatorii eficienței acestuia.

Sistemul S (QS) are următoarele stări (le numerotăm în funcție de numărul de revendicări din sistem): S_0,S_1,S_2,\ldots,S_k,\ldots,S_n, unde S_k este starea sistemului atunci când există k cereri în el, i.e. k canale sunt ocupate.

Graficul de stare QS corespunde procesului de moarte și reproducere și este prezentat în Fig. 7.

Fluxul de cereri transferă secvenţial sistemul din orice stare din stânga în cea din dreapta vecină cu aceeaşi intensitate \lambda . Intensitatea fluxului de servicii, care transferă sistemul din orice stare din dreapta în starea vecină din stânga, se modifică constant în funcție de stare. Într-adevăr, dacă QS este în starea S_2 (două canale sunt ocupate), atunci poate trece în starea S_1 (un canal este ocupat) atunci când primul sau al doilea canal termină deservirea, adică. intensitatea totală a fluxurilor lor de serviciu va fi de 2\mu . În mod similar, fluxul total de servicii care transferă QS-ul din starea S_3 (trei canale sunt ocupate) la S_2 va avea o intensitate de 3\mu , adică. oricare dintre cele trei canale poate deveni liber și așa mai departe.

În formula (16) pentru schema morții și reproducerii, obținem pentru probabilitatea limită a stării

P_0=(\left(1+ \frac(\lambda)(\mu)+ \frac(\lambda^2)(2!\mu^2)+\ldots+\frac(\lambda^k)(k!\ mu^k)+\ldots+ \frac(\lambda^n)(n!\mu^n)\right)\^{-1}, !}

unde sunt termenii de expansiune \frac(\lambda)(\mu),\,\frac(\lambda^2)(2!\mu^2),\,\ldots,\,\frac(\lambda^k)(k!\mu ^k),\,\ldots,\, \frac(\lambda^n)(n!\mu^n), vor fi coeficienții la p_0 în expresiile pentru probabilitățile marginale p_1,p_2,\ldots,p_k,\ldots,p_n. Valoare

\rho=\frac(\lambda)(\mu)

numit intensitatea redusă a fluxului de aplicații sau intensitatea încărcării canalului. Acesta exprimă numărul mediu de solicitări sosite pentru timpul mediu de serviciu al unei cereri. Acum

P_0=(\left(1+\rho+\frac(\rho^2)(2+\ldots+\frac{\rho^k}{k!}+\ldots+\frac{\rho^n}{n!}\right)\!}^{-1}, !}

P_1=\rho\cdot p,\quad p_2=\frac(\rho^2)(2\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_k=\frac{\rho^k}{k!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_n=\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0. !}

Sunt denumite formulele (25) și (26) pentru probabilitățile limită Formule Erlangîn onoarea întemeietorului teoriei la coadă.

Probabilitatea de eșec QS este probabilitatea marginală ca toate i canalele sistemului să fie ocupate, adică.

P_(\text(otk))= \frac(\rho^n)(n\cdot p_0. !}

Debit relativ - probabilitatea ca aplicația să fie deservită:

Q=1- P_(\text(otk))=1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0. !}

Lățimea de bandă absolută:

A=\lambda\cdot Q=\lambda\cdot\left(1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0\right)\!. !}

Numărul mediu de canale ocupate \overline(k) este așteptarea matematică a numărului de canale ocupate:

\overline(k)=\sum_(k=0)^(n)(k\cdot p_k),

unde p_k sunt probabilitățile limită ale stărilor determinate de formulele (25), (26).

Cu toate acestea, numărul mediu de canale ocupate poate fi găsit mai ușor dacă ținem cont de faptul că debitul absolut al sistemului A nu este altceva decât intensitatea flux de service sistem de aplicare (pe unitate de timp). Deoarece fiecare canal ocupat servește în medie \mu solicitări (pe unitate de timp), numărul mediu de canale ocupate

\overline(k)=\frac(A)(\mu)

Sau, având în vedere (29), (24):

\overline(k)=\rho\cdot\left(1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0\right)\!. !}

Exemplul 6În condițiile exemplului 5, determinați număr optim numere de telefon dintr-un studio de televiziune, dacă condiția optimității este satisfacerea a cel puțin 90 de solicitări de negociere din 100 de solicitări.

Soluţie. Intensitatea încărcării canalului conform formulei (25) \rho=\frac(90)(30)=3, adică în timpul convorbirii telefonice medii (în durată). \overline(t)_(\text(ob.))=2 min. primește în medie 3 cereri de negocieri.

Vom crește treptat numărul de canale (numere de telefon) n=2,3,4,\ldots și vom determina prin formulele (25), (28), (29) pentru caracteristicile serviciului QS pe canale n rezultate. De exemplu, pentru n=2 avem

Z_0=(\left(1+3+ \frac(3^2)(2\right)\!}^{-1}=0,\!118\approx0,\!12;\quad Q=1-\frac{3^2}{2!}\cdot0,\!118=0,\!471\approx0,\!47;\quad A=90\cdot0,\!471=42,\!4 !} etc.

Valoarea caracteristicilor QS este rezumată în tabel. unu.

În conformitate cu condiția de optimitate Q\geqslant0,\!9 , prin urmare, este necesar să setați 5 numere de telefon în studioul de televiziune (în acest caz Q=0,\!9 - vezi Tabelul 1). În același timp, vor fi deservite în medie 80 de solicitări (A=80,\!1) pe oră, iar numărul mediu de numere de telefon (canale) ocupate conform formulei (30) \overline(k)=\frac(80,\!1)(30)=2,\!67.

Exemplul 7 Centrul de calcul pentru utilizare colectivă cu trei calculatoare primește comenzi de la întreprinderi pentru lucrări de calcul. Dacă toate cele trei computere funcționează, atunci noua comandă primită nu este acceptată, iar întreprinderea este forțată să apeleze la un alt centru de calcul. Timpul mediu de lucru cu o singură comandă este de 3 ore.Intensitatea fluxului de aplicații este de 0,25 (1/h). Găsiți probabilitățile limită ale stărilor și indicatorii de performanță ai centrului de calcul.

