SMO monocanal cu eșecuri. Modele de sistem de așteptare

Clasificarea OCP-urilor și principalele caracteristici ale acestora

Sisteme la coadă sunt împărțite în tipuri (sau clase) în funcție de o serie de caracteristici. Prima divizie: CMO cu refuzuri și CMO cu o coadă... Într-un QS cu refuzuri, o cerere care ajunge în momentul în care toate canalele sunt ocupate primește un refuz, părăsește QS și nu participă la procesul de service ulterior. Exemple de QS-uri cu refuzuri sunt întâlnite în telefonie: o cerere pentru o conversație care ajunge într-un moment în care toate canalele de comunicare sunt ocupate este respinsă și lasă QS nesupravegheat. Într-un sistem de așteptare cu o coadă, o cerere care ajunge într-un moment în care toate canalele sunt ocupate nu pleacă, ci devine în coadă și așteaptă să fie servită ocazia. În practică, QS-urile în așteptare sunt mai frecvente (și mai importante); nu degeaba teoria cozilor are un al doilea nume: „teoria cozilor”.

CMO-urile cu o coadă sunt împărțite în tipuri diferite, în funcție de modul în care este organizată coada, dacă este limitată sau nu. Restricțiile se pot referi atât la lungimea cozii, cât și la timpul de așteptare (așa-numitul „QS cu cereri nerăbdătoare”). Atunci când se analizează QS, ar trebui luată în considerare și „disciplina de serviciu” - aplicațiile pot fi trimise fie în ordinea sosirii (sosite mai devreme, servite mai devreme), fie într-o ordine aleatorie. Asa numitul serviciu prioritar - unele aplicații sunt servite la rândul lor. Prioritatea poate fi ca. absolut - atunci când o cerere cu o prioritate mai mare „împinge” o cerere cu o prioritate mai scăzută din serviciu (de exemplu, un client de rang înalt care vine la un coafor scoate un client obișnuit din scaun), și relativ - când serviciul inițiat este finalizat, iar solicitarea cu o prioritate mai mare are doar dreptul la cel mai bun loc coadă.

Există CMO-uri cu așa-numitele multifazic serviciu format din mai multe etape sau „faze” succesive (de exemplu, un client care vine la un magazin trebuie mai întâi să selecteze un articol, apoi să îl plătească la checkout, apoi să îl primească la checkout).

În plus față de aceste caracteristici, CMO-urile sunt împărțite în două clase: „deschis” și „închis”. ÎN deschis Caracteristicile QS ale fluxului de aplicații nu depind de starea QS în sine (câte canale sunt ocupate). ÎN închis SMO - depinde. De exemplu, dacă un lucrător deservește un grup de mașini care din când în când necesită ajustare, atunci intensitatea fluxului de „cereri” de la mașini depinde de câte dintre ele sunt deja defecte și așteaptă ajustarea. Acesta este un exemplu de CMO închis.

În funcție de tipul QS, atunci când se evaluează eficacitatea acestuia, pot fi utilizate anumite valori (indicatori de performanță). De exemplu, pentru QS cu eșecuri, una dintre cele mai importante caracteristici ale productivității sale este așa-numitul debit absolut - numărul mediu de solicitări pe care sistemul le poate servi pe unitate de timp. Împreună cu valoarea absolută, se ia în considerare debitul relativ - ponderea medie a cererilor primite deservite de sistem (raportul dintre numărul mediu de cereri primite pe unitate de timp și numărul mediu de cereri primite în acest timp). În plus, atunci când se analizează QS cu eșecuri, se poate interesa și numărul mediu de canale ocupate, timpul mediu de nefuncționare relativ al sistemului ca întreg și un canal individual etc.

