Jednotné systémy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Lineární systémy s konstantními koeficienty

Vyřešit opakující se vztahy hlavní pravidla neexistuje. Existuje však velmi běžná třída poměrů vyřešené jednotnou metodou. Jedná se o poměry opakujících se typu.

f (N + K) \u003d A1 F (N + K - 1) + A2 F (N + K - 2) + ...

A k f (n),

kde A1, A2, ..., K je některá čísla. Tyto vztahy se nazývají lineární opakující se poměry s konstantními koeficienty.

Zvažte, jak jsou takové poměry řešeny na K \u003d 2, to znamená, že budeme studovat poměr druhu

f (n + 2) \u003d A1 f (n + 1) + A2 f (n). (3) \\ t

Řešení těchto vztahů je založeno na následujících dvou obvinění:

1) pokud jsou f1 (n) a f 2 (n) rozhodnutím opakovaného vztahu (3), poté s jakoukoliv sekvencí A a B

f (n) \u003d AF1 (n) + bf2 (n) je také řešením tohoto poměru. Ve skutečnosti, pod podmínkou, které máme

f1 (n + 2) \u003d A1 F1 (n + 1) + A2 F1 (n) a

f2 (n + 2) \u003d A1 F2 (N + 1) + A2 F2 (n).

Vynásobte tuto rovnost na A a B, a složte získané identity. Dostaneme to

AF1 (n + 2) + bf2 (n + 2) \u003d A1 [AF1 (n + 1) + bf2 (n + 1)] + A2

To znamená, že f (n) \u003d AF1 (n) + bf2 (n) je řešením našeho vztahu.

2) Pokud je číslo R1 kořenem čtvercové rovnice

tato sekvence

1, R1, R12, ..., R1N -1, ...

je rozhodnutí o opakovaného vztahu

f (n + 2) \u003d A1 f (n + 1) + A2 f (n)

Spolu se sekvencí (R1N -1) jakoukoliv sekvencí

f (n) \u003d r1n + m, n \u003d 1,2, ... je také roztokem studovaného poměru.

Z výpisů 1) a 2) znamená následující pravidlo řešení lineárních opakujících se vztahů druhé objednávky s konstantními koeficienty:

Nechat se opakující poměr

f (n + 2) \u003d A1 f (n + 1) + A2 f (n).

Udělejme čtvercovou rovnici

který se nazývá charakteristická pro tento poměr.

1. Pokud má tato rovnice dva různé kořeny R1 a R2, pak obecné řešení opakovaného poměru má formu

f (n) \u003d c1 r1n -1 + c2 r2n - 2

2. Pokud má čtvercová rovnice R2 \u003d A1 R + A 2 dvě shodující kořen R1 \u003d R2, jeho obecné řešení má formulář:

f (n) \u003d C1 R1N -1 + C2 NR1N -1 \u003d R1N-1 (C1 + C2N).

Výběrem C1 a C2 můžete uspokojit jakékoli počáteční podmínky.

Lineární opakující se poměry s konstantními koeficienty, jejichž pořadí je vyřešeno stejným způsobem.

Můžete také najít informace, které vás zajímají v Otvety.Online Vědecký vyhledávač. Použijte vyhledávací formulář:

Více o lineární opakující se poměry s konstantními koeficienty:

1. 17. Lineární homogenní a nehomogenní systémové systémy s konstantními koeficienty
2. Lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty.
3. Lineární nehomogenní systém diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty
4. Normální systémy lineárních homogenních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty.
5. Lineární nehomogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty.
6. 22. Lineární diferenciální rovnice vyšších objednávek s konstantními koeficienty jsou homogenní.
7. Lineární rozdíl. ur. Druhý řád s neustálými koeficienty, jejich aplikace ke studiu volných a nucených oscilací.

Přednáška 23.

Definice 23.1.Systém diferenciální rovnice volala lineárníPokud je lineární o všech neznámých funkcích a jejich derivátech.

Zejména systém lineární rovnice První objednávka s trvalými koeficienty má formulář:

Pokud zadáte matici, můžete použít záznam matice takového systému, pokud zadáte matici

. Pak je systém (23.1) ekvivalentní matrixová rovnice. (23.2)

Pokud zvažujete lineární operátor Rovnice (23.2) bude mít formu:

Od operátora L. Má obě lineární vlastnosti:

1) L.[cx.] = cl.[X.];

2) L.[X 1 + x 2] = L.[X 1.] + L.[X 2.],

potom pro řešení lineárního homogenního systému (23.3) (s F. \u003d 0) spravedlivé vlastnosti: pokud X 1.a X 2. - řešení jednotná rovnice (23.3), pak jejich lineární kombinace bude řešení stejné rovnice.

Můžete zadat koncept lineární závislost Řešení X 1, x 2, ..., x n:

Definice 23.2. Vektory (sloupce) X 1, x 2, ..., x n kde

Volala lineárně závislýpokud jsou čísla a 1, α 2, ..., α P.ne všechny stejné nuly

α 1 x 1 + α 2 x 2 + ... + α p x n ≡0 (23.4)

na. Pokud je identita (23.4) platná pouze vůbec α i \u003d 0, vektory se nazývají vektory lineárně nezávislý.

Komentář. název determinant vronsky Pro rovnici (23.4), determinant formy

, (23.5)

jedná se o determinant systému rovnic získaných při vyrovnání rovnosti (23,4). Může být ukázáno, že stejné jako v případě řešení lineární homogenní rovnice, W. \u003d 0 řešení X 1, x 2, ..., x n lineárně závislé na [ a, B.]. Pak je následující věta platit:

Věta 23.1. Lineární kombinace p. Obecným řešením tohoto systému je lineární nezávislá řešení lineárního homogenního systému.

Budeme hledat základní systém řešení lineárního homogenního systému s konstantními koeficienty

(23.6)

ve formě:, (23.7)

kde α I. - trvalý. Nahrazení (23.7) v (23.6) a snížení e kt,dostaneme:

. (23.8)

Aby byl tento systém mít nenulový roztok, je nutné a dostatek pro jeho hlavní identifikátor, aby byl nula:

, (23.9)

co je rovnice p. - stupeň poměrně k.volala charakteristický.