Soluţie. După condiție n=3,~\lambda=0,\!25(1/h), \overline(t)_(\text(ob.))=3 (h). Debitul serviciului \mu=\frac(1)(\overline(t)_(\text(ob.)))=\frac(1)(3)=0,\!33. Intensitatea sarcinii computerului conform formulei (24) \rho=\frac(0,\!25)(0,\!33)=0,\!75. Să găsim probabilitățile limită ale stărilor:

– prin formula (25) p_0=(\left(1+0,\!75+ \frac(0,\!75^2)(2)+ \frac{0,\!75^3}{3!}\right)\!}^{-1}=0,\!476 !};

– prin formula (26) p_1=0,!75\cdot0,\!476=0,\!357;~p_2=\frac(0,\!75^2)(2\cdot0,\!476=0,\!134;~p_3=\frac{0,\!75^3}{3!}\cdot0,\!476=0,\!033 !};

acestea. în modul staționar al centrului de calcul, în medie, 47,6% din timp nu există o singură aplicație, 35,7% - există o aplicație (un computer este ocupat), 13,4% - două aplicații (două computere), 3,3% a timpului - trei aplicații (trei computere sunt ocupate).

Probabilitatea de eșec (când toate cele trei computere sunt ocupate), astfel, P_(\text(otk))=p_3=0,\!033.

Conform formulei (28), capacitatea relativă a centrului Q=1-0,\!033=0,\!967, adică în medie, din 100 de solicitări, centrul de calcul deservește 96,7 solicitări.

Conform formulei (29), debitul absolut al centrului A=0,\!25\cdot0,\!967=0,\!242, adică o oră în medie servită. 0,242 aplicații.

Conform formulei (30), numărul mediu de calculatoare ocupate \overline(k)=\frac(0,\!242)(0,\!33)=0,\!725, adică fiecare dintre cele trei computere va fi ocupat cu cererile de service în medie doar pentru \frac(72,\!5)(3)= 24,\!2%..

La evaluarea eficienței centrului de calcul, este necesar să comparăm veniturile din executarea solicitărilor cu pierderile din timpul de nefuncționare a calculatoarelor scumpe (pe de o parte, avem un randament ridicat al QS-ului, iar pe de altă parte , un timp de oprire semnificativ al canalelor de servicii) și alegeți o soluție de compromis.

Javascript este dezactivat în browserul dvs.
Controalele ActiveX trebuie să fie activate pentru a face calcule!

Cel mai simplu model cu un singur canal. Un astfel de model cu un flux de intrare probabilistic și o procedură de service este un model caracterizat printr-o distribuție exponențială atât a duratelor intervalelor dintre sosiri de daune, cât și a duratelor de service. În acest caz, densitatea de distribuție a duratelor intervalelor dintre sosiri de revendicări are forma

(1)

unde este intensitatea cererilor care intră în sistem.

Densitatea de distribuție a duratei serviciului:

, (2)

unde este intensitatea serviciului.

Fluxurile de cereri și servicii sunt cele mai simple.

Lăsați sistemul să funcționeze cu eșecuri. Este necesar să se determine debitul absolut și relativ al sistemului.

Să reprezentăm acest sistem de coadă sub forma unui grafic (Fig. 1), care are două stări:

S 0 - canalul este liber (în așteptare);

S1- canalul este ocupat (solicitarea este în curs de procesare).

Orez. unu. Graficul stărilor unui QS cu un singur canal cu defecțiuni

Notați probabilitățile stărilor:

P 0 (t) - probabilitatea stării „canalul este liber”;

P 1 (t)- probabilitatea stării „canalul este ocupat”.

Conform graficului de stare etichetat (Fig. 1), vom compune un sistem ecuatii diferentiale Kolmogorov pentru probabilitățile de stat:

(3)

Sistemul de ecuații diferențiale liniare (3) are o soluție, ținând cont de condiția de normalizare = 1. Soluția acestui sistem se numește instabilă, deoarece depinde direct de t și arată astfel:

(4)

(5)

Este ușor de verificat că pentru un QS cu un singur canal cu defecțiuni, probabilitatea Р 0 (t) nu este altceva decât debitul relativ al sistemului q.

Într-adevăr, P 0- probabilitatea ca la momentul t canalul să fie liber și cererea care a sosit la momentul t , va fi servit, și deci, pentru acest moment timpul t, raportul mediu dintre numărul de cereri deservite și numărul de cereri primite este, de asemenea, egal cu , adică

q = . (6)

După un interval lung de timp (), se ajunge la un mod staționar (în stare staționară):

Cunoscând debitul relativ, este ușor să îl găsiți pe cel absolut. Lățimea de bandă absolută (A)- numărul mediu pe care sistemul de așteptare îl poate servi pe unitatea de timp:

Probabilitatea refuzului de a deservi cererea va fi egală cu probabilitatea stării „canalul este ocupat”:

Această valoare poate fi interpretată ca ponderea medie a aplicațiilor neservite dintre cele trimise.

Exemplul 1 Fie ca un QS cu un singur canal cu defecțiuni să reprezinte o stație de service zilnică (OD) pentru spălarea auto. Aplicația - o mașină care a sosit într-un moment în care poșta este ocupată - i se refuză serviciul. Debitul vehiculului = 1,0 (vehicul pe oră). Durata medie de service este de 1,8 ore. Fluxul mașinii și fluxul serviciului sunt cele mai simple.

Este necesar să se determine valorile limită în starea de echilibru:

debit relativ q;

lățime de bandă absolută A;

probabilitatea de eșec.

Comparați debitul real al QS-ului cu cel nominal, care ar fi dacă fiecare mașină ar fi întreținută pentru exact 1,8 ore și mașinile ar urma una după alta fără pauză.

Soluţie

1. Să determinăm intensitatea fluxului de servicii:

2. Să calculăm debitul relativ:

Valoare qînseamnă că, în stare de echilibru, sistemul va deservi aproximativ 35% din vehiculele care sosesc la postul SW.

3. Debitul absolut este determinat de formula:

1 0,356 = 0,356.

Aceasta înseamnă că sistemul (post SW) este capabil să efectueze în medie 0,356 servicii auto pe oră.

3. Probabilitatea de eșec:

Aceasta înseamnă că aproximativ 65% dintre mașinile care sosesc la postul SW vor fi refuzate.

4. Să determinăm debitul nominal al sistemului:

(mașini pe oră).

