Teoria metodei Kramer și Gauss. Metoda lui Kramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

Să considerăm un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute

Folosind determinanți de ordinul al treilea, soluția unui astfel de sistem poate fi scrisă în aceeași formă ca și pentru un sistem de două ecuații, i.e.

(2.4)

dacă 0. Aici

Este regula lui Cramer soluții ale unui sistem de trei ecuații liniare în trei necunoscute.

Exemplul 2.3. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind regula lui Cramer:

Soluţie ... Aflați determinantul matricei principale a sistemului

Deoarece 0, putem aplica regula lui Cramer pentru a găsi o soluție la sistem, dar mai întâi vom calcula încă trei determinanți:

Examinare:

Prin urmare, soluția a fost găsită corect. 

Regulile lui Cramer obținute pentru sistemele liniare de ordinul 2 și 3 sugerează că aceleași reguli pot fi formulate pentru sistemele liniare de orice ordin. Chiar are loc

Teorema lui Cramer. Sistem pătratic de ecuații liniare cu un determinant diferit de zero al matricei principale a sistemului (0) are una și o singură soluție, iar această soluție se calculează prin formule

(2.5)

Unde  – determinant al matricei principale,  i – determinant al unei matrice, derivat din principal, înlocuitoria-a coloană după coloana membrilor liberi.

Rețineți că dacă  = 0, atunci regula lui Cramer nu se aplică. Aceasta înseamnă că sistemul fie nu are deloc soluții, fie are infinite de soluții.

După ce a formulat teorema lui Cramer, se pune în mod firesc întrebarea de a calcula determinanții de ordine superioară.

2.4. Determinanți de ordinul al n-lea

Minor suplimentar M ij element A ij se numeste determinant obtinut din data prin stergere i a linia și j a coloana. Complement algebric A ij element A ij se numește minorul acestui element, luat cu semnul (–1) i + j, adică A ij = (–1) i + j M ij .

De exemplu, găsiți minorii și complementele elementelor A 23 și A 31 de factori determinanți

Primim

Folosind conceptul de complement algebric, putem formula Teorema de descompunere a determinantuluina-a ordine după rând sau coloană.

Teorema 2.1. Determinant al unei matriceAeste egală cu suma produselor tuturor elementelor unui anumit rând (sau coloană) prin complementele lor algebrice:

(2.6)

Această teoremă stă la baza uneia dintre principalele metode de calculare a determinanților, așa-numitele. metoda de reducere a comenzii... Ca urmare a extinderii determinantului n-a ordine în orice rând sau coloană, obținem n determinanți ( n–1) ordinul. Pentru a reduce numărul de astfel de determinanți, este recomandabil să selectați rândul sau coloana cu cele mai multe zerouri. În practică, formula pentru extinderea determinantului este de obicei scrisă sub forma:

acestea. complementele algebrice sunt scrise explicit în termeni de minori.

Exemple 2.4. Calculați determinanții extinzându-i mai întâi în orice rând sau coloană. De obicei, în astfel de cazuri, selectați coloana sau rândul cu cele mai multe zerouri. Rândul sau coloana selectată va fi notat cu o săgeată.

2.5. Proprietățile de bază ale determinanților

Extinderea determinantului în orice rând sau coloană, obținem n determinanți ( n–1) ordinul. Apoi fiecare dintre acești determinanți ( n–1) -allea ordin poate fi extins și în suma determinanților ( n–2) ordinul. Continuând acest proces, se pot ajunge la determinanți de ordinul I, adică. la elementele matricei, al cărei determinant este calculat. Deci, pentru a calcula determinanții de ordinul 2, este necesar să se calculeze suma a doi termeni, pentru determinanții de ordinul 3 - suma a 6 termeni, pentru determinanții de ordinul 4 - 24 de termeni. Numărul de termeni va crește brusc pe măsură ce ordinea determinantului crește. Aceasta înseamnă că calculul determinanților de ordine foarte mare devine o sarcină destul de laborioasă, dincolo de puterea chiar și a unui computer. Cu toate acestea, este posibil să se calculeze determinanții într-un alt mod, folosind proprietățile determinanților.