Pokud jsou všechny kořeny charakteristické rovnice odlišné, pak je nahrazují v sérii do systému (23.8), můžete najít odpovídající hodnoty a tím p. různá rozhodnutí Systémy (23,6). Tato řešení jsou lineárně nezávislé. Opravdu, pokud byla čísla β 1, β 2, ..., β ptakový

Vzhledem k lineární nezávislosti funkcí odtud by to bylo pro každého já. Ale protože alespoň jeden z Ne stejně nula, dostaneme to všechno. Nalezená rozhodnutí (23.7) jsou v důsledku toho lineárně nezávislé a celkové řešení systému má formulář: , (23.10)

kde c I. - libovolná konstanta.

Proveďte charakteristickou rovnici:

k 1 \u003d.1, k 2. \u003d 5. Pro k. \u003d 1 Dostáváme systém k určení: , tj

Ústav , pak . Pro k. = 5 ,

Pak . V důsledku toho obecné řešení systému má formulář :. \\ T

V případě několika kořenů charakteristické rovnice má systémové řešení (23,6) formu

Kde γ je zářami kořene k s.

Charakteristická rovnice je:

k 1 \u003d K 2 \u003d 3. Let. x \u003d.(c 1 + C 2 t)e 3 t, y \u003d(c3 + C 4 T)e 3 T. Expresní trvalý s 3.a se 4. přes s 1.a c 2. K tomu nahradíme nalezená řešení v jednom z rovnic systému a srovnáváme koeficienty, když e 3 T.a tE 3 T.: (3c 1 + C 2 +3c 2 T.)e 3 t \u003d (2c 1 + C3)e 3 t +(2c 2 + C 4)tE 3 T, C3 \u003d C 1 + C 2,

c 4 \u003d C 2.Obecné řešení systému je tedy získáno ve formě: x \u003d.(c 1 + C 2 t)e 3 t, y \u003d(c1 + C 2 + C 2 t)e 3 T.

Komentář. Pro nehomogenní systém (23.1) bude obecné řešení, stejně jako pro nehomogenní rovnici, bude součet celkového řešení odpovídajícího homogenního systému a soukromého roztoku nehomogenního systému. Při výběru soukromých řešení je princip superpozice platný.

. Najít soukromé řešení ve formuláři: . Při náhradě, dostaneme: Z! A \u003d. 3, NA \u003d 1. Přidání obecného řešení získaného částečného řešení obecného řešení odpovídajícího homogenního systému, zapište si obecné řešení zdrojového systému: x \u003d c 1 e t + 2c 2 E 4 T +3e 5 T, Y \u003d -C 1 E T + C 2 E 4 T + E 5 T.

Přednáška 24.

Stabilita řešení diferenciálních rovnic a jejich systémů. Stanovení lyapunovové rezistence a asymptotické stability. Autonomní systémy diferenciálních rovnic. Fázový prostor (rovina), fázová trajektorie. Pokerové body. Klasifikace bodů odpočinku systému dvou homogenních lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Podmínky pro stabilitu místa odpočinku.

Vzhledem k tomu, že při řešení skutečných problémů s diferenciálními rovnicemi jsou počáteční podmínky obvykle výsledky měření, a proto jsou získány s nějakou chybou, jsou velmi důležité pro otázku, jak se řešení rovnice změní s malou změnou počátečních podmínek . Zejména pokud tyto změny výrazně změní rozhodnutí, podobné řešení, samozřejmě nemá praktickou hodnotu.

Předpokládejme, že nějaký jev popsaný systémem diferenciálních rovnic

(24.1)

s počátečními podmínkami y I.(t 0.) = y i 0.

Definice 24.1. Rozhodnutí Φ I.(t.) (ǐ = 1,2,…,n.) Volala udržitelný na Lyapunov., Pokud

Takové, že pro jakékoli rozhodnutí y i (t) Stejný systém, jejichž počáteční podmínky splňují nerovnosti pro všechny nerovnosti (24.2)

(To znamená, že řešení v blízkosti hodnot zůstávají blízko každého).

Pokud alespoň pro jedno řešení y i (t)nerovnosti (24.2) nejsou prováděny, řešení Φ I.(t.) Volala nestabilní.

Pokud je řešení Φ I.(t.) nejen neustále na lyapunově, ale také uspokojuje stav

(24.3)

toto rozhodnutí se nazývá asymptoticky stabilní.

Komentář. Jedna podmínka (24.3) nezajišťuje udržitelnost řešení.

Fázové roviny.

Diferenciální rovnice druhého řádu

(24.4)

ekvivalentní systému prvního řádu rovnic

. (24.5)

Geometricky obecné řešení rovnice (24.4) nebo systémů (24,5) může být předloženo rodinou fázové trajektorie na fázové roviny.Zvláště pohodlné takové reprezentace v případě, kdy funkce neobsahuje explicitně nezávislé střídání t.. Pak má systém (24.5) formulář

(24.6)

a zavolal autonomní systém. Fáze trajektorie v tomto případě uspokojují diferenciální rovnici prvního řádu

který každý bod dává zahrnutí, které prochází přes integrální křivku.

Pokerové body.

Definice 24.2. Bod fázového letadelového systému (24.6) běžný bodPokud není diferencovat a neplatí současně na nulu; Prostřednictvím každého obyčejného bodu je jedna fázová trajektorie. Nazývá se bod zvláštní bod, pokud.

Komentář. Speciální tečky jsou klasifikovány povahou fázových trajektorií v okolí.

Studie pro stabilitu některých systémových řešení (24.1) může být snížena na studium triviálního řešení - body odpočinkuNachází se na začátku souřadnic, transformace systému na nové proměnné: - odchylky předchozích neznámých na řešení podle udržitelnosti. V nových proměnných se systém (24.1) má formulář:

Nejjednodušší typy odpočinku.

Prozkoumejte umístění trajektorií v okolí klidového bodu h. = 0, w. \u003d 0 Systémy dvou lineárních homogenních rovnic s konstantním koeficienty:

kde. (24.9)

Charakteristická rovnice má formulář:

Zvažte různé sady kořenů této rovnice:

1) k 1. a k 2. Platný a jiný. Obecné řešení systému (24.9) lze nastavit následovně: . V tomto případě jsou možné následující případy:

a pokud k 1.< 0 I. k 2. < 0, то точка покоя асимптотически устойчива, так как , и все точки, находящиеся в начальный момент t \u003d t 0 V každém Δ - sousedství původu, s dostatečně velkým t. Jděte do bodů ležících v libovolně malém ε - sousedství původu souřadnic, a když se snaží o začátek souřadnic. Takový mír míru se nazývá udržitelné uzly.