Se dovedește că de 1,5 ori mai mult decât debitul real, calculat ținând cont de natura aleatorie a fluxului de aplicații și timpul de service.

QS cu un singur canal cu așteptare. Sistemul de așteptare are un singur canal. Fluxul primit de cereri de servicii este cel mai simplu flux cu intensitate. Intensitatea fluxului de servicii este egală (adică, în medie, un canal continuu ocupat va emite solicitări deservite). Durata serviciului este o variabilă aleatorie supusă unei legi de distribuție exponențială. Fluxul de servicii este cel mai simplu flux de evenimente Poisson. O solicitare care sosește într-un moment în care canalul este ocupat este pusă în coadă și așteaptă serviciul.

Să presupunem că, indiferent de câte solicitări intră în intrarea sistemului de servire, acest sistem (coada + clienții serviți) nu poate găzdui mai mult de N-cerințe (cereri), adică clienții care nu așteaptă sunt forțați să fie serviți în altă parte. În cele din urmă, sursa care generează cereri de servicii are o capacitate nelimitată (infinit de mare).

Graficul de stare QS în acest caz are forma prezentată în Fig. 2.

Orez. 2. Graficul stărilor unui QS cu un singur canal cu așteptări

(schema morții și reproducerii)

Stările QS au următoarea interpretare:

S 0 - canalul este liber;

S 1 - canalul este ocupat (nu există coadă);

S 2 - canalul este ocupat (o cerere este în coadă);

……………………

S n - canalul este ocupat (n - 1 cereri sunt în coadă);

…………………...

S N - canalul este ocupat (N- 1 aplicații sunt în coadă).

Procesul staționar din acest sistem va fi descris de următorul sistem de ecuații algebrice:

P- numărul de stat.

Rezolvarea sistemului de ecuații de mai sus (10) pentru modelul nostru QS are forma

(11)

De remarcat că nu este necesară îndeplinirea condiției de staționaritate pentru acest QS, întrucât numărul de cereri admise în sistemul de deservire este controlat prin introducerea unei restricții asupra lungimii cozii (care nu poate depăși N- 1), și nu raportul dintre intensitățile fluxului de intrare, adică nu raportul

Să definim caracteristicile unui QS cu un singur canal cu o așteptare și o lungime limitată a cozii egală cu (N- 1):

probabilitatea refuzului de a deservi cererea:

(13)

Debitul relativ al sistemului:

(14)

lățime de bandă absolută:

A = q 𝝀; (15)

numărul mediu de aplicații în sistem:

(16)

Timpul mediu de rezidență al unei aplicații în sistem:

durata medie de ședere a clientului (aplicației) în coadă:

numărul mediu de aplicații (clienți) în coadă (lungimea cozii):

L q= (1 - P N)W q .(19)

Luați în considerare un exemplu de QS cu un singur canal cu așteptare.

Exemplul 2 Un post de diagnostic specializat este un QS cu un singur canal. Numărul de parcări pentru mașinile care așteaptă diagnosticare este limitat și egal cu 3 [ (N- 1) = 3]. Dacă toate parcările sunt ocupate, adică există deja trei mașini în coadă, atunci următoarea mașină care a sosit pentru diagnosticare nu intră în coada de service. Fluxul de mașini care sosesc pentru diagnosticare este distribuit conform legii Poisson și are o intensitate 𝝀 = 0,85 (mașini pe oră). Timpul de diagnosticare auto este distribuit conform legii exponențiale și este egal cu 1,05 ore în medie.

Necesar pentru a defini caracteristicile probabilistice ale postului de diagnostic care funcționează în regim staționar.

Soluţie

1. Parametrul debitului de întreținere al mașinii:

2. Intensitatea redusă a fluxului de mașini este definită ca raportul dintre intensitățile 𝝀 și µ, adică

3. Să calculăm probabilitățile finale ale sistemului:

4. Probabilitatea refuzului de a întreține mașina:

5. Debit relativ al postului de diagnostic:

6. Debitul absolut al postului de diagnostic

A= 𝝀 q= 0,85 0,842 = 0,716 (vehicule pe oră).

7. Numărul mediu de mașini în serviciu și în coadă (adică în sistemul de așteptare):

8. Timpul mediu pe care un vehicul rămâne în sistem:

9. Perioada medie de timp pe care o aplicație rămâne în coada de servicii:

10. Numărul mediu de aplicații în coadă (lungimea cozii):

L q= (1 - P N)W q= 0,85 (1 - 0,158) 1,423 = 1,02.

Munca postului de diagnosticare considerat poate fi considerată satisfăcătoare, întrucât postul de diagnosticare nu deservește mașini în medie în 15,8% din cazuri. (R otk = 0,158).

QS cu un singur canal cu așteptare fără limitare a capacității blocului de așteptare(adică). Condițiile rămase pentru funcționarea QS rămân neschimbate.

Modul staționar de funcționare al acestui QS există pentru orice n = 0, 1, 2,... și când 𝝀< µ. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при для любого P=0,1,2,…, are forma

Rezolvarea acestui sistem de ecuații are forma

Caracteristicile unui QS cu latență cu un singur canal, fără limită de lungime a cozii, sunt următoarele:

numărul mediu de clienți (cereri) în sistem pentru service:

(22)

durata medie de ședere a unui client în sistem:

(23)

numărul mediu de clienți în coada de service:

Perioada medie de timp pe care un client o petrece într-o coadă:

Exemplul 3 Să ne amintim situația avută în vedere în exemplul 2, unde vorbim despre funcționarea postului de diagnostic. Lăsați postul de diagnosticare luat în considerare să aibă un număr nelimitat de zone de parcare pentru mașinile care sosesc pentru service, adică lungimea cozii nu este limitată.

Este necesar să se determine valorile finale ale următoarelor caracteristici probabilistice:

Probabilitățile stărilor sistemului (post de diagnostic);

Numărul mediu de mașini din sistem (în service și în coadă);

Durata medie de ședere a mașinii în sistem (în service și în coadă);

Numărul mediu de mașini în coada de service;

4. Durata medie a șederii unui client în sistem:

5. Numărul mediu de mașini în coada de service:

6. Timp mediu pe care o mașină îl petrece într-o coadă:

7. Debitul relativ al sistemului:

adică fiecare cerere care intră în sistem va fi servită.