Caracteristicile OCP cu așteptări. Pentru un sistem de așteptare cu așteptare nelimitată, capacitățile absolute și relative nu au sens. Dar cele importante sunt: \u200b\u200bnumărul mediu de aplicații din coadă, numărul mediu de aplicații din sistem (în coadă și sub serviciu), timpul mediu de așteptare pentru o aplicație în coadă, timpul mediu pe care o aplicație este în sistem și altele. Pentru QS cu așteptări limitate, ambele grupuri de caracteristici sunt de interes.

Pentru a analiza procesul în QS, este esențial să se cunoască principalii parametri ai sistemului: numărul de canale n, intensitatea fluxului de clienți l, performanța fiecărui canal (numărul mediu de clienți deserviți de un canal ocupat continuu pe unitate de timp), condițiile pentru formarea unei cozi (restricții, dacă există).

Să fim de acord că toate fluxurile de evenimente care transferă QS de la stat la stat sunt considerate Poisson.

Cea mai simplă sarcină. Lăsați QS să fie format dintr-un singur canal ( n \u003d 1) și primește fluxul Poisson revendicări cu intensitate l, în funcție de cazul general la timp l \u003d l (t) (9.1). Solicitarea care a făcut canalul ocupat este respinsă și părăsește sistemul. Serviciul de aplicații continuă o perioadă aleatorie T despre, distribuită exponențial cu parametrul m f (t) \u003d eu - m t (t\u003e 0)(9.2).

Din aceasta rezultă că „fluxul de serviciu” este cel mai simplu, cu intensitate m. Este necesar să se găsească: absolut (A) și relativ ( q) lățime de bandă.

Luați în considerare un singur canal de serviciu ca un sistem fizic S, care poate fi în una din cele două stări: S 0 - gratuit, S 1 - ocupat. Notăm probabilitățile statelor p 0 (t)și p 1 (t)... Evident:

„t p 0 (t) + p 1 (t) \u003d 1(9.3).

Graficul stării sistemului

Pe baza graficului stării sistemului, compunem ecuatii diferentiale Kolmogorov:

(9.4)

În conformitate cu (9.3), o ecuație din (9.4) este de prisos. Eliminăm a doua ecuație și rescriem prima luând în considerare (9.3):

sau (9.5).

Este firesc rezolvarea acestei ecuații în condițiile inițiale p 0 (0) \u003d 1; p 1 (0) \u003d 0. Ecuația (9.5) poate fi ușor rezolvată nu numai pentru cel mai simplu flux de cereri (l \u003d const), ci și pentru cazul l \u003d l (t). Să prezentăm soluția (9.5) numai pentru cazul l \u003d const: .

Pentru cazul nostru, probabilitatea p 0nu este altceva decât q.

Într-adevăr, p 0există posibilitatea ca în acest moment tcanalul este gratuit, altfel probabilitatea ca solicitarea să ajungă în acest moment tva fi servit. Prin urmare al acestui moment timp t numărul mediu de servicii servite la numărul de servicii primite este, de asemenea p 0: q \u003d p 0.

În limită, la t® ¥, când procesul de întreținere este deja stabilit, valoarea limită q va fi egal.

Ușor de găsit și A, știind q... Acestea sunt legate de o relație evidentă: În limită, la t® ¥, Și va fi stabilit și va fi egal.

Știind q (probabilitatea ca clientul care ajunge la ora t să fie deservit) este ușor de găsit probabilitatea de eșec: P deschis \u003d 1-q. P deschis nu există altceva decât cota medie a cererilor neprocesate dintre cele depuse. În limită, la t® ¥ .

Ca indicatori ai eficienței QS cu eșecuri, vom lua în considerare:

1) A - debitul absolut al OCP, adică numărul mediu de solicitări servite pe unitate de timp;

2) Q - lățime de bandă relativă, adică ponderea medie a aplicațiilor primite deservite de sistem;

3) P _ (\\ text (otk)) - probabilitatea de eșec, adică faptul că aplicația lasă OCP neservită;

4) \\ overline (k) - numărul mediu de canale ocupate (pentru un sistem multicanal).