Jak vyřešit systém diferenciálních rovnic?

Předpokládá se, že čtenář je již dobře schopen řešit diferenciální rovnice, zejména jednotné rovnice druhé objednávky a nehomogenní rovnice druhé objednávky s konstantními koeficienty. V systémech diferenciálních rovnic není nic složitého, a pokud se s jistotou rozvíjejí s výše uvedenými typy rovnic, pak vývoj systémů nebude velmi obtížné.

Existují dva hlavní typy systémů diferenciálních rovnic:

- lineární homogenní systémy diferenciálních rovnic
- lineární nehomogenní systémy diferenciálních rovnic

A dva základní způsoby, jak vyřešit systém diferenciálních rovnic:

- metoda výjimka. Podstata způsobu je, že během řešení je systém snížen na jednu diferenciální rovnici.

- Použití charakteristické rovnice (Tzv. Euler metoda).

V ohromující většině případů je systém diferenciálních rovnic vyžadován k vyřešení prvního způsobu. Druhou cestou v podmínkách úkolů je mnohem méně časté, pro celou praxi jsem ji vyřešil ze síle 10-20 systémů. V posledním odstavci tohoto článku však bude také stručně zvážit.

Okamžitě se omlouvám za teoretickou neúplnost materiálu, ale obrátil jsem se na lekci pouze ty úkoly, které se mohou skutečně setkat v praxi. Co dělá Meteorite deště časy v pětiletém plánu, je nepravděpodobné, že byste zde nalezli, a s takovým zbytečným, měli byste kontaktovat specializované cihly na difuzory.

Lineární homogenní systémy diferenciálních rovnic

Nejjednodušší homogenní systém diferenciálních rovnic je následující:

Ve skutečnosti jsou téměř všechny praktické příklady takového systému omezeny \u003d)

Co je tam?

- Jedná se o čísla (numerické koeficienty). Nejčastější čísla. Zejména jeden, několik nebo dokonce všechny koeficienty mohou být nulové. Ale takové dary zřídka zřídka, takže čísla nejsou nejčastěji rovna nule.

A - to jsou neznámé funkce. Jako nezávislá proměnná je proměnná "jako když X je v obvyklé diferenciální rovnici."

A - první deriváty neznámých funkcí a odpovídajícím způsobem.

Co to znamená vyřešit systém diferenciálních rovnic?

To znamená najít takový a které splňují a první a druhý Systémová rovnice. Jak vidíte, princip je velmi podobný obyčejný Systémy lineárních rovnic. Pouze tam jsou kořeny jsou čísla a zde jsou funkce.

Nalezena odpověď je zaznamenána jako obecné řešení systému diferenciálních rovnic:

V kudrnatých závorkách! Tyto funkce jsou "v jednom postroji".

Pro systém můžete vyřešit Cauchyho úkolu, to je, najít Řešení soukromého systémusplnění stanovených počátečních podmínek. Řešení soukromého systému je také zaznamenáno s kudrnatými závorkami.

Kompaktní systém může být přepsán takto:

Ale na cestách je řešení tradičně běžnější s deriváty namalovanými v diferenciálech, takže okamžitě zvykněte si na následující notaci:
a - deriváty prvního řádu;
A - deriváty druhé objednávky.

Příklad 1.

Vyřešit problém Cauchy pro systém diferenciálních rovnic s počátečními podmínkami.

Rozhodnutí: V úkolech se systém nejčastěji vyskytuje s počátečními podmínkami, takže téměř všechny příklady této lekce budou s Cauchyho úkolem. To však není důležité, protože obecné rozhodnutí v průběhu záležitosti bude stále musí najít.

Řešení systému metoda výjimka. Připomínám vám, že podstatou metody je snížit systém na jednu diferenciální rovnici. A diferenciální rovnice, doufám, že se rozhodnete dobře.

Algoritmus Řešení Standine:

1) bere. druhá systémová rovnice A vyjádřit z ní:

Tato rovnice bude zapotřebí blíže ke konci rozhodnutí a budu ho informovat s hvězdami. V učebnicích se stane, 500 označení tlačí, a pak se podívejte na: "Podle vzorce (253) ..." a hledejte tento vzorec někde po 50 stranách odezadu. Omezím stejnou značku (*).

2) Rozlišování obou částí získané rovnice:

S "tahy" proces vypadá takto:

Je důležité, aby tento jednoduchý okamžik pochopil, pak se na to nezastavím.

3) náhrada a V první rovnici systému:

A provádět maximální zjednodušení:

Nejčastější jednotná rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. S "tahy" je to zaznamenáno takto: .

- Získávají se různé platné kořeny, takže:
.

Jeden z funkcí je nalezen, podlaha je pozadu.

Ano, všimněte si, že máme charakteristickou rovnici s "dobrým" diskriminaci, a proto jsme nic netlačili v náhradě a zjednodušení.

4) Jdeme na funkci. K tomu vezmeme již nalezenou funkci. A najdeme jeho derivát. Rozlišování:

Náhradní a v rovnici (*):

Nebo krátké:

5) Obě funkce jsou nalezeny, zapište si obecné řešení systému:

Odpovědět: Soukromé řešení:

Výsledná odpověď je poměrně snadná kontrola, zkontrolujte tři kroky:

1) Zkontrolujte, zda jsou hodnotné počáteční podmínky pravdivé:

Provádí se obě počáteční podmínky.

2) Zkontrolujte, zda odpověď zjistila, že první rovnice systému splňuje.

Vezměte odpověď z odpovědi A zjistíme, že je odvozen:

Náhradní , I. V první rovnici systému:

Získá se spolehlivá rovnost, což znamená, že odpověď zjistila, splňuje první rovnici systému.

3) Zkontrolujte, zda reakce uspokojuje druhou rovnici systému

Funkci z odpovědi a najít to odvozené:

Náhradní , I. Ve druhé rovnici systému:

Získá se spolehlivá rovnost, což znamená, že odpověď zjištěná splňuje druhou rovnici systému.

Kontrola dokončena. Co je ověřeno? Zkontroloval provedení počátečních podmínek. A co je nejdůležitější, skutečnost, že nalezené soukromé řešení je zobrazeno Uspokojit ke každému Rovnice původního systému .

Podobně můžete zkontrolovat a obecné rozhodnutí Kontrola bude ještě kratší, protože není nutné zkontrolovat provedení počátečních podmínek.