8 . Lățime de bandă absolută:

A= q = 0,85 1 = 0,85.

Trebuie remarcat faptul că o întreprindere care efectuează diagnosticare auto este interesată în primul rând de numărul de clienți pe care ii va vizita postul de diagnosticare atunci când restricția privind lungimea cozii este eliminată.

Să presupunem că, în versiunea originală, numărul de locuri de parcare pentru mașinile care sosesc era de trei (vezi exemplul 2). Frecvență T situații în care o mașină care ajunge la postul de diagnosticare nu poate intra în coadă:

T= λP N .

În exemplul nostru, cu N=3 + 1= 4 și ρ = 0,893,

t \u003d λ P 0ρ 4 \u003d 0,85 0,248 0,8934 \u003d 0,134 mașini pe oră.

Cu un mod de funcționare de 12 ore a postului de diagnosticare, aceasta este echivalentă cu faptul că postul de diagnosticare în medie pe schimb (zi) va pierde 12 0,134 = 1,6 vehicule.

Eliminarea limitei lungimii cozii face posibilă creșterea numărului de clienți deserviți în exemplul nostru cu o medie de 1,6 vehicule pe tură (12 ore de lucru) la postul de diagnostic. Este clar că decizia de extindere a zonei de parcare pentru mașinile care sosesc la locul de diagnosticare ar trebui să se bazeze pe o evaluare a prejudiciului economic care este cauzat de pierderea clienților cu doar trei locuri de parcare pentru aceste mașini.

Informații similare.

Sistem de așteptare cu un singur canal cu defecțiuni.

Să presupunem că QS constă dintr-un canal de serviciu și un flux Poisson de cereri ajunge la intrarea sa cu intensitatea X, adică o variabilă aleatoare continuă T - timpul dintre cererile învecinate este distribuit conform unei legi exponențiale, timpul de serviciu pentru fiecare cerere are aceeași distribuție cu parametrul p. Parametrii Xşi p se numesc, respectiv, intensitatea fluxului de aplicaţii şi intensitatea fluxului de servicii.

Sistemul de așteptare poate fi în una din două stări: s 0 - canalul este liber (inactiv) sau s, - canalul este ocupat. Din starea s 0 la starea s, sistemul este transferat de fluxul de cereri primite, iar din starea s la starea s 0 - de fluxul de servicii. Densitățile de probabilitate ale tranzițiilor de la starea s 0 la starea s(și invers sunt egale, respectiv Xși r.

Graficul de stare al QS este prezentat în fig. 1.5.

Orez.

în starea s 0 sau respectiv s t. În mod evident, condiția de normalizare p 0 (t) + Pi (t) = 1 este valabilă.

Dat fiind proces aleatoriu, care curge în QS, este markoviană, probabilitățile p 0 (t) și pj(t) pot fi determinate din sistemul de ecuații Kolmogorov:

Înlocuirea condiției de normalizare în acest sistem conduce la o ecuație diferențială obișnuită pentru p 0 (t):

Presupunând condiția ca în momentul inițial de timp la t = 0 canalul să fie liber, adică p 0 (0) = 1 și pj(0) = 0, putem obține soluția ecuației (1.20) sub următoarea formă:

Folosind condiția de normalizare, se poate stabili și o expresie pentru determinarea pj(t):

În regimul staționar limitator (la t -» °°), sistemul de ecuații algebrice pentru probabilitățile de stare are forma:

Ținând cont de condiția de normalizare, determinăm probabilitățile limită ale stărilor

Să luăm în considerare principalii indicatori de performanță ai unui QS cu un singur canal cu eșecuri.

Deoarece probabilitatea de a deservi cererile primite într-un astfel de sistem este p 0 , iar debitul relativ Q este egal cu raportul dintre numărul mediu de cereri deservite și numărul mediu de cereri primite pe unitate de timp, atunci Q = p 0 , adică pentru un QS cu un singur canal cu defecțiuni

Debitul absolut al QS este numărul mediu de aplicații deservite pe unitatea de timp sau intensitatea fluxului de ieșire:

Probabilitatea de eșec în QS apare atunci când canalul este ocupat, aceasta este probabilitatea P!

Timpul mediu de serviciu pentru o cerere este reciproca lui p:

În mod similar, puteți determina timpul mediu de inactivitate al canalului:

Timpul mediu de rezidență al unei aplicații în sistem este calculat prin formula:

Exemplul 1.4. Linia telefonică a unui operator de telefonie mobilă primește cel mai simplu flux de apeluri cu intensitate X= 1,5 aplicații pe minut. Debitul liniei p = 0,4 apeluri pe minut. Un apel care vine pe linie în timp ce aceasta este ocupată nu este deservit. Determinați debitul absolut al liniei, timpul mediu de serviciu al unui apel, probabilitatea defecțiunilor serviciului, precum și timpul mediu de rezidență al aplicației în sistem.

Soluţie. 1. Conform formulelor (1.27) - (1.31), după efectuarea calculelor necesare, se obține: A = 0,32 apeluri/min; p out = 0,79; t o6cjl = 2,5 min;

1 sistem = °> 52 MIN -
2. Datele estimate indică faptul că, dacă există un număr de telefon, CMO nu va face față bine fluxului de aplicații.

QS multicanal cu defecțiuni.

Intrarea unui sistem cu n canale primește cel mai simplu flux de solicitări cu intensitate X, fluxul de servicii pe fiecare canal este, de asemenea, cel mai simplu cu intensitatea p.

Numerotăm stările sistemului în funcție de numărul de canale ocupate (fiecare canal din sistem este fie liber, fie deservește o singură cerere).

Sistemul are următoarele stări: unde s k -

starea sistemului atunci când există k solicitări în el, adică k canale sunt ocupate.

Graficul de stare al unui astfel de sistem corespunde procesului de moarte și reproducere și este prezentat în Fig. 1.6.

Orez. 1.6.

Fluxul de cereri transferă secvențial sistemul din orice stare din stânga în starea vecină din dreapta cu aceeași intensitate La. Intensitatea fluxului de serviciu, transferând sistemul din orice stare din dreapta în starea stângă, se schimbă constant în funcție de stare. Luați în considerare ca exemplu un QS în starea s 2 când două canale sunt ocupate. Sistemul poate trece în starea s t când serviciul celui de-al doilea sau primul canal se termină, respectiv, intensitatea totală a serviciului va fi egală cu 2р.