Sistem monocanal (SMO) cu defecțiuni

Să luăm în considerare problema. Există un canal către care fluxul de creanțe ajunge odată cu intensitatea \\ lambda. Fluxul de servicii are o intensitate de \\ mu. Găsiți probabilitățile limitative ale stărilor sistemului și indicatorii eficienței acestuia.

Notă. Aici și în cele ce urmează, se presupune că toate fluxurile de evenimente care transferă QS de la stat la stat vor fi cele mai simple. Acestea includ fluxul de servicii - fluxul de revendicări deservite de un canal ocupat continuu. Timpul mediu de serviciu este invers în termeni de intensitate \\ mu, adică \\ overline (t) _ (\\ text (ob.)) \u003d 1 / \\ mu.

Sistemul S (CMO) are două stări: S_0 - canalul este liber, S_1 - canalul este ocupat. Graficul de stare etichetat este prezentat în Fig. 6.

În modul limitat, staționar, sistemul ecuații algebrice pentru probabilitățile stărilor are forma (a se vedea mai sus regula pentru compunerea unor astfel de ecuații)

\\ begin (cases) \\ lambda \\ cdot p_0 \u003d \\ mu \\ cdot p_1, \\\\\\ mu \\ cdot p_1 \u003d \\ lambda \\ cdot p_0, \\ end (cases)

acestea. sistemul degenerează într-o singură ecuație. Luând în considerare condiția de normalizare p_0 + p_1 \u003d 1, găsim din (18) probabilitățile limitative ale stărilor

P_0 \u003d \\ frac (\\ mu) (\\ lambda + \\ mu), \\ quad p_1 \u003d \\ frac (\\ lambda) (\\ lambda + \\ mu) \\,

care exprimă timpul relativ mediu petrecut de sistem în starea S_0 (când canalul este liber) și S_1 (când canalul este ocupat), adică determinați, respectiv, randamentul relativ Q al sistemului și probabilitatea de eșec P _ (\\ text (otk)):

Q \u003d \\ frac (\\ mu) (\\ lambda + \\ mu) \\,

P _ (\\ text (otk)) \u003d \\ frac (\\ lambda) (\\ lambda + \\ mu) \\,.

Găsim debitul absolut prin înmulțirea debitului relativ Q cu rata de eșec

A \u003d \\ frac (\\ lambda \\ mu) (\\ lambda + \\ mu) \\,.

Exemplul 5. Se știe că solicitările de conversații telefonice într-un studio de televiziune ajung cu o intensitate \\ lambda egală cu 90 de cereri pe oră, iar durata medie a unei conversații telefonice este min. Determinați indicatorii de performanță ai CMO (comunicații telefonice) în prezența unui număr de telefon.

Decizie. Avem \\ lambda \u003d 90 (1 / h), \\ overline (t) _ (\\ text (ob.)) \u003d 2 min. Debitul serviciului \\ mu \u003d \\ frac (1) (\\ overline (t) _ (\\ text (ob.))) \u003d \\ frac (1) (2) \u003d 0, \\! 5 (1 / min) \u003d 30 (1 / h). Conform (20), randamentul relativ al CMO Q \u003d \\ frac (30) (90 + 30) \u003d 0, \\! 25, adică în medie, doar 25% din aplicațiile primite vor negocia prin telefon. În consecință, probabilitatea refuzului de serviciu va fi P _ (\\ text (otk)) \u003d 0, \\! 75 (a se vedea (21)). Capacitatea absolută a QS conform (29) A \u003d 90 \\ cdot0. \\! 25 \u003d 22, \\! 5, adică în medie, 22,5 cereri de negocieri vor fi servite pe oră. Evident, dacă există un singur număr de telefon, CMO nu va face față bine fluxului de aplicații.