Proprietatea 1 . Determinantul nu se va schimba dacă rândurile și coloanele sunt schimbate în el, de exemplu. când matricea transpusă:

.

Această proprietate indică egalitatea rândurilor și coloanelor determinantului. Cu alte cuvinte, orice afirmație despre coloanele determinantului este adevărată pentru rândurile sale și invers.

Proprietatea 2 . Determinantul își schimbă semnul atunci când două rânduri (coloane) sunt schimbate.

Consecinţă . Dacă determinantul are două rânduri (coloane) identice, atunci este egal cu zero.

Proprietatea 3 . Factorul comun al tuturor elementelor din orice rând (coloană) poate fi mutat dincolo de semnul determinantului.

De exemplu,

Consecinţă . Dacă toate elementele unui rând (coloană) a determinantului sunt egale cu zero, atunci determinantul în sine este egal cu zero.

Proprietatea 4 . Determinantul nu se va schimba dacă la elementele unui rând (coloană), se adaugă elementele altui rând (coloană), înmulțit cu un număr.

De exemplu,

Proprietatea 5 . Determinantul produsului matricei este egal cu produsul determinanților matricelor:

Fie că sistemul de ecuații liniare conține tot atâtea ecuații cât numărul de variabile independente, adică. are forma

Astfel de sisteme de ecuații liniare se numesc pătratice. Determinantul compus din coeficienții variabilelor independente ale sistemului (1.5) se numește determinant principal al sistemului. O vom desemna cu litera greacă D. Astfel,

Dacă determinantul principal este arbitrar ( j-a), înlocuiți cu coloana de termeni liberi ai sistemului (1.5), apoi putem obține alta n determinanti auxiliari:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

regula lui Cramer soluția sistemelor pătratice de ecuații liniare este următoarea. Dacă determinantul principal D al sistemului (1.5) este diferit de zero, atunci sistemul are o soluție unică, care poate fi găsită prin formulele:

Exemplul 1.5. Folosind metoda lui Cramer pentru a rezolva sistemul de ecuații

Să calculăm principalul determinant al sistemului:

De la D¹0, sistemul are o soluție unică, care poate fi găsită prin formulele (1.8):

Prin urmare,

Operații cu matrice

1. Înmulțirea unei matrice cu un număr. Operația de înmulțire a unei matrice cu un număr este definită după cum urmează.

2. Pentru a înmulți o matrice cu un număr, trebuie să înmulți toate elementele acesteia cu acest număr. Acesta este

Exemplul 1.6. .

Adăugarea de matrici.

Această operație este introdusă numai pentru matrice de același ordin.

Pentru a adăuga două matrice, este necesar să adăugați elementele corespunzătoare ale celeilalte matrice la elementele unei matrice:

(1.10)
Operația de adunare a matricelor are proprietăți de asociativitate și comutativitate.

Exemplul 1.7. .

Înmulțirea matricei.

Dacă numărul de coloane din matrice A se potrivește cu numărul de rânduri din matrice V, atunci se introduce operația de înmulțire pentru astfel de matrici:

Astfel, la înmulțirea matricei A dimensiuni m´ n pe matrice V dimensiuni n´ k obținem matricea CU dimensiuni m´ k... Mai mult, elementele matricei CU se calculează folosind următoarele formule:

Sarcina 1.8. Găsiți, dacă este posibil, produsul matricelor ABși BA:

Soluţie. 1) Pentru a găsi o muncă AB, aveți nevoie de rânduri matrice Aînmulțiți cu coloanele matricei B:

2) Opera de artă BA nu există, deoarece numărul de coloane din matrice B nu se potrivește cu numărul de rânduri din matrice A.