Folosind formula (1.18) pentru procesul de moarte și reproducere, obținem următoarea expresie pentru probabilitatea limită a stării p 0

Introducem o notație care se numește intensitatea redusă a fluxului de cereri (intensitatea încărcării canalelor). Această valoare este numărul mediu de cereri care sosesc în timpul mediu de serviciu pentru o cerere. Apoi putem obține următoarea formulă:

Folosind expresia (1.19), avem:

Formulele date (1.34) din literatura tehnică se numesc formule Erlang (un inginer, matematician danez - unul dintre fondatorii teoriei cozilor).

Să scriem expresii analitice pentru evaluarea principalilor indicatori de performanță ai QS-ului considerat. Pe baza principiului de funcționare a unui astfel de Eșec CMOîn serviciul unei aplicații are loc atunci când toate canalele sunt ocupate, iar sistemul este în starea s n , adică probabilitatea eșecului QS

Deoarece evenimentul de serviciu al cererii și evenimentul de refuz al deservirii acesteia sunt opuse, probabilitatea de a deservi cererea (probabilitatea ca cel puțin un canal să fie liber) va fi

Debitul relativ al QS este definit ca probabilitatea serviciului său

Debitul absolut al QS (este, de asemenea, intensitatea fluxului de cereri deservite):

Pentru QS multicanal, un indicator important al performanței lor este numărul mediu de canale ocupate k (așteptarea matematică a numărului de canale ocupate)

Având în vedere că debitul absolut al sistemului A nu este altceva decât intensitatea fluxului de cereri deservite de sistem pe unitate de timp și fiecare canal ocupat servește în medie p cereri pe unitatea de timp, numărul mediu de canale ocupate poate fi determinat de formula:

Exemplul 1.5. Centrul de calcul al companiei de rețea electrică este dotat cu trei calculatoare, care primesc comenzi pentru implementarea lucrărilor de calcul. Dacă toate cele trei computere funcționează simultan, atunci comanda nou primită nu este acceptată. Timpul mediu de lucru cu o singură comandă este de 2,5 ore.Intensitatea fluxului de aplicații este de 0,2 h -1 . Determinați și analizați probabilitățile limitative ale stărilor și indicatorii de performanță ai centrului de calcul.

Soluţie. 1. Definiți parametrii QS: n = 2; X= 0,2 h-1;

debitul de serviciu

; intensitatea sarcinii calculatorului p = 0,2/0,4 = 0,5.

2. Aflați probabilitățile stărilor: probabilitatea ca în sistem să nu existe aplicații:

probabilitățile altor stări:

Probabilitatea ca o cerere să fie respinsă este:

Astfel, în modul staționar de funcționare al centrului de calcul, în medie, în 61% din timp nu există o singură aplicație, în 30% din timp există o aplicație (un computer este ocupat), în 8% din timpul sunt două aplicații (două computere sunt ocupate), iar în 1% - trei aplicații (trei computere sunt ocupate). Probabilitatea de eșec atunci când toate cele trei computere sunt ocupate - p otk = 0,01.

3. Definiți indicatorii de performanță ai centrului de date: debit relativ:

adică din fiecare sută de aplicații, centrul de calcul deservește 99;

Debitul absolut al centrului de calcul:

adică 0,2 aplicații sunt servite în medie pe oră; numărul mediu de calculatoare ocupate:

Un studiu de fezabilitate al datelor obținute ar trebui să se bazeze pe o comparație a veniturilor din îndeplinirea aplicațiilor cu pierderile din perioada de nefuncționare a calculatoarelor scumpe. După cum puteți vedea, în acest caz, există un randament mare al centrului de calcul, dar un timp de nefuncționare semnificativ al canalelor de servicii. Este nevoie de o soluție de compromis.

4. TEORIA COZILOR

4.1. Clasificarea sistemelor de așteptare și indicatorii lor de performanță

Sunt apelate sistemele în care solicitările de servicii apar în momente aleatorii și există dispozitive pentru deservirea acestor solicitări sisteme de asteptare(SMO).

QS poate fi clasificat pe baza organizării serviciilor, după cum urmează:

Sistemele cu defecțiuni nu au cozi.

Sistemele de așteptare au cozi.

O solicitare primită în momentul în care toate canalele de servicii sunt ocupate:

Lasă sistemul cu defecțiuni;

Intră în coada pentru service în sistemele cu așteptare pentru o coadă nelimitată sau pentru un loc liber cu o coadă limitată;

Lasă sistemul cu o coadă limitată de așteptare dacă nu există spațiu liber în coadă.

Ca măsură a eficacității QS economice, se consideră suma pierderilor de timp:

Așteaptă la coadă;

Timp de oprire a canalelor de servicii.

Pentru toate tipurile de QS, sunt utilizate următoarele: indicatori de performanta :

- debit relativ - aceasta este ponderea medie a aplicațiilor primite deservite de sistem;

- lățime de bandă absolută - acesta este numărul mediu de aplicații deservite de sistem pe unitatea de timp;

- probabilitatea de eșec - este probabilitatea ca cererea să lase sistemul fără serviciu;

- canale medie ocupate - pentru QS multicanal.

Indicatorii de eficiență QS sunt calculați după formule din cărți de referință speciale (tabele). Datele inițiale pentru astfel de calcule sunt rezultatele modelării QS.

4.2. Modelarea unui sistem de așteptare:

parametri de bază, grafic de stare

Cu toată varietatea de QS, au aspecte comune , care permit unificarea modelării acestora pentru a găsi cele mai eficiente opțiuni pentru organizarea unor astfel de sisteme .

Pentru a modela un QS, este necesar să aveți următoarele date inițiale:

Setări principale;

Graficul de stare.

Rezultatele modelării QS sunt probabilitățile stărilor sale, prin care sunt exprimați toți indicatorii eficienței sale.

Parametrii cheie pentru modelarea QS includ:

Caracteristicile fluxului de solicitari de servicii de intrare;

Caracteristicile mecanismului de service.

Considera X caracteristicile fluxului de aplicare .

Fluxul aplicației - succesiunea cererilor de serviciu.