Sistem multicanal (CMO) cu eșecuri

Luați în considerare clasicul problema Erlang... Există n canale către care fluxul de revendicări ajunge cu intensitate \\ lambda. Fluxul de servicii are o intensitate de \\ mu. Găsiți probabilitățile limitative ale stărilor sistemului și indicatorii eficienței acestuia.

Sistemul S (QS) are următoarele stări (le numerotăm în funcție de numărul de solicitări din sistem): S_0, S_1, S_2, \\ ldots, S_k, \\ ldots, S_n, unde S_k este starea sistemului atunci când există k clienți în acesta, adică k canale sunt ocupate.

Graficul stării CMO corespunde procesului de deces și reproducere și este prezentat în Fig. 7.

Fluxul de cereri transferă secvențial sistemul din orice stare stângă într-una dreaptă adiacentă cu aceeași intensitate \\ lambda. Intensitatea fluxului de serviciu, transferând sistemul din orice stare dreaptă într-o stare stângă adiacentă, se modifică constant în funcție de stare. Într-adevăr, dacă QS este în starea S_2 (două canale sunt ocupate), atunci poate trece la starea S_1 (un canal este ocupat) atunci când primul sau al doilea canal termină service-ul, adică intensitatea totală a fluxurilor lor către serviciu va fi de 2 \\ mu. În mod similar, fluxul total de servicii care transferă QS din starea S_3 (trei canale sunt ocupate) în S_2 va avea o intensitate de 3 \\ mu, adică oricare dintre cele trei canale poate fi lansat etc.

În formula (16) pentru schema morții și reproducerii, obținem pentru probabilitatea limitativă a stării

P_0 \u003d (\\ left (1+ \\ frac (\\ lambda) (\\ mu) + \\ frac (\\ lambda ^ 2) (2! \\ Mu ^ 2) + \\ ldots + \\ frac (\\ lambda ^ k) (k! \\ unde termenii de extindere^{-1}, !}

\\ frac (\\ lambda) (\\ mu), \\, \\ frac (\\ lambda ^ 2) (2! \\ mu ^ 2), \\, \\ ldots, \\, \\ frac (\\ lambda ^ k) (k! \\ mu ^ k), \\, \\ ldots, \\, \\ frac (\\ lambda ^ n) (n! \\ mu ^ n) , vor fi coeficienții la p_0 în expresiile pentru probabilitățile limitativep_1, p_2, \\ ldots, p_k, \\ ldots, p_n ... Cantitatea\\ rho \u003d \\ frac (\\ lambda) (\\ mu)

numit

intensitate redusă a fluxului de aplicații intensitatea sarcinii canalului sau ... Acesta exprimă numărul mediu de clienți care sosesc în timpul mediu de serviciu al unui client. AcumP_0 \u003d (\\ left (1+ \\ rho + \\ frac (\\ rho ^ 2) (2

P_1 \u003d \\ rho \\ cdot p, \\ quad p_2 \u003d \\ frac (\\ rho ^ 2) (2+\ldots+\frac{\rho^k}{k!}+\ldots+\frac{\rho^n}{n!}\right)\!}^{-1}, !}

Au fost numite formulele (25) și (26) pentru probabilitățile limitative\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_k=\frac{\rho^k}{k!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_n=\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0. !}

Formule Erlang în cinstea fondatorului teoriei cozilor. Probabilitatea eșecului QS este probabilitatea limitativă ca toate canalele I ale sistemului să fie ocupate, adică

P _ (\\ text (otk)) \u003d \\ frac (\\ rho ^ n) (n

Debitul relativ este probabilitatea ca aplicația să fie difuzată:\cdot p_0. !}

Q \u003d 1- P _ (\\ text (otk)) \u003d 1- \\ frac (\\ rho ^ n) (n

Lățime de bandă absolută:\cdot p_0. !}

A \u003d \\ lambda \\ cdot Q \u003d \\ lambda \\ cdot \\ left (1- \\ frac (\\ rho ^ n) (n

Numărul mediu de canale ocupate \\ overline (k) este așteptarea matematică a numărului de canale ocupate:\cdot p_0\right)\!. !}

\\ overline (k) \u003d \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n) (k \\ cdot p_k),

unde p_k sunt probabilitățile limitative ale stărilor determinate de formulele (25), (26).