Matrice inversă. Rezolvarea matriceală a sistemelor de ecuații liniare

Matrice A - 1 se numește inversul matricei pătrate A dacă egalitatea este valabilă:

unde prin eu denotă matricea de identitate de același ordin ca și matricea A:

Pentru ca o matrice pătrată să aibă inversă, este necesar și suficient ca determinantul ei să fie diferit de zero. Matricea inversă se găsește prin formula:


Unde A ij- adunări algebrice la elemente a ij matrici A(rețineți că complementul algebric la rândurile matricei A sunt situate în matricea inversă sub forma coloanelor corespunzătoare).

Exemplul 1.9. Găsiți matrice inversă A - 1 la matrice

Găsim matricea inversă prin formula (1.13), care pentru cazul n= 3 are forma:

Găsiți det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Deoarece determinantul matricei originale este diferit de zero, matricea inversă există.

1) Aflați complementele algebrice A ij:

Pentru comoditatea găsirii matricei inverse, am plasat adunările algebrice la rândurile matricei originale în coloanele corespunzătoare.

Din complementele algebrice obținute, compunem o nouă matrice și o împărțim la determinantul det A... Astfel, obținem inversul matricei:

Sistemele pătratice de ecuații liniare cu un determinant principal diferit de zero pot fi rezolvate folosind o matrice inversă. Pentru aceasta, sistemul (1.5) este scris sub formă de matrice:

Înmulțirea ambelor părți ale egalității (1.14) din stânga cu A - 1, obținem soluția sistemului:

Astfel, pentru a găsi o soluție la un sistem pătrat, trebuie să găsiți matricea inversă a matricei principale a sistemului și să o înmulțiți în dreapta cu matricea coloanei de termeni liberi.

Sarcina 1.10. Rezolvați un sistem de ecuații liniare

folosind matricea inversă.

Soluţie. Să scriem sistemul sub formă de matrice:,

unde este matricea principală a sistemului, este coloana de necunoscute și este coloana de membri liberi. Deoarece principalul determinant al sistemului, matricea principală a sistemului A are o matrice inversă A-1 . Pentru a găsi matricea inversă A-1, calculăm complementele algebrice la toate elementele matricei A:

Din numerele obţinute, compunem o matrice (mai mult, completările algebrice ale rândurilor matricei A scriem în coloanele corespunzătoare) și o împărțim la determinantul D. Astfel, am găsit matricea inversă:

Găsim soluția sistemului prin formula (1.15):

Prin urmare,

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda excepțiilor obișnuite Jordan

Să fie dat un sistem arbitrar (nu neapărat pătratic) de ecuații liniare:

Este necesar să se găsească o soluție la sistem, de ex. un set de variabile care satisface toate egalitățile sistemului (1.16). În cazul general, sistemul (1.16) poate avea nu numai o soluție, ci și un număr infinit de soluții. De asemenea, ea poate să nu aibă deloc soluții.

La rezolvarea unor astfel de probleme se folosește metoda eliminării necunoscutelor, binecunoscută din cursul școlar, care se mai numește și metoda excepțiilor obișnuite ale Iordaniei. Esența acestei metode este că într-una dintre ecuațiile sistemului (1.16) una dintre variabile este exprimată în termenii altor variabile. Apoi această variabilă este înlocuită în alte ecuații ale sistemului. Rezultatul este un sistem care conține o ecuație și o variabilă mai puțin decât sistemul original. Se reține ecuația din care a fost exprimată variabila.

Acest proces se repetă până când rămâne o ultimă ecuație în sistem. În procesul de eliminare a necunoscutelor, unele ecuații se pot transforma în identități adevărate, de exemplu. Astfel de ecuații sunt excluse din sistem, deoarece sunt îndeplinite pentru orice valoare a variabilelor și, prin urmare, nu afectează soluția sistemului. Dacă, în procesul de eliminare a necunoscutelor, cel puțin o ecuație devine o egalitate care nu poate fi satisfăcută pentru nicio valoare a variabilelor (de exemplu), atunci ajungem la concluzia că sistemul nu are soluție.