Intensitatea fluxului de aplicații - numărul mediu de aplicații care intră în QS pe unitatea de timp.

Fluxurile de aplicații sunt simple și diferite de cele mai simple.

Pentru cele mai simple fluxuri de aplicații se folosesc modele QS.

cel mai simplu , sau Poisson se numește un flux care este staționar, singur iar în ea fără efecte secundare.

staționaritate înseamnă invarianța intensității primirii cererilor în timp.

Singur fluxul de cereri este în cazul în care, într-o perioadă scurtă de timp, probabilitatea de a primi mai mult de o cerere este aproape de zero.

Fără efect secundar rezidă în faptul că numărul de cereri primite de QS într-un interval de timp nu afectează numărul de cereri primite într-un alt interval de timp.

Modelele de simulare sunt folosite pentru aplicații care sunt diferite de cele mai simple.

Considera caracteristicile mecanismului de serviciu .

Mecanismul de service este caracterizat prin:

- număr canale de servicii ;

performanța canalului sau intensitatea serviciului - numărul mediu de aplicații deservite de un canal pe unitatea de timp;

Disciplina la coadă (de exemplu, volumul cozii , ordinea selecției de la coadă la mecanismul de service etc.).

Graficul de stat descrie funcționarea sistemului de servicii ca tranziții de la o stare la alta sub acțiunea fluxului de cereri și deservirea acestora.

Pentru a construi un grafic de stare QS, trebuie să:

Faceți o listă cu toate stările QS posibile;

Prezentați grafic stările enumerate și afișați posibilele tranziții între ele cu săgeți;

Cântăriți săgețile afișate, adică atribuiți-le valori numerice ale intensităților de tranziție determinate de intensitatea fluxului de cereri și de intensitatea serviciului acestora.

4.3. Calculul probabilităților de stare

sisteme de asteptare

Graficul de stare QS cu schema de „moarte și naștere” reprezintă un lanț liniar, în care fiecare dintre stările de mijloc are o conexiune directă și de feedback cu fiecare dintre statele vecine, iar stările extreme doar cu una învecinată:

Numărul de state în coloană este cu unul mai mult decât numărul total de canale de servicii și locuri din coadă.

QS poate fi în oricare dintre stările sale posibile, astfel încât rata așteptată de ieșire din orice stare este egală cu rata așteptată de intrare a sistemului în această stare. De aici, sistemul de ecuații pentru determinarea probabilităților de stări pentru cele mai simple fluxuri va arăta astfel:

unde este probabilitatea ca sistemul să fie în stare

- intensitatea tranziției sau numărul mediu de tranziții ale sistemului pe unitatea de timp de la o stare la alta.

Folosind acest sistem de ecuații, precum și ecuația

probabilitatea oricărei stări --a poate fi calculată prin următoarele regula generala :

probabilitatea unei stări nule se calculează ca

și apoi se ia o fracție, în numărătorul căreia este produsul tuturor intensităților fluxului de-a lungul săgeților care duc de la stânga la dreapta de la o stare la alta, iar la numitor este produsul tuturor intensităților de-a lungul săgeților care merg de la dreapta la stânga din stare. a afirma , iar această fracție este înmulțită cu probabilitatea calculată

Concluzii privind secțiunea a patra

Sistemele de așteptare au unul sau mai multe canale de servicii și pot avea o coadă limitată sau nelimitată (sisteme de așteptare) de cereri de serviciu sau nicio coadă (sisteme de respingere). Solicitările de servicii apar în momente aleatorii. Sistemele de așteptare sunt caracterizate de următorii indicatori de performanță: debit relativ, debit absolut, probabilitate de eșec, număr mediu de canale ocupate.

Modelarea sistemelor de așteptare se realizează pentru a găsi cele mai eficiente opțiuni pentru organizarea lor și presupune următoarele date inițiale pentru aceasta: parametri de bază, grafic de stare. Astfel de date includ următoarele: intensitatea fluxului de aplicații, numărul de canale de servicii, intensitatea serviciului și volumul cozii. Numărul de stări din grafic este cu unul mai mult decât suma numărului de canale de servicii și locuri din coadă.

Calculul probabilităților stărilor sistemului de coadă cu schema „moarte și naștere” se efectuează conform regulii generale.

Întrebări pentru autoexaminare

Ce sisteme se numesc sisteme de așteptare?

Cum sunt clasificate sistemele de așteptare în funcție de organizarea lor?

Ce sisteme de așteptare se numesc sisteme cu defecțiuni și care se numesc așteptare?

Ce se întâmplă cu o solicitare care sosește într-un moment în care toate canalele de servicii sunt ocupate?

Ce este considerat ca o măsură a eficacității sistemului economic de așteptare?

Care sunt indicatorii de performanță ai sistemului de așteptare?

Care servește drept date inițiale pentru calcularea indicatorilor de performanță ai sistemelor de așteptare?

Ce date de intrare sunt necesare pentru modelarea sistemelor de așteptare?

Prin ce rezultate ale modelării sistemului de așteptare se exprimă toți indicatorii eficienței acestuia?

Care sunt principalii parametri pentru modelarea sistemelor de așteptare?

Ce sunt fluxurile de solicitare de servicii?

Care sunt mecanismele de service?

Ce descrie graficul de stare al unui sistem de așteptare

Ce este necesar pentru a construi un grafic de stare al unui sistem de așteptare?

Care este graficul de stare al unui sistem de așteptare cu o schemă de deces și naștere?

Care este numărul de stări din graficul de stări al sistemului de așteptare?

Care este forma sistemului de ecuații pentru determinarea probabilităților stărilor sistemului de coadă?

Care este regula generală pentru a calcula probabilitatea oricărei stări a sistemului de așteptare?

Exemple de rezolvare a problemelor

1. Construiți un grafic de stare al sistemului de așteptare și oferiți principalele dependențe ale indicatorilor de performanță.

A) QS pe canal n cu defecțiuni (problema Erlang)

Setări principale:

canale,

intensitatea fluxului,

Intensitatea serviciului.

Stări posibile ale sistemului:

Toate canalele sunt ocupate (aplicații din sistem).