{!LANG-119c916267bb6ea3b015a6e3064bea57!}

Cu toate acestea, numărul mediu de canale ocupate poate fi găsit mai ușor dacă luăm în considerare că debitul absolut al sistemului A nu este altceva decât intensitatea flux de servit sistemul de cereri (pe unitate de timp). Deoarece fiecare canal ocupat servește în medie reclamații \\ mu (pe unitate de timp), numărul mediu de canale ocupate

\\ overline (k) \u003d \\ frac (A) (\\ mu)

Sau, având în vedere (29), (24):

\\ overline (k) \u003d \\ rho \\ cdot \\ left (1- \\ frac (\\ rho ^ n) (n\cdot p_0\right)\!. !}

Exemplul 6. În condițiile exemplului 5, determinați numărul optim de numere de telefon dintr-un studio de televiziune, dacă condiția optimității este satisfacerea a cel puțin 90 de cereri de negocieri din fiecare 100 de aplicații.

Decizie. Intensitatea sarcinii canalului conform formulei (25) \\ rho \u003d \\ frac (90) (30) \u003d 3, adică în timpul conversației telefonice medii (în termeni de durată) \\ overline (t) _ (\\ text (ob.)) \u003d 2 min. se primesc în medie 3 cereri de negocieri.

Vom crește treptat numărul de canale (numere de telefon) n \u003d 2,3,4, \\ ldots și vom defini caracteristicile serviciului prin formule (25), (28), (29) pentru QS n-canal rezultat. De exemplu, pentru n \u003d 2 avem

З_0 \u003d (\\ left (1 + 3 + \\ frac (3 ^ 2) (2\right)\!}^{-1}=0,\!118\approx0,\!12;\quad Q=1-\frac{3^2}{2!}\cdot0,\!118=0,\!471\approx0,\!47;\quad A=90\cdot0,\!471=42,\!4 !} etc.

Valoarea caracteristicilor QS este rezumată în tabel. unu.

În conformitate cu condiția de optimitate Q \\ geqslant0, \\! 9, prin urmare, este necesar să setați 5 numere de telefon în studioul TV (în acest caz Q \u003d 0, \\! 9 - vezi Tabelul 1). În același timp, va fi deservită în medie 80 de cereri pe oră (A \u003d 80, \\! 1), iar numărul mediu de numere de telefon ocupate (canale) conform formulei (30) \\ overline (k) \u003d \\ frac (80, \\! 1) (30) \u003d 2, \\! 67.

Exemplul 7. Centrul de calcul pentru utilizare colectivă cu trei calculatoare primește comenzi de la întreprinderi pentru munca de calcul. Dacă toate cele trei calculatoare funcționează, atunci noua comandă nu este acceptată, iar întreprinderea este forțată să apeleze la un alt centru de calcul. Timpul mediu de lucru cu o singură comandă este de 3 ore. Intensitatea fluxului de aplicații este de 0,25 (1 / h). Găsiți probabilitățile limitative ale stărilor și indicatorii de performanță ai centrului de calcul.

Decizie. După condiție n \u003d 3, ~ \\ lambda \u003d 0, \\! 25 (1 / h), \\ overline (t) _ (\\ text (ob.))\u003d 3 (h). Debitul serviciului \\ mu \u003d \\ frac (1) (\\ overline (t) _ (\\ text (ob.))) \u003d \\ frac (1) (3) \u003d 0, \\! 33... Intensitatea încărcării computerului conform formulei (24) \\ rho \u003d \\ frac (0, \\! 25) (0, \\! 33) \u003d 0, \\! 75... Să găsim probabilitățile limitative ale stărilor:

- după formula (25) p_0 \u003d (\\ left (1 + 0, \\! 75+ \\ frac (0, \\! 75 ^ 2) (2+ \frac{0,\!75^3}{3!}\right)\!}^{-1}=0,\!476 !};

- după formula (26) p_1 \u003d 0 ,! 75 \\ cdot0, \\! 476 \u003d 0, \\! 357; ~ p_2 \u003d \\ frac (0, \\! 75 ^ 2) (2\cdot0,\!476=0,\!134;~p_3=\frac{0,\!75^3}{3!}\cdot0,\!476=0,\!033 !};

acestea. în modul staționar de funcționare al centrului de calcul, în medie, 47,6% din timp nu există o singură cerere, 35,7% - există o singură cerere (un computer este ocupat), 13,4% - două solicitări (două computere), 3,3% din timp - trei aplicații (trei calculatoare sunt ocupate).

Probabilitatea de eșec (atunci când toate cele trei computere sunt ocupate), astfel P _ (\\ text (otk)) \u003d p_3 \u003d 0, \\! 033.

Conform formulei (28), randamentul relativ al centrului Q \u003d 1-0, \\! 033 \u003d 0, \\! 967, adică în medie, din fiecare 100 de aplicații, centrul de calcul servește 96,7 aplicații.

Conform formulei (29), randamentul absolut al centrului A \u003d 0, \\! 25 \\ cdot0, \\! 967 \u003d 0, \\! 242, adică o oră în medie servită. 0,242 aplicații.

Conform formulei (30), numărul mediu de computere utilizate este \\ overline (k) \u003d \\ frac (0, \\! 242) (0, \\! 33) \u003d 0, \\! 725, adică fiecare dintre cele trei calculatoare va fi ocupat să servească cererile în medie numai pentru \\ frac (72, \\! 5) (3) \u003d 24, \\! 2%..

Atunci când se evaluează eficiența unui centru de calcul, este necesar să se compare venitul din executarea aplicațiilor cu pierderile din timpul de nefuncționare al computerelor scumpe (pe de o parte, avem un randament ridicat al QS și, pe de altă parte, un timp de inactivitate semnificativ al canalelor de servicii) și să se aleagă o soluție de compromis.

Javascript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru a face calcule, trebuie să activați controalele ActiveX!

Mai jos vom lua în considerare exemple ale celor mai simple sisteme de așteptare (QS). Protozoare nu înseamnă elementare. Modelele matematice ale acestor sisteme sunt aplicabile și utilizate cu succes în calculele practice.

Un singur canal cu respingeri

Dat: sistemul are un canal de serviciu, care primește cel mai simplu flux de solicitări cu intensitate. Fluxul de servicii este intens. O cerere care a găsit sistemul ocupat o lasă imediat.

A găsi: debitul absolut și relativ al QS și probabilitatea ca o cerere care ajunge la momentul t să fie respinsă.

Sistem pentru orice t\u003e 0 poate fi în două stări: S 0 - canalul este gratuit; S 1 - canalul este ocupat. Tranziția din S 0 in S 1 este asociat cu apariția unei aplicații și cu începerea imediată a serviciului său. Tranziția din S 1 in S 0 se efectuează imediat ce următorul serviciu este finalizat (Fig. 4).

Fig. 4. Graficul de stare al unui QS cu un singur canal cu eșecuri

Caracteristicile de ieșire (caracteristici de performanță) ale acestui și ale altor QS vor fi date fără concluzii și dovezi.

Lățime de bandă absolută(numărul mediu de solicitări difuzate pe unitate de timp):

unde este intensitatea fluxului de aplicații (reciprocitatea intervalului mediu de timp dintre aplicațiile primite -);

- intensitatea fluxului de serviciu (reciprocitatea timpului mediu de serviciu)

Lățime de bandă relativă(ponderea medie a cererilor servite de sistem):

Probabilitatea de eșec(probabilitatea ca aplicația să lase CMO neservită):

Următoarele relații sunt evidente: și.