Dacă nu au apărut ecuații contradictorii în cursul rezolvării, atunci una dintre variabilele rămase în ea se găsește din ultima ecuație. Dacă mai rămâne o singură variabilă în ultima ecuație, atunci aceasta este exprimată ca număr. Dacă în ultima ecuație rămân alte variabile, atunci ele sunt considerate parametri, iar variabila exprimată prin intermediul acestora va fi o funcție a acestor parametri. Apoi are loc așa-numita „mișcare inversă”. Variabila găsită este înlocuită în ultima ecuație memorată și este găsită a doua variabilă. Apoi cele două variabile găsite sunt substituite în penultima ecuație memorată și se găsește a treia variabilă și așa mai departe, până la prima ecuație memorată.

Ca rezultat, obținem soluția sistemului. Această soluție va fi singura dacă variabilele găsite sunt numere. Dacă prima variabilă găsită, și apoi toate celelalte, depind de parametri, atunci sistemul va avea un număr infinit de soluții (fiecărui set de parametri îi corespunde o nouă soluție). Formulele care fac posibilă găsirea unei soluții la un sistem în funcție de un anumit set de parametri se numesc soluția generală a sistemului.

Exemplul 1.11.

X

După memorarea primei ecuații și reducerea termenilor similari din a doua și a treia ecuație, ajungem la sistemul:

Să ne exprimăm y din a doua ecuație și înlocuiți-o în prima ecuație:

Să ne amintim de a doua ecuație, iar din prima găsim z:

Făcând mișcarea inversă, găsim succesiv yși z... Pentru a face acest lucru, înlocuim mai întâi în ultima ecuație memorată, de unde găsim y:

Apoi substituim și în prima ecuație memorată, de unde găsim X:

Sarcina 1.12. Rezolvați un sistem de ecuații liniare eliminând necunoscute:

Soluţie. Să exprimăm din prima ecuație variabila Xși înlocuiți-l în a doua și a treia ecuație:

În acest sistem, prima și a doua ecuație se contrazic reciproc. Într-adevăr, exprimând y din prima ecuație și înlocuind-o în a doua ecuație, obținem că 14 = 17. Această egalitate nu este valabilă pentru nicio valoare a variabilelor X, y, și z... În consecință, sistemul (1.17) este inconsecvent, adică nu are solutie.

Sugerăm cititorilor să verifice în mod independent dacă determinantul principal al sistemului original (1.17) este egal cu zero.

Luați în considerare un sistem care diferă de sistemul (1.17) printr-un singur termen liber.

Sarcina 1.13. Rezolvați un sistem de ecuații liniare eliminând necunoscute:

Soluţie. Ca și mai înainte, exprimăm din prima ecuație variabila Xși înlocuiți-l în a doua și a treia ecuație:

Să ne amintim prima ecuație și să dăm termeni similari în a doua și a treia ecuație. Ajungem la sistem:

Exprimând y din prima ecuație și substituind-o în a doua ecuație, obținem identitatea 14 = 14, care nu afectează soluția sistemului și, prin urmare, poate fi exclusă din sistem.

În ultima egalitate memorată, variabila z va fi considerat un parametru. Noi credem. Atunci

Substitui yși zîn prima egalitate memorată și găsiți X:

Astfel, sistemul (1.18) are un set infinit de soluții, iar orice soluție poate fi găsită prin formulele (1.19), alegând o valoare arbitrară a parametrului t:

(1.19)
Deci, soluțiile sistemului, de exemplu, sunt următoarele seturi de variabile (1; 2; 0), (2; 26; 14), etc. Formulele (1.19) exprimă soluția generală (orice) a sistemului (1.18) .

În cazul în care sistemul original (1.16) are un număr suficient de mare de ecuații și necunoscute, metoda indicată a excepțiilor obișnuite Jordan pare greoaie. Cu toate acestea, nu este. Este suficient să deducem algoritmul de recalculare a coeficienților sistemului la un pas într-o formă generală și să formulezi soluția problemei sub forma unor tabele speciale Jordan.