Nyní se vrátíme do rozbitého systému a zeptejte se několika otázek. Řešení se začalo takto: vzali jsme druhou rovnici systému a vyjádřili z něj. A bylo možné vyjádřit ne "X", a "Igarek"? Pokud to vyjadřujeme, nedává nám nic - v tomto výrazu napravo je oba "Igrek" a "IX", takže nebudeme schopni zbavit se proměnné a snížit řešení systému, aby se vyřešil jedna diferenciální rovnice.

Otázkou je druhá. Je možné začít rozhodnutí ne z druhé, ale z první rovnice systému? Umět. Podíváme se na první rovnici systému :. Máme dvě "Iksa" a jeden "Igrek", takže je nutné vyjádřit přísně "Igrek" přes "Xers": . Další je první derivát: . Pak byste měli nahradit a Na druhé rovnici systému. Řešení bude zcela ekvivalentní, s rozdílem, který nejprve vyhledáváme funkci a pak.

A jen druhý způsob bude existovat příklad samohodnotný:

Příklad 2.

Najděte si soukromé řešení systému diferenciálních rovnic, které splňují stanovené počáteční podmínky.

Ve vzorku roztoku, který je uveden na konci lekce, je vyjádřen z první rovnice A celý tanec začíná tímto výrazem. Vyzkoušejte se na položky, abyste mohli držet zrcadlové rozhodnutí bez pohledu do vzorku.

Můžete jít a podle příkladu číslo 1 - od druhé rovnice pro vyjádření (Všimněte si, že je to "X") vyjádřit. Tato metoda je však méně racionální, z toho důvodu, že máme zlomek, který není zcela pohodlný.

Lineární nehomogenní systémy diferenciálních rovnic

Téměř stejné, pouze rozhodnutí bude poněkud déle.

Nehomogenní systém diferenciálních rovnic, které ve většině případů se s vámi může setkat v úkolech, má následující formulář:

Ve srovnání s homogenním systémem v každé rovnici se dodatečně přidá nějaká funkce v závislosti na "te". Funkce mohou být konstanty (a alespoň jeden z nich není nula), vystavovatelé, sinus, cosine atd.

Příklad 3.

Najděte si soukromé řešení lineárního systému systému, který splňuje zadané počáteční podmínky.

Rozhodnutí: Lineární nehomogenní systém diferenciálních rovnic, konstanty působí jako "aditiva". Použitím metoda výjimkaVe stejné době, algoritmus samotných řešení je plně uložen. Pro odrůdu začnu jen s první rovnicí.

1) Od první rovnice systému vyjádříme:

To je důležitá věc, takže to znovu spustím. Konzoly nejsou lepší nezveřejňovat, proč je zbytečná frakce?

A ještě jednou všimněte, že z první rovnice je to "Igrek" - přes dvě "Iksa" a konstantní.

2) Rozlišování na obou částech:

Konstanta (trojika) zmizela kvůli skutečnosti, že konstantní derivát je nula.

3) náhrada a Ve druhé rovnici systému :

Bezprostředně po substituci se doporučuje zbavit frakcí, pro tuto část rovnice se vynásobí 5:

Nyní jsme zjednodušeni:

V důsledku toho obdržel lineární nehomogenní rovnice druhé řádu s konstantními koeficienty. To je ve skutečnosti a veškerý rozdíl od řešení homogenního systému rovnic demontovaných v předchozím odstavci.

Poznámka: Nicméně, homogenní rovnice může být někdy v nerovnoměrném systému.

Najděte obecné řešení odpovídající homogenní rovnice:

Rozhodneme také charakteristickou rovnici:

- Získá se kořeny konjugovaných komplexních kořenů:
.

Kořeny charakteristické rovnice se opět ukázaly být "dobré", to znamená, že jsme na správné cestě.

Soukromé řešení nehomogenní rovnice hledá ve formě.
Najděte první a druhý derivát:

Nahračit levou část heterogenní rovnice:

Takto:

Je třeba poznamenat, že soukromé řešení je snadno vybráno perorálně a je poměrně přijatelné místo dlouhého výpočtu psát: "Je zřejmé, že soukromé řešení heterogenní rovnice:".

Jako výsledek:

4) Hledáme funkci. Nejprve najdeme derivát z již nalezené funkce:

Není to příliš příjemné, ale takové deriváty v difuzorech musí často najít.

Storm v plném proudu, a teď bude devátý strom. Svázat lano k palubě.

Náhradní
a v rovnici (*):

5) Systém obecného řešení:

6) Najdeme soukromé řešení, které splňuje počáteční podmínky:

Konečně, soukromé řešení:

Vidíte, jaký příběh se šťastným koncem, můžete nyní plavat od lodí na klidném moři pod mírným sluncem.

Odpovědět: Soukromé řešení:

Mimochodem, pokud začnete vyřešit tento systém z druhé rovnice, výpočty zpochybnit výrazně jednodušší (můžete vyzkoušet), ale mnoho návštěvníků stránek požádal, aby rozebral obtížnější věci. Jak můžete odmítnout? \u003d) Nechte existovat vážnější příklady.

Příklad je jednodušší pro nezávislé řešení:

Příklad 4.

Najít vlastní řešení lineárního nehomogenního systému diferenciálních rovnic odpovídající počátečním podmínkám

Tento úkol Vyřešena podle vzorku příkladu č. 1, tj. "X" je vyjádřen z druhé rovnice. Řešení a odpověď na konci lekce.

V úvažených příkladech jsem nepoužil náhodně používat různá označení, aplikovaná různá řešení. Například deriváty ve stejném úkolu byly zaznamenány třemi způsoby :. \\ T Ve vyšší matematice se nemusíte bát všeho, co je nejdůležitější, pochopit algoritmus řešení.

Metoda charakteristické rovnice (Eulerova metoda)

Jak již bylo uvedeno na začátku článku, s využitím charakteristické rovnice, systém diferenciálních rovnic vyžadují vyřešeny zřídka zřídkakdy, tedy v závěrečném odstavci, zvážím pouze jeden příklad.

Příklad 5.

Dana lineární homogenní systém diferenciálních rovnic

Najít obecné řešení systému rovnic pomocí charakteristické rovnice

Rozhodnutí: Díváme se na systém rovnic a tvoří determinant druhého řádu:

Podle kterého principu je determinant vypracován, myslím, že každý může vidět.