Exemplu... Sistemul tehnologic constă dintr-o singură mașină. Mașina primește comenzi pentru producția de piese în medie 0,5 ore. Timpul mediu de producție pentru o parte este. Dacă mașina este ocupată la primirea unei comenzi pentru fabricarea unei piese, atunci aceasta (piesă) este trimisă la o altă mașină. Găsiți capacitatea absolută și relativă a sistemului și probabilitatea de a nu produce o piesă.

Acestea. în medie, aproximativ 46% din piese sunt prelucrate pe această mașină.

.

Acestea. în medie, aproximativ 54% din piese sunt trimise către alte mașini pentru procesare.

N - canalul cu eșecuri (problema Erlang)

Aceasta este una dintre primele probleme în teoria cozilor. A apărut din nevoile practice de telefonie și a fost rezolvată la începutul secolului al XX-lea de matematicianul danez Erlang.

Dat: sistemul are n- canale care primesc fluxul de solicitări cu intensitate. Fluxul de servicii este intens. O cerere care a găsit sistemul ocupat o lasă imediat.

A găsi: debitul absolut și relativ al sistemului; probabilitatea ca o cerere să ajungă la un moment dat t, va fi refuzat; numărul mediu de aplicații servite simultan (sau, cu alte cuvinte, numărul mediu de canale ocupate).

Decizie... Starea sistemului S(QS) este numerotat în funcție de numărul maxim de solicitări din sistem (coincide cu numărul de canale ocupate):

S 0 - nu există aplicații în CMO;

S 1 - există o singură cerere în QS (un canal este ocupat, restul sunt gratuite);

S 2 - există două solicitări în QS (două canale sunt ocupate, restul sunt gratuite);

S n - există n- aplicații (toate n- canalele sunt ocupate).

Graficul stării QS este prezentat în Fig. 5

Fig. 5 Grafic de stare pentru n - canal QS cu defecțiuni

De ce este marcat graficul de stare în acest fel? De la stat S 0 a afirma S 1, sistemul transferă fluxul de solicitări cu intensitate (imediat ce sosește o cerere, sistemul trece de la S 0 in S unu). Dacă sistemul era într-o stare S 1 și a sosit o altă cerere, apoi intră în stat S 2 etc.

De ce sunt săgețile inferioare (arcuri grafice) atât de intense? Lăsați sistemul să fie într-o stare S 1 (un canal funcționează). Produce servicii pe unitate de timp. Prin urmare, arcul de tranziție de la stat S 1 în stare S 0 este încărcat cu intensitate. Acum, sistemul să fie în stare S 2 (două canale funcționează). Să o facă să meargă la S 1, este necesar ca primul canal să termine repararea sau al doilea. Intensitatea totală a fluxurilor lor este egală etc.

Caracteristicile de ieșire (caracteristicile de performanță) ale acestui QS sunt definite după cum urmează.

Absolutdebitabilitate:

unde n- numărul de canale CMO;

- probabilitatea de a găsi QS în starea inițială atunci când toate canalele sunt libere (probabilitatea finală de a găsi QS în starea S 0);

Fig. 6. Grafic de stat pentru schema de deces și reproducere

Pentru a scrie o formulă pentru definiție, luați în considerare figura 6

Graficul prezentat în această figură se mai numește și graficul de stare pentru schema „moarte și reproducere”. În primul rând, scriem pentru o formulă generală (fără dovezi):

Apropo, restul probabilităților finale ale stărilor QS sunt scrise după cum urmează.

S 1 când un canal este ocupat:

Probabilitatea ca QS să fie în stare S 2, adică când două canale sunt ocupate:

Probabilitatea ca QS să fie în stare S n, adică când toate canalele sunt ocupate.