Fie dat un sistem de forme liniare (ecuații):

, (1.20)
Unde x j- variabile independente (cautate), a ij- coeficienți constanți
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Partea dreaptă a sistemului y eu (i = 1, 2,…, m) pot fi atât variabile (dependente) cât și constante. Este necesar să se găsească soluții la acest sistem prin eliminarea necunoscutelor.

Luați în considerare următoarea operațiune, denumită în continuare „un pas al excepțiilor obișnuite ale Iordaniei”. Dintr-un arbitrar ( r-th) egalitate, exprimăm o variabilă arbitrară ( x s) și înlocuiți în toate celelalte egalități. Desigur, acest lucru este posibil doar dacă a rs¹ 0. Coeficient a rs numit element de autorizare (uneori de ghidare sau principal).

Obtinem urmatorul sistem:

Din s egalitatea sistemului (1.21), vom găsi ulterior variabila x s(după ce restul variabilelor au fost găsite). S-a linia este reținută și mai departe exclusă din sistem. Sistemul rămas va conține o ecuație și o variabilă independentă mai puțin decât sistemul original.

Să calculăm coeficienții sistemului rezultat (1.21) în funcție de coeficienții sistemului original (1.20). Sa incepem cu r-a ecuație, care după exprimarea variabilei x s prin restul variabilelor va arăta astfel:

Astfel, noii coeficienți r-celele ecuații se calculează prin următoarele formule:

(1.23)
Să calculăm acum noii coeficienți b ij(i¹ r) a unei ecuații arbitrare. Pentru aceasta, înlocuim variabila exprimată în (1.22) x s v i-a ecuație a sistemului (1.20):

După ce aducem termeni similari, obținem:

(1.24)
Din egalitatea (1.24) obținem formule prin care se calculează coeficienții rămași ai sistemului (1.21) (cu excepția lui r ecuația):

(1.25)
Transformarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda excepțiilor obișnuite Jordan se formalizează sub formă de tabele (matrici). Aceste mese se numesc mese „Iordania”.

Astfel, problema (1.20) este asociată cu următorul tabel Jordan:

Tabelul 1.1

X 1 X 2 … x j … x s … x n
y 1 = A 11 A 12 A 1j A 1s A 1n
…………………………………………………………………..
y eu= un i 1 un i 2 a ij a este a in
…………………………………………………………………..
y r= a r 1 a r 2 a rj a rs a rn
………………………………………………………………….
y n= a m 1 a m 2 un mj o ms un mn

Tabelul Jordan 1.1 conține coloana de antet din stânga în care sunt scrise părțile din dreapta ale sistemului (1.20) și rândul de antet superior în care sunt scrise variabilele independente.

Restul elementelor tabelului formează matricea principală a coeficienților sistemului (1.20). Dacă înmulțim matricea A la matricea formată din elementele rândului de antet superior, apoi obțineți matricea formată din elementele coloanei de antet din stânga. Adică, în esență, un tabel Jordan este o formă matriceală de scriere a unui sistem de ecuații liniare:. Sistemul (1.21) în acest caz corespunde următorului tabel Jordan:

Tabelul 1.2

X 1 X 2 … x j … y r … x n
y 1 = b 11 b 12 b 1 j b 1 s b 1 n
…………………………………………………………………..
y i = b i 1 b i 2 b ij b este cos
…………………………………………………………………..
x s = b r 1 b r 2 b rj b rs b rn
………………………………………………………………….
y n = b m 1 b m 2 b mj b ms b mn

Element permisiv a rs o vom evidenția cu caractere aldine. Amintiți-vă că pentru ca o etapă a excepțiilor Jordan să aibă loc, elementul de rezolvare trebuie să fie diferit de zero. Rândul de tabel care conține elementul de autorizare se numește rând de permis. Coloana care conține elementul de autorizare se numește coloana de autorizare. Când treceți de la acest tabel la următorul tabel, o variabilă ( x s) din rândul antet superior al tabelului este mutat în coloana antet din stânga și, invers, unul dintre membrii liberi ai sistemului ( y r) din coloana capului din stânga a tabelului este mutat în rândul capului de sus.