Proveďte charakteristickou rovnici z každého čísla, které je umístěno hlavní diagonála, Dedukujte nějaký parametr:

Při dokončení, samozřejmě byste měli okamžitě napsat charakteristickou rovnici, podrobně vysvětlím, následovat kroky, které by bylo jasné, od čeho pocházelo.

Odhalit determinant:

A najít kořeny čtvercové rovnice:

Pokud má charakteristická rovnice dva různé platné kořenyCelkové řešení systému diferenciálních rovnic je:

Koeficienty v exponentních ukazatelích jsou již známy, že je to zjistit faktory

1) Zvažte kořen a nahrazujte jej v charakteristické rovnici:

(Tyto dvě determinanty na prvním konci mohou být také zaznamenány, ale okamžitě ústně zkompilovat systém níže)

Z počtu determinant budeme dělat systém dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými:

Následuje rovnice, jedna a stejná rovnost:

Teď musíte vyzvednout nejméně Hodnota je tak, že hodnota byla celá. Samozřejmě byste se měli zeptat. A pokud pak

(SODA), což je lineární homogenní s konstantními koeficienty, má následující typ: $ Left (Začátek (pole) (C) (Y "_ (1) \u003d A_ (11) CDOT Y_ (1) + A_ (12) cdot y_ (2) + ldots + a_ (1n) cdot y_ (n)) (y "_ (2) \u003d a_ (21) cdot y_ (1) + a_ (22) CDOT Y_ (2) + LDOTS + A_ (2N) CDOT Y_ (n)) \\\\\\ (ldots) (y "_ (n) \u003d a_ (n1) cdot y_ (1) + a_ ( n2) cdot y_ (2) + ldots + a_ (nn) cdot y_ (n)) \\ end (array). $.

Zde $ y_ (1) vlevo (x vpravo),; y_ (2) vlevo (x vpravo),; ldots,; y_ (n) vlevo (x vpravo) $ - požadované funkce nezávislé proměnné $ x $, koeficienty $ a_ (jk),; 1 Le J, K LE N $ - Nastavení platných čísel.

Pro vyřešení sody tohoto druhu je metoda vyloučení spočívá v transformaci do jedné diferenciální rovnice (db) $ n $ -to objednávku, což pak vyřeší některý ze známých metod.

Úkol 1.

Řešení $ Left (Začátek (pole) (C) (Frac (DY_) (C) (DX) \u003d 2 CDOT Y_ (1) + Y_ (2)) (Frac (DY_ (2) ))) (DX) \u003d 3 CDOT y_ (1) +4 cdot y_ (2)) \\ end (array) vpravo. $.

Krok 1. Od první rovnice nalezneme $ y_ (2) $: $ y_ (2) \u003d frac (dy_ (1)) (dx) -2 cdot y_ (1) $.

[Frac (DY_ (2)) (DX) \u003d 3 CDOT Y_ (1) +4 CDOT levý (Frac (DY_ (DY_ (1)) (DX) -2 CDOT Y_ (1) vpravo) ; FRAC (DY__) (DX) \u003d 4 CDOT FRAC (DY_ (1)) (DX) -5 CDOT Y_ (1).

Krok 3. Rozmanitost první rovnice na $ x $: $ frac (d ^ (2) y_ (1)) (dx ^ (2)) \u003d 2 \\ cdot frac (dy_ (1)) (dx) + \\ t Frac (Dy_ (2)) (DX) $.

[Frac (d ^ (2) y_ (1)) (dx ^ (2)) \u003d 2 cdot frac (dy_ (1)) (dx) +4 cdot frac (dy_ (1)) ( dx) -5 cdot y_ (1); Frac (D ^ (2) y_ (1)) (dx ^ (2)) -6 cdot frac (dy_ (1)) (dx) +5 cdot y_ (1) \u003d 0. ]

1. charakteristická rovnice $ k ^ (2) -6 cdot k + 5 \u003d 0 $;
2. kořeny charakteristické rovnice $ k_ (1) \u003d 1 $, $ k_ (2) \u003d 5 $ jsou platné, různé;
3. požadovaná funkce $ y_ (1) \u003d c_ (1) cdot e ^ (x) + c_ (2) cdot e ^ (5 cdot x) $.

1. derivát $ frac (dy_ (1)) (dx) \u003d c_ (1) cdot e ^ (x) +5 cdot c_ (2) cdot e ^ (5 cdot x) $;

\

Obecné řešení tohoto systému:

Úloha 2.

Vyřešit systém du

$ levic (začít (pole) (c) (frac (frac (dy_ (1)) (dx) \u003d 3 cdot y_ (1) -y_ (2)) (frac (dy_ (2)) (DX) \u003d 4 CDOT y_ (1) -y_ (2)) \\ end (array). $.

Systém vyřeší výjimku neznámé funkce $ y_ (2) $.

Krok 1. Od první rovnice najdeme $ y_ (2) $: $ y_ (2) \u003d - frac (dy_ (1)) (dx) +3 cdot y_ (1) $.

Krok 2. Nahradíme $ y_ (2) $ na druhou rovnici:

[Frac (DY_ (2)) (DX) \u003d 4 CDOT Y_ (1) + FRAC (DY_ (1)) (DX) -3 CDOT Y_ (1); Frac (DY_ (2)) (DX) \u003d FRAC (DY_ (1)) (DX) + y_ (1).

Krok 3. Rozmanitost první rovnice na $ x $: $ Frac (DX (2) y_ (1)) (dx ^ (2)) \u003d 3 cdot frac (dy_ (1)) (dx) - frac (Dy_ (2)) (DX) $.

Krok 4. Expresi získaného v kroku 2 nahrazujeme v expresi získaném v kroku 3:

[Frac (D ^ (2) y_ (1)) (dx ^ (2)) \u003d 3 cdot frac (dy_ (1)) (dx) - frac (dy_ (1)) (dx) - y_ (1); Frac (d ^ (2) y_ (1)) (dx ^ (2)) -2 cdot frac (dy_ (1)) (dx) + y_ (1) \u003d 0. ]

Krok 5. Řešíme lineární homogenní du druhého řádu s konstantními koeficienty:

1. charakteristická rovnice $ k ^ (2) -2 cdot k + 1 \u003d 0 $;
2. kořeny charakteristické rovnice $ k_ (1) \u003d 1 $, $ k_ (2) \u003d 1 $ jsou platné stejné;
3. požadovaná funkce $ y_ (1) \u003d c_ (1) cdot e ^ (x) + c_ (2) cdot x cdot e ^ (x) $.