Acum pentru QS n-canal cu eșecuri

Lățime de bandă relativă:

Reamintim că aceasta este ponderea medie a cererilor primite de sistem. Unde

Probabilitaterefuzuri:

Să ne reamintim că aceasta este probabilitatea ca solicitarea să lase CMO neservită. Este evident că.

Numărul mediu de canale ocupate (numărul mediu de aplicații difuzate simultan):

Luați în considerare un QS cu un singur canal de servicii, care primește un flux de clienți cu intensitatea λ ... Intensitatea deservirii unui client este μ ... Este necesar să se găsească probabilitățile limitative ale stărilor sistemului și indicatorii eficienței acestuia. Sistem S în acest caz are 2 stări: S 0- canalul este gratuit și S 1 canalul este ocupat. Să desenăm un grafic al stărilor sistemului, adică o diagramă geometrică în care starea sistemului este reprezentată prin dreptunghiuri, iar tranzițiile de la stare la stare sunt reprezentate de săgeți:

S 0 μ S 1

Pentru a întocmi ecuația stărilor limită, se aplică regula: stânga ecuațiile conțin probabilitatea limitativă a unei stări date p iînmulțit cu intensitatea totală a tuturor fluxurilor care conduc din această stare și pe dreapta este suma produselor intensităților tuturor fluxurilor care intră în starea I și a probabilităților acelor stări din care pleacă aceste fluxuri.

Pentru un grafic dat, sistemul de ecuații pentru probabilitățile stărilor este:

l ρ 0=μ ρ 1

m ρ 1=λ ρ 0

acestea. are aceleași ecuații. Având în vedere că p 1+p 0\u003d 1, obținem sistemul:

l ρ 0=μ ρ 1

ρ 1=ρ 0 =1 (6.6)

Notăm:

A =λ /μ (6.7)

Cantitatea a numită rata de încărcare a canalului. Acesta exprimă numărul mediu de solicitări care sosesc în timpul timpului mediu de serviciu al unei solicitări. Apoi, din sistemul (6.6), luând în considerare formula (6.7), obținem expresii pentru probabilitățile limitative ale stărilor:

p 0- probabilitatea ca canalul de servicii să fie gratuit, adică caracterizează debitul relativ al CMO.

p 1 - probabilitatea ca canalul să fie ocupat, adică probabilitatea de eșec.

A \u003d \\ lambda \\ cdot Q \u003d \\ lambda \\ cdot \\ left (1- \\ frac (\\ rho ^ n) (n

A= λ × p 0 (6.9)

In medie ocupat cu serviciul canale:

N= a ×(1– P deschis) (6.10)

Exemplu:Tabelul de comenzi al magazinului acceptă comenzile cu un singur telefon. Cererile sunt primite cu o intensitate de 80 de cereri pe oră, iar timpul mediu pentru procesarea unei cereri este de 3 minute. Determinați indicatorii de performanță ai tabelului de comenzi.

Soluție: λ\u003d 80 de aplicații / oră, t\u003d 3min.

Să calculăm intensitatea încărcării canalului a... În acest caz, trebuie remarcat faptul că atunci când se calculează a, λ și ttrebuie să aibă aceeași dimensiune temporală. Prin urmare, în exemplul nostru, trebuie să convertim una dintre aceste valori, de exemplu, t.

t\u003d 2min \u003d 3/60 oră \u003d 1/20 oră.

Atunci

1. Proporția timpului de oprire a canalului:

În consecință, 20% din timp canalul va fi gratuit, ceea ce înseamnă că în medie doar 20% din solicitări pot fi deservite.

2. Ponderea cererilor care au primit un refuz de serviciu este egală cu:

acestea. 80% din timp telefonul va fi ocupat cu service.

3. Capacitatea absolută a sistemului:

Calculele arată că QS cu un singur telefon nu va face față bine fluxului de aplicații, deoarece pierderile de aplicații primite sunt de 80%, iar probabilitatea de service este de doar 20%. În plus, debitul absolut al sistemului este redus - doar 16 cereri din 80 primite.