Să descriem un algoritm pentru recalcularea coeficienților la trecerea de la tabelul Jordan (1.1) la tabelul (1.2), care decurge din formulele (1.23) și (1.25).

1. Elementul de autorizare se înlocuiește cu o reciprocă:

2. Restul elementelor liniei de autorizare sunt împărțite la elementul de autorizare și schimbă semnul la opus:

3. Elementele rămase ale coloanei de rezolvare sunt împărțite în elementul de rezolvare:

4. Elementele care nu sunt incluse în linia de rezolvare și coloana de rezolvare sunt recalculate folosind formulele:

Ultima formulă este ușor de reținut dacă observi că elementele care alcătuiesc fracția se află la intersecție i th și r-lea rânduri și j th și s--lea coloane (rândul de rezoluție, coloana de rezolvare și rândul și coloana la intersecția cărora se află elementul recalculat). Mai precis, la memorarea formulei, puteți folosi următoarea diagramă:

-21 -26 -13 -37

Făcând primul pas al excepțiilor Jordan, orice element din Tabelul 1.3, situat în coloane X 1 ,…, X 5 (toate elementele specificate sunt diferite de zero). Nu ar trebui să selectați doar elementul de rezolvare din ultima coloană, deoarece este necesar să se găsească variabile independente X 1 ,…, X 5 . Alegem, de exemplu, coeficientul 1 cu variabila X 3 din al treilea rând din Tabelul 1.3 (elementul de activare este prezentat cu caractere aldine). Trecând la tabelul 1.4, variabila X 3 din rândul de sus al antetului este schimbat cu constanta 0 din coloana din stânga (randul al treilea). În acest caz, variabila X 3 este exprimat în termenii variabilelor rămase.

Şir X 3 (Tabelul 1.4) poate fi, după amintire, exclus din Tabelul 1.4. A treia coloană cu un zero în linia superioară a titlului este, de asemenea, exclusă din tabelul 1.4. Cert este că, indiferent de coeficienții acestei coloane b i 3 toți termenii corespunzători fiecărei ecuații 0 b i 3 sisteme vor fi zero. Prin urmare, acești coeficienți pot fi omiși. Eliminarea unei variabile X 3 și amintindu-ne una dintre ecuații, ajungem la sistemul corespunzător tabelului 1.4 (cu linia tăiată X 3). Alegerea din tabelul 1.4 ca element de rezolvare b 14 = -5, mergeți la tabelul 1.5. În tabelul 1.5, ne amintim primul rând și îl excludem din tabel împreună cu a patra coloană (cu un zero în partea de sus).

Tabelul 1.5 Tabelul 1.6

Din ultimul tabel 1.7 găsim: X 1 = - 3 + 2X 5 .

Substituind secvenţial variabilele deja găsite în liniile stocate, găsim variabilele rămase:

Astfel, sistemul are nenumărate soluții. Variabil X 5, puteți atribui valori arbitrare. Această variabilă acționează ca un parametru X 5 = t. Am dovedit compatibilitatea sistemului și am găsit soluția generală a acestuia:

X 1 = - 3 + 2t

X 2 = - 1 - 3t

X 3 = - 2 + 4t . (1.27)
X 4 = 4 + 5t

X 5 = t

Dând parametrul t valori diferite, obținem nenumărate soluții la sistemul original. Deci, de exemplu, soluția sistemului este următorul set de variabile (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Să fie dat un sistem de trei ecuații liniare:

Pentru a rezolva un sistem de ecuații liniare prin metoda lui Cramer, determinantul principal al sistemului  este compilat din coeficienții la necunoscute. Pentru sistemul (1), determinantul principal are forma
.

În plus, determinanții sunt compilați pentru variabile
,,... Pentru a face acest lucru, în determinantul principal, în loc de coloana de coeficienți pentru variabila corespunzătoare, se scrie o coloană de membri liberi, adică

,
,
.