Graficul de stare:

Debit relativ,

Probabilitatea de eșec,

Numărul mediu de canale ocupate.

b) n-canal QS cu coadă m-limitată

Stări posibile ale sistemului:

Toate canalele sunt gratuite (zero solicitări în sistem);

Un canal este ocupat, restul sunt libere (o cerere în sistem);

Două canale sunt ocupate, restul sunt gratuite (două aplicații în sistem);

...................................................................................

Toate canalele sunt ocupate, două aplicații sunt în coadă;

Toate canalele sunt ocupate, aplicațiile sunt în coadă.

Graficul de stare:

c) QS cu un singur canal cu coadă nelimitată

Stări posibile ale sistemului:

Toate canalele sunt gratuite (zero solicitări în sistem);

Canalul este ocupat, zero cereri în coadă;

Canalul este ocupat, o aplicație este în coadă;

...................................................................................

Canalul este ocupat, aplicația este în coadă;

....................................................................................

Graficul de stare:

Indicatori de performanță a sistemului:

Timpul mediu de rezidență al unei aplicații în sistem ,

Lățimea de bandă absolută,

Debit relativ.

G) QS cu canale n cu coadă nelimitată

Stări posibile ale sistemului:

Toate canalele sunt gratuite (zero solicitări în sistem);

Un canal este ocupat, restul sunt libere (o cerere în sistem);

Două canale sunt ocupate, restul sunt gratuite (două aplicații în sistem);

...................................................................................

Toate canalele sunt ocupate (cereri în sistem), zero cereri în coadă;

Toate canalele sunt ocupate, o aplicație este în coadă;

....................................................................................

Toate canalele sunt ocupate, aplicațiile sunt în coadă;

....................................................................................

Graficul de stare:

Indicatori de performanță a sistemului:

Numărul mediu de canale ocupate ,

Numărul mediu de aplicații în sistem ,

Numărul mediu de aplicații în coadă ,

Timpul mediu pe care o aplicație îl petrece în coadă .

2. Centrul de calculatoare are trei calculatoare. Centrul primește în medie patru sarcini pe oră de rezolvat. Timpul mediu pentru rezolvarea unei probleme este de o jumătate de oră. Centrul de calcul acceptă și pune în coadă pentru rezolvarea a cel mult trei sarcini. Este necesar să se evalueze eficacitatea centrului.

SOLUŢIE. Este clar din condiția că avem un QS multicanal cu o coadă limitată:

Numărul de canale;

Intensitatea fluxului de aplicații (sarcină/oră);

Timp de serviciu pentru o aplicație (oră / sarcină), intensitatea serviciului (sarcină / oră);

Lungimea cozii.

Lista stărilor posibile:

Nu există aplicații, toate canalele sunt gratuite;

Un canal este ocupat, doi sunt liberi;

Două canale sunt ocupate, unul este gratuit;

Trei canale sunt ocupate;

Trei canale sunt ocupate, o aplicație este în coadă;

Trei canale sunt ocupate, două aplicații sunt în coadă;

Trei canale sunt ocupate, trei aplicații sunt în coadă.

Graficul de stare:

Calculați probabilitatea stării:

Indicatori de performanta:

Probabilitatea de refuz (toate cele trei computere sunt ocupate și trei aplicații sunt în coadă)

Lățimea de bandă relativă

Lățimea de bandă absolută

Numărul mediu de computere ocupate

3. (Problemă la utilizarea QS cu defecțiuni.) Există trei controlere care lucrează în QCD-ul magazinului. Dacă o piesă ajunge la Departamentul de control al calității când toți inspectorii sunt ocupați cu service-ul pieselor primite anterior, atunci nu se bifează. Numărul mediu de piese care ajung la departamentul de control al calității într-o oră este de 24, timpul mediu pe care un inspector îl petrece pentru întreținerea unei piese este de 5 minute. Determinați probabilitatea ca piesa să treacă de departamentul de control al calității fără service, cât de încărcate sunt controlerele și câte dintre ele trebuie să fie livrate pentru a (* - valoarea setată).

SOLUŢIE. După starea problemei, atunci .

1) Probabilitatea de oprire a canalelor de servicii:

3) Probabilitatea serviciului:

4) Medie angajat in service canale:

5) Ponderea canalelor ocupate de serviciu:

6) Lățimea de bandă absolută:

La . Efectuând calcule similare pentru , obținem

Din moment ce , după ce facem calcule pentru , obținem

RĂSPUNS. Există o șansă de 21% ca o piesă să treacă prin QCD neservită, iar inspectorii vor fi ocupați în proporție de 53% cu service-ul.

Sunt necesare cel puțin cinci controlere pentru a oferi un nivel de serviciu de peste 95%.

4. (Problemă la utilizarea QS cu așteptare nelimitată.) Banca de economii are trei controlori de casierie () pentru a servi deponenților. Fluxul deponenților intră în banca de economii cu o intensitate de oameni pe oră. Durata medie a serviciului de către controlorul-casier al unui deponent min.

Determinați caracteristicile băncii de economii ca obiect al QS.

SOLUŢIE. Intensitatea debitului de serviciu, intensitatea sarcinii.

1) Probabilitatea de oprire a controlorilor-casieri în timpul zilei de lucru (vezi sarcina anterioară nr. 3):

2) Probabilitatea de a găsi toți controlorii de casierie ocupați:

3) Probabilitatea de coadă:

4) Numărul mediu de aplicații în coadă:

5) Timp mediu de așteptare pentru o aplicație în coadă:

min.

6) Timpul mediu de rezidență al unei cereri în CMO:

7) Numărul mediu de canale gratuite:

8) Rata de ocupare a canalelor de servicii:

9) Numărul mediu de vizitatori în banca de economii:

RĂSPUNS. Probabilitatea de nefuncționare pentru casiere este de 21% din timpul de lucru, probabilitatea ca un vizitator să fie la coadă este de 11,8%, numărul mediu de vizitatori în coadă este de 0,236 persoane, timpul mediu de așteptare pentru vizitatorii serviciului este de 0,472 minute.

5. (Problemă la utilizarea QS cu așteptare și cu o lungime limitată la coadă.) Magazinul primește legume timpurii din sere suburbane. Camioane cu marfă ajung la timp diferit cu intensitatea mașinilor pe zi. Utilajele și echipamentele pentru prepararea legumelor pentru vânzare vă permit să procesați și să depozitați mărfuri aduse cu două vehicule (). În magazin există trei ambalatori () dintre care fiecare, în medie, poate procesa mărfuri de la o mașină timp de o oră. munca in schimburi este de 12 ore.