Krok 6. Najděte funkci $ y_ (2) $:

1. derivát $ frac (dy_ (1)) (dx) \u003d c_ (1) cdot e ^ (x) + c_ (2) cdot vlevo (e ^ (x) + x cdot e ^ (x) \\ t Vpravo) $;
2. výsledek substituce exprese získané v kroku 1:

[\u003d - c_ (1) cdot e ^ (x) -c_ (2) cdot e ^ (x) -c_ (2) cdot x cdot e ^ (x) +3 cdot c_ (1) ) CDOT E ^ (x) +3 cdot c_ (2) cdot x cdot e ^ (x) \u003d \\] [\u003d 2 cdot c_ (1) cdot e ^ (x) -c_ (2) ) Cdot e ^ (x) +2 cdot c_ (2) cdot x cdot e ^ (x).

Obecné řešení tohoto systému:

Úkol 3.

Řešení $ Left (Začátek (pole) (C) (Frac (DY_) (C) (DX) \u003d y_ (1) -3 cdot y_ (2)) (frac (2) ))) (DX) \u003d 3 CDOT Y_ (1) + y_ (2)) \\ end (pole) vpravo. $.

Systém vyřeší výjimku neznámé funkce $ y_ (2) $.

Krok 1. Od první rovnice najdeme $ y_ (2) $: $ y_ (2) \u003d frac (1) (3) \\ cdot vlevo (- frac (frac (dy_ (1)) (dx) + y_ ( 1) vpravo) $.

Krok 2. Nahradíme $ y_ (2) $ na druhou rovnici:

[Frac (DY_ (2)) (DX) \u003d 3 CDOT Y_ (1) + FRAC (1) (3) \\ CDOT vlevo (- Frac (DY_ (1)) (DX) + y_ ( 1) vpravo); Frac (dy_ (2)) (dx) \u003d - frac (1) (3) cdot frac (dy_ (1)) (dx) + frac (10) (3) cdot y_ (1). ]

Krok 3. Rozmanitost první rovnice pro $ X $: $ Frac (D ^ (2) Y_ (1)) (DX ^ (2)) \u003d Frac (DY_ (1)) (DX) -3 CDOT Frac (Dy_ (2)) (DX) $.

Krok 4. Expresi získaného v kroku 2 nahrazujeme v expresi získaném v kroku 3:

[Frac (D ^ (2) y_ (1)) (dx ^ (2)) \u003d frac (dy_ (1)) (dx) -3 \\ t vlevo (- frac (1) (3) Cdot Frac (DY_ (1)) (DX) + FRAC (10) (3) CDOT Y_ (1) vpravo); Frac (d ^ (2) y_ (1)) (dx ^ (2)) -2 cdot frac (dy_ (1)) (dx) +10 cdot y_ (1) \u003d 0. ]

Krok 5. Řešíme lineární homogenní du druhého řádu s konstantními koeficienty:

1. charakteristická rovnice $ k ^ (2) -2 cdot k + 10 \u003d 0 $;
2. kořeny charakteristické rovnice $ k_ (1) \u003d 1 + 3 cdot i $, $ k_ (2) \u003d 1-3 cdot i $ jsou složité;
3. požadovaná funkce $ Y_ (1) \u003d E ^ (X) CDOT vlevo (C_ (1) CDOT COS vlevo (3 \\ CDOT X vpravo) + c_ (2) \\ t Cdot x vpravo) vpravo) $.

Krok 6. Najděte funkci $ y_ (2) $:

1. derivát

$ Frac (dy_ (1)) (dx) \u003d e ^ (x) cdot vlevo (c_ (1) ces ces vlevo (3 \\ cdot x vpravo) + c_ (2) cdot hřích Levá (3 \\ CDOT X vpravo) vpravo) $ + [+ e ^ (x) cdot vlevo (-3 cdot c_ (1) \\ cdot hřích vlevo (3 \\ cdot x +3 CDOT C_ (2) CDOT COS vlevo (3 \\ CDOT X vpravo);

2. výsledek substituce exprese získané v kroku 1:
[+ Frac (1) (3) CDOT E ^ (x) CDOT vlevo (3 \\ CDOT C_ (1) Cdot Sin Left (3 \\ CDOT X vpravo) -3 CDOT (2) CDOT ces vlevo (3 \\ cdot x vpravo) vpravo) +] [+ frac (1) (3) cdot e ^ (x) Cdot ces vlevo (3 \\ cdot x vpravo) + c_ (2) cdot s hříchem levý (3 \\ cdot x vpravo) vpravo) \u003d \\] [\u003d e ^ (x) cdot \\ t Vlevo (c_ (1) cdot hřích vlevo (3 \\ cdot x vpravo) -C_ (2) ces vpravo (3 \\ cdot x vpravo).

Obecné řešení tohoto systému:

Lineární systémy normálního formuláře jsou zvažovány, kde A (- - všechna čísla, A /, (*) - známé funkce. V neznámém vektoru záznamu, A / (*) je známý vektorová funkce, A - jakákoliv trvalá matrice. Takový Systémy jsou často nalezeny a v teorii diferenciálních rovnic a aplikací. Obecné řešení takového systému v případě f (t) \u003d 0 je vždy exprimován prostřednictvím elementárních funkcí. Takové systémy jsou proto často používány ke studiu více Komplexní systémy v blízkosti rovnovážné polohy. V aplikacích se zdají být například při výuce pohybu v mechanických systémech s několika stupněmi svobody a při popisu proudů v rozvětvených elektrických obvodech. Odstraním neznámého systému, je možné snížit jeden nebo Další rovnice s jednou neznámou funkcí v každém. Pro to vyjadřujeme jeden neznámý od zbytku a nahrazujeme zbývající systémové rovnice. Dostáváme systém s menším počtem neznámého. S ním můžete udělat podobně. Tato metoda Je vhodné pro řešení pouze jednoduchých systémů. Lineární systémy S permanentními koeficienty i příkladem 20. Vyřešte systémový roztokový systém. Vylučuji. Z první rovnice máme y \u003d x "- t. Nahrazení do druhé rovnice, získáme. Tato rovnice vyřešíme podle § 11. Nacházíme se. Takže 1 2. | Řešení systému x" \u003d Ah (x 6 RN) V případě, kdy má matrice procedura P lineárně nezávislé vlastní vlastnosti. Tak bude v případech, kdy nebo det rovnice (sekera) \u003d 0 nemá více kořenů A, nebo pro každý více kořenů L, stupeň matice A - E se rovná P-K, kde K je Multiplicita tohoto kořene (od rovnice (A - XE) v \u003d 0 pro EigenValues \u200b\u200bV, má lineární nezávislá řešení). Nechť je jejich vlastní význam, V je jeho vlastní vektor matrice A. Potom X \u003d EMV je konkrétní řešení rovnice X1 \u003d Ah as. Pokud jsou vaše vlastní vektory VX, ..., VN je lineárně nezávislý, máme řešení. Jsou lineárně nezávislé, protože jejich vrosanic w f 0 při t \u003d 0 (jeho sloupce VL, ..., vn je lineárně nezávislý). V důsledku toho má obecné řešení systému X * \u003d AH formulář - libovolná konstanta. LEMMA 9. Je-li A (\u003d A + PI (FI F 0) EigenValue skutečné matrice A, A VL \u003d ("(" ("(... - Vlastní vektor pro A1 #, pak AJ \u003d X (\u003d A - PI - vlastní význam, v2 \u003d v1 \u003d (v), ..., - vlastní vektor pro A2. Pro skutečné XP lze svůj vlastní vektor podniknout skutečný. Důkaz. Máme AV (\u003d A ^ 1. Rovnost se nerozbije , jíst v něm X (a koordinuje vektor V1 je nahrazen konjugátem: AVL \u003d AJT; 1, to znamená, že souřadnice vlastního vektoru jsou určeny ze systému a reálných koeficientů, takže vektor v může vzít Skutečným řešením systému X "\u003d AH se skutečnou matricí A může být vyjádřeno prostřednictvím reálných funkcí. Pro to je nutné vzít takové vlastní vektory jako v Lemma 9, a pak vyměnit každý pár komplexních konjugovaných roztoků X1 \u003d EALV, X2 \u003d EXLTV2 pár reálných roztoků jako C. Získáme skutečný základní systém řešení a vyjadřujeme obecný dopad. I Příklad 21. Řešení řešení tohoto příkladu. Doplňte se a Řešíme charakteristickou rovnici lineární systémy s konstantními koeficienty pro nalezení vlastního vektoru (^ j Můžete si vzít konkrétní řešení řešení tohoto systému, jsou skutečné a imaginární části tohoto konkrétního řešení: J řešení v obecném případě. Systém zjednodušujeme, přinášet matici A na nejjednodušší formu - Jordanova. Je známo, že pro jakoukoliv čtvercovou matrici, a tam je taková non-singulární matrice s tím, že matrice b \u003d C ~ [AC - Jhordanova, to znamená, že Ki buňky mohou být jakékoliv velikosti; Každá buňka na celé diagonální je stejný počet AF a v různých buňkách A (může být odlišná nebo stejná. Od té doby, matice s "1 AC a L mají stejnou charakteristickou rovnici, což znamená stejné kořeny a ^ se stejnými násobky. Do systému w" \u003d Ah používáme lineární konverzi souřadnic X \u003d suh, kde je matrice se stejným způsobem jako výše. Dostáváme násobení vlevo na "1, máme, tj. Matice B - Jhordanov. Pokud má první buňka velikosti na X K, druhý je 1x1 atd., Poté v prvním systému systémových rovnic , "\u003d Pouze neznámým lidem p ..., Y *, v následujících I rovincích - pouze neznámý YT + 1, ..., trestní zákoník + 1 atd. To znamená, že systém se rozpadne na subsystému, z nichž každý může být vyřešen odděleně. První podsystém má formulář (kde A \u003d X () Ostatní subsystémy se liší pouze v číslech X a K. Nahrazením, získáváme řešení tohoto systému, počínaje poslední rovnicí, zjistíme násobení na ex, T, získáme rozhodnutí z prvního subsystému, toto řešení je obecné, protože se získá z rovnic (73) s identickými transformacemi. Roztoky jiných subsystémů mají podobnou formu, pouze číslo k \u003d k- a libovolné konstanty CF- se liší (Lou - Číslo A v buňce J-ft, K je jeho velikost). Sbírání řešení všech subsystémů, dostaneme celkové řešení celého systému v "\u003d podle. návratu z Y do Z, na základě (72) my dostat takový výsledek. Většina 16 * Obecné řešení X "\u003d Ah je vektorová funkce; která má každý souřadnicový XI pohled, kde Ar .., AT - Různé vlastní hodnoty matrice A, algebraické polynomiální, stupeň což je 1 méně velikosti Největší Jordánské buňky obsahující; Koeficienty polynomů ^ (t) ("\u003d 1, ..., n; J \u003d 1, ..., M) závisí na své libovolné konstanty. Řešení specifického systému X "\u003d Ah lze získat bez přivedení matrice A do Jordánské formy. Pro to je nutné najít všechny vlastní hodnoty matice L matice a z detové rovnice (AE) - 0. Pro každého, Je nutné nalézt počet lineárních nezávislých vlastních vlastností. Podle vzorce T \u003d P-R, kde P je pořadí matrice A - HE9 G - jeho pozice. V případě T \u003d KU, kde k je multiplicita z kořene A, tento kořen odpovídá řešení, kde b!, ..., B * - lineárně nezávislé vlastní vektory. Pokud je matrice A skutečný, musíte použít Lemma 9 a řekl po něm. V případě T, je