Apoi soluția sistemului se găsește prin formulele lui Cramer

,
,

Trebuie remarcat faptul că sistemul are o singură soluție
dacă principalul determinant
. Dacă
și
= 0,= 0,= 0, atunci sistemul are un număr infinit de soluții, care nu pot fi găsite folosind formulele lui Cramer. Dacă
și
0, sau 0, sau 0, atunci sistemul de ecuații este inconsecvent, adică nu are soluții.

Exemplu


Soluţie:

1) Să compunem și să calculăm principalul determinant al sistemului, format din coeficienții necunoscutelor.

.

Prin urmare, sistemul are o soluție unică.

2) Compunem și calculăm determinanți auxiliari, înlocuind coloana corespunzătoare din  cu o coloană de termeni liberi.

Folosind formulele lui Cramer, găsim necunoscutele:

,
,
.

Să verificăm pentru a ne asigura că soluția este corectă

Acestea.
.

, adică

, adică

Răspuns: .

Exemplu

Rezolvați sistemul de ecuații prin metoda lui Cramer:

Soluţie:

1) Să compunem și să calculăm principalul determinant al sistemului din coeficienții necunoscutelor:

.

În consecință, sistemul nu are o singură soluție.

2) Compunem și calculăm determinanți auxiliari, înlocuind coloana corespunzătoare din  cu o coloană de termeni liberi:

,
prin urmare sistemul este inconsecvent.

Răspuns: sistemul este inconsecvent.

metoda Gauss

Metoda lui Gauss constă din două etape. Prima etapă constă în eliminarea succesivă a variabilelor din ecuațiile sistemului folosind acțiuni care nu încalcă echivalența sistemului. De exemplu, luați în considerare primele două ecuații ale sistemului (1).

(1)

Este necesar prin adăugarea acestor două ecuații pentru a obține o ecuație în care variabila este absentă ... Înmulțiți prima ecuație cu , iar al doilea pe (
) și se adună ecuațiile rezultate

Înlocuiți coeficientul din fața y, zși un membru gratuit pe ,și respectiv, obținem o nouă pereche de ecuații

Rețineți că a doua ecuație nu conține variabila X.

Efectuând operații similare asupra primei și a treia ecuații ale sistemului (1), iar apoi asupra celei de-a doua și a treia ecuații obținute ca urmare a adunării, transformăm sistemul (1) în forma


(2)

Un astfel de rezultat este posibil dacă sistemul are o soluție unică. În acest caz, soluția se găsește folosind cursul invers al metodei Gauss (a doua etapă). Din ultima ecuație a sistemului (2), găsim variabila necunoscută z, apoi din a doua ecuație găsim y, A X respectiv din prima, substituind în ele necunoscute deja găsite.

Uneori, ca urmare a adunării a două ecuații, ecuația totală poate lua una dintre următoarele forme:

A)
, Unde
... Aceasta înseamnă că sistemul care se rezolvă este inconsecvent.

B), adică
... O astfel de ecuație este exclusă din sistem, ca urmare, numărul de ecuații din sistem devine mai mic decât numărul de variabile, iar sistemul are un număr infinit de soluții, a căror constatare va fi prezentată printr-un exemplu.

Exemplu


Soluţie:

Luați în considerare următorul mod de a implementa prima etapă a soluției prin metoda Gaussiană. Să notăm trei rânduri de coeficienți pentru termeni necunoscuți și liberi corespunzători celor trei ecuații ale sistemului. Separați termenii liberi de coeficienți printr-o linie verticală și trasați o linie orizontală sub a treia linie.