Determinați care ar trebui să fie capacitatea încăperilor utilitare, astfel încât probabilitatea procesării complete a mărfurilor să fie de .

SOLUŢIE. Să determinăm intensitatea încărcării pachetelor:

Auto/Zi

1) Găsiți probabilitatea de oprire pentru ambalatori în absența mașinilor (aplicații):

unde 0!=1,0.

2) Probabilitatea refuzului serviciului:

3) Probabilitatea serviciului:

pentru că , efectuăm calcule similare pentru , obținem), în timp ce probabilitatea procesării complete a mărfurilor va fi de .

Sarcini pentru munca independentă

Pentru fiecare dintre următoarele situații, determinați:

a) căreia îi aparține obiectul QS;

b) numărul de canale;

c) lungimea cozii;

d) intensitatea fluxului de aplicații;

e) tariful serviciului pe canal;

f) numărul tuturor stărilor obiectului QS.

În răspunsurile dvs., indicați valorile pentru fiecare articol folosind următoarele abrevieri și dimensiuni:

a) TOE - canal unic cu defecțiuni; MO - multicanal cu defecțiuni; OJO - așteptare pe un singur canal cu o coadă limitată; OZHN - un singur canal cu așteptare cu o coadă nelimitată; MJO - așteptare multicanal cu o coadă limitată; MZHN - așteptare multicanal cu o coadă nelimitată;

b) =… (unități);

c) =… (unități);

d) =xxx/xxx(unități/min);

e) =xxx/xxx(unități/min);

f) (unități).

1. Ofițerul de serviciu al administrației orașului are cinci telefoane. Apelurile telefonice sunt primite cu o intensitate de 90 de aplicații pe oră, durata medie a unui apel este de 2 minute.

2. În parcarea din apropierea magazinului sunt 3 locuri, fiecare dintre ele rezervate pentru o mașină. Mașinile ajung în parcare cu o rată de 20 de mașini pe oră. Durata de ședere a mașinilor în parcare este în medie de 15 minute. Parcarea pe carosabil nu este permisă.

3. ATS-ul întreprinderii asigură cel mult 5 negocieri în același timp. Durata medie a apelurilor este de 1 minut. Postul primește în medie 10 apeluri pe secundă.

4. Portul fluvial de marfă primește în medie 6 nave de marfă uscată pe zi. În port sunt 3 macarale, fiecare dintre ele deservește 1 navă de marfă uscată în medie de 8 ore.Macaralele funcționează non-stop. Navele de marfă uscată care așteaptă service sunt în rada.

5. În serviciul de ambulanță al satului, 3 dispeceri sunt de serviciu non-stop, care deservesc 3 telefoane. Dacă o cerere de chemare a unui medic la un pacient este primită atunci când dispecerii sunt ocupați, atunci abonatul este refuzat. Fluxul de aplicații este de 4 apeluri pe minut. Procesul de aplicare durează în medie 1,5 minute.

6. Salonul de coafura are 4 maestri. Fluxul de vizitatori de intrare are o intensitate de 5 persoane pe oră. Timpul mediu de service pentru un client este de 40 de minute. Lungimea cozii de serviciu este considerată nelimitată.

7. La benzinărie sunt instalate 2 dozatoare de benzină. Lângă stație există un peron pentru 2 mașini care să aștepte realimentarea. În medie, o mașină ajunge la stație la fiecare 3 minute. Durata medie de service pentru o mașină este de 2 minute.

8. La gară lucrează trei meșteri în atelierul de servicii pentru consumatori. Dacă un client intră în atelier când toți maeștrii sunt ocupați, atunci părăsește atelierul fără să aștepte serviciul. Numărul mediu de clienți care vizitează atelierul în 1 oră este de 20. Timpul mediu pe care comandantul îl petrece pentru deservirea unui client este de 6 minute.

9. PBX-ul satului oferă nu mai mult de 5 apeluri în același timp. Timpul de negociere este în medie de aproximativ 3 minute. Apelurile către stație ajung în medie după 2 minute.

10. La benzinărie (benzinărie) sunt 3 coloane. Locul de la stație în care mașinile așteaptă realimentarea nu poate găzdui mai mult de un autoturism, iar dacă acesta este ocupat, următorul vagon care ajunge în stație nu face coadă, ci trece la stația vecină. În medie, mașinile ajung în stație la fiecare 2 minute. Procesul de realimentare a unei mașini durează în medie 2,5 minute.

11. Într-un mic magazin, cumpărătorii sunt deserviți de doi vânzători. Timpul mediu de service pentru un client este de 4 minute. Intensitatea fluxului de cumpărători este de 3 persoane pe minut. Capacitatea magazinului este de așa natură încât nu pot fi la coadă mai mult de 5 persoane în același timp. Un client care vine într-un magazin aglomerat când sunt deja 5 persoane la coadă nu așteaptă afară și pleacă.

12. Gara satului de vacanta este deservita de o casa de bilete cu doua ferestre. În weekend, când populația folosește activ calea ferată, intensitatea fluxului de călători este de 0,9 persoane/min. Un casier petrece în medie 2 minute servind un pasager.

Pentru fiecare dintre opțiunile QS indicate în opțiunile QS, intensitatea fluxului de aplicații este egală cu și intensitatea serviciului pe un canal. Necesar:

Faceți o listă de stări posibile;

Construiți un grafic al stărilor conform schemei „moarte și reproducere”.

În răspunsul dvs., indicați pentru fiecare sarcină:

Numărul de stări ale sistemului;

Intensitatea trecerii de la ultima stare la penultima.

Opțiunea numărul 1

1. QS cu un singur canal cu o coadă de 1 cerere

2. QS cu 2 canale cu defecțiuni (problema Erlang)

3. QS cu 31 de canale cu 1 coadă limitată

5. QS cu 31 de canale cu coadă nelimitată

Opțiunea numărul 2

1. QS monocanal cu o coadă de 2 cereri

2. QS cu 3 canale cu defecțiuni (problema Erlang)

3. QS cu 30 de canale cu 2 coadă limitată