nutné hledat roztok X \u003d (жр ..., XP) T ve formě, kde 8 \u003d K - GG. Substartování těchto výrazů s koeficienty písmene A, B, ... v tomto systému, Snížení na E ^ a srovnávání koeficientů s podobnými členy získáme lineární systém algebraické rovnice Najít čísla A, B, .... je nutné najít obecné řešení tohoto systému, v závislosti na libovolných konstantách. (Všimněte si, že v případě K ^ 4 jsou všechny seniorské koeficienty v polynomech někdy rovny nule, ale nebrání řešení pro nalezení řešení.) Po provedení tohoto pro každou A a vytváření nalezených řešení, získáme Obecné řešení systému. Pokud je matrice skutečná, pak stačí udělat popsané pouze pro reálné kořeny a pro jeden z každého z každého z každého z každého ze všech komplexních konjugovaných kořenů A \u003d A ± PI (Rf 0) a z získaného roztoku, vezměte si skutečný a imaginární části. Například z roztoku X1 \u003d (CJ + C2T), ELT získá dvě roztoky: U1 \u003d Re XX - (CJ + CJT) COS T a U2 \u003d (C3 + CAT) SIN T s novým trvalým CJ, C4. (Zdůvodnění této metody vyžaduje podrobná analýza a uvedený v § 34.) I Příklad 22. Vyřešte systém příkladu. Představujeme a řešíme charakteristickou rovnici pro jednoduchý kořen A \u003d -2 najdeme váš vlastní vektor (A, P, 7), lze odebrat a \u003d p \u003d 2, 7 \u003d -2. Máme soukromé řešení pro více kořenů L2 3 \u003d 1 Najdeme hodnost matice A - XE, počet m bude hrát vektory a titul v polynomu: Hledáme řešení ve formě, kterou to nahradáme Tento systém a snížení E *. Srovnáváme koeficienty s podobnými členy, počínaje staršími: je nutné najít obecné řešení tohoto systému. Záření kořene L \u003d 1 je 2, takže každý neznámý A, B, ... musí být vyjádřen ve dvou z nich (ještě neví, skrze to). Z prvních tří rovnic, máme b \u003d d \u003d 2d. Nahrazení do zbývajících rovnic, získáme všechny neznámé, lze vyjádřit přes konec. My máme. Mít věřit d \u003d cj, c \u003d cj, dostaneme. Substituce to v (77) a přidání soukromého řešení (76), vynásobené SU, abychom získali obecné řešení systému: lineární nehomogenní systémy s konstantními koeficienty. Roztok takového systému může být vždy získáno variací trvalého (článku 5 § 9). Používá integraci. V případě, že v případě, kdy jsou nehomogenitáty F ((t) v systému (70) vyjádřeny pouze přes množství a díla funkcí bankomatu, E7 *, COS / 3 *, hříšná fit, konkrétní systémové řešení může být nalezen bez integrace - metodou nejistých koeficientů, jak je ukázáno níže. Protože roztok X "\u003d AH + FL (T) + ... + fr (t) se rovná součtu roztoků systémů (XJ) ) "\u003d AXJ + FJ (T) (J \u003d 1, ..., D) a didiny a cosiny podle Eulerových vzorců jsou vyjádřeny prostřednictvím orientačních funkcí, což stačí indikovat typ konkrétního řešení systému x "\u003d Ah + Rf7 *, kde p (t) - AMTM + AM_XTM ~ X + ... + A0; JSC" "na vektorech. Tímto způsobem s tímto systémem stejnou konverzí, která v odstavci 3 s X1 \u003d Ah Systém, dostaneme namísto (74) systému, kde P * (£) je polynomy, které nejsou vyšší než t. Z tohoto Sibemu jsme konzistentně najít ZK, ZK_V .., ZX. Jsou možné dva případy. Pokud je 7 AF 0, pak JPL (t) EB- "DT \u003d Q, kde QL (T) je polynom z nich, který zde a další konstantní integraci předpokládáme, že se jedná o stejnou nulou, protože hledají soukromé řešení. Podobně z k_v ..., z (. Získáme * kde q * (t) není vyšší než stupně. Pokud je 7 l \u003d 0, pak £ 1 a pokaždé, když je integrován pouze polynomem. Jeho stupeň se zvyšuje z tohoto 1. Po stupni integrace se zvyšuje na K. Takže v tomto případě, kde Q * (t) není vyšší než T + K. Vrácení z funkcí Z- do (a pak do X- , Získáme, že systém má konkrétní řešení druhu, kde Q ^ t) je polynomem stupně, který není vyšší než t, pokud se neshoduje s žádným z kořenů a stupněm, který není vyšší než m + fy, pokud 7 Shoda s kořenem A ^. ; Číslo k-, rovný velikosti největších jordánských buněk obsahujících a; V důsledku toho je KJ 1 více než největší stupeň polynomů vynásobených ex "g v celkovém řešení homogenního systému. I příklad 23. Řešení systému IL příkladu. Obecné řešení homogenního systému byl získán v příkladu 21, zde A. 2 \u003d 2 ± i. Pro nehomogenity 4 v COS * čísla 7 \u003d 2I7 \u003d 2 + t jsou různé, takže potřebujete vyřešit dva systémy pro systém (79) 7 \u003d 2 ^ A; proto soukromý roztok. Substituce v (79), najdeme a \u003d b \u003d c \u003d 1, d \u003d 0. Takže v systému (80) nahrazení 4E2 * cos $ na 4e * 2 + | ^. Číslo 4 je považováno za polynom stupně 0. Od 7 \u003d 2 + I \u003d A, K \u003d 1 se stupeň polynomu zvyšuje na 1 a nahrazuje do systému s vyřazeným re získáváním závislých rovnic, řešení jsou hodně. Vyrzáváme soukromé řešení, Obecné řešení systému X \u003d X0 + X (+ Z2, Y \u003d Y0 + Y2 + U2 *, kde ZH0, U0 - roztok homogenního systému (příklad 21), a X (, Y, X2, U2 nalezeny zde. Úkoly pro cvičení: lineární systémy s konstantními koeficienty I systém rovnic, které nejsou uvedeny normální formě Konverzace jiné než vlastnosti tvarových systémů (70). Podle § 11 všech řešení jsou lineární kombinace roztoků druhu x \u003d r (t) ext, y \u003d s (f) em, kde l je jakýkoliv kořen charakteristické rovnice - polynomy, jehož stupně je menší než Multiplicita do kořenového kořene A (Pokud L \u003d 1, sčítání * - čísla), polynomy lze nalézt metodou nejistých koeficientů. Podobně jsou řešeny systémy tří nebo více rovnic. Viz úkoly v § 14, b »Existuje mnoho způsobů, jak řešit lineární systémy s konstantními koeficienty. Pokud nejen čísla A, ale také základ, ve kterých má matice A forma Jordánsko, pak řešení systému X "\u003d AH je napsáno explicitně (věta 11;, § 14, odstavec. Provozní metoda řešení Lineární rovnice a systémy s konstantními koeficienty jsou uvedeny v § 24. Podmínky pro existenci periodického roztoku systému X1 \u003d AH 4-F (T) jsou známy s periodickou vektorovou funkcí F (t) (, CH. 4, §7, odstavce).