Să încercuim prima linie, care corespunde primei ecuații a sistemului - coeficienții din această ecuație vor rămâne neschimbați. În loc de a doua linie (ecuație), trebuie să obțineți o linie (ecuație), unde coeficientul la este zero. Pentru a face acest lucru, înmulțim toate numerele din prima linie cu (–2) și le adunăm cu numerele corespunzătoare din a doua linie. Sumele rezultate le scriem sub linia orizontală (linia a patra). Pentru a obține în loc de al treilea rând (ecuație) și un rând (ecuație), în care coeficientul la este zero, înmulțiți toate numerele din primul rând cu (–5) și adăugați-le cu numerele corespunzătoare din al treilea rând. Scriem sumele rezultate pe a cincea linie și desenăm o nouă linie orizontală sub ea. Să încercuim a patra linie (sau a cincea la alegere). Este selectat rândul cu coeficienți mai mici. În această linie, coeficienții vor rămâne neschimbați. În loc de a cincea linie, trebuie să obțineți o linie în care doi coeficienți sunt deja egali cu zero. Să înmulțim al patrulea rând cu 3 și să-l adăugăm la al cincilea. Scriem suma sub linia orizontală (a șasea linie) și o încercuim.

Toate acțiunile descrise sunt prezentate în tabelul 1 folosind semne aritmetice și săgeți. Scriem din nou liniile încercuite în tabel sub forma ecuațiilor (3) și, aplicând mișcarea inversă a metodei Gauss, găsim valorile variabilelor X, yși z.

tabelul 1

Restabilim sistemul de ecuații obținut ca urmare a transformărilor noastre:

(3)

Inversați metoda Gaussiană

Din a treia ecuație
găsi
.

În a doua ecuație a sistemului
înlocuiți valoarea găsită
, primim
sau
.

Din prima ecuație
înlocuind valorile deja găsite ale variabilelor, obținem
, acesta este
.

Pentru a vă asigura că soluția este corectă, trebuie efectuată o verificare în toate cele trei ecuații ale sistemului.

Examinare:

, primim

Primim

Primim

atunci sistemul este rezolvat corect.

Răspuns:
,
,
.

Exemplu

Rezolvați sistemul folosind metoda Gaussiană:

Soluţie:

Procedura din acest exemplu este aceeași ca în exemplul anterior, iar acțiunile specifice sunt prezentate în Tabelul 2.

Ca urmare a transformărilor, obținem o ecuație de formă, prin urmare, sistemul dat este inconsecvent.

Răspuns: sistemul este inconsecvent.

Exemplu

Rezolvați sistemul folosind metoda Gaussiană:

Soluţie:

Tabelul 3

Ca rezultat al transformărilor, obținem o ecuație de formă care este exclusă din considerare. Astfel, avem un sistem de ecuații în care numărul de necunoscute este 3, iar numărul de ecuații este 2.

Sistemul are nenumărate soluții. Pentru a găsi aceste soluții, introducem o variabilă liberă. (Numărul de variabile libere este întotdeauna egal cu diferența dintre numărul de necunoscute și numărul de ecuații rămase după transformarea sistemului. În cazul nostru, 3 - 2 = 1).

Lasa
Este o variabilă liberă.

Apoi din a doua ecuație găsim
, Unde
și apoi găsiți X din prima ecuație
sau
.

Prin urmare,
;
;
.

Să verificăm ecuațiile care nu au fost implicate în găsirea și , adică în a doua și a treia ecuație a sistemului original.

Examinare:

sau, primim
.

sau, primim
.

Sistemul a fost rezolvat corect. Oferind o constantă arbitrară valori diferite, vom obține valori diferite X, y și z.

Răspuns:
;
;
.

Metoda lui Cramer sau așa-numita regulă a lui Cramer este o modalitate de a căuta cantități necunoscute din sistemele de ecuații. Poate fi folosit numai dacă numărul de valori căutate este echivalent cu numărul de ecuații algebrice din sistem, adică matricea principală formată din sistem trebuie să fie pătrată și să nu conțină linii zero și, de asemenea, dacă determinantul său trebuie să nu fie zero.

Teorema 1

teorema lui Cramer Dacă determinantul principal $ D $ al matricei principale, pe baza coeficienților ecuațiilor, nu este egal cu zero, atunci sistemul de ecuații este consistent și are o soluție unică. Soluția unui astfel de sistem se calculează prin așa-numitele formule Cramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare: $ x_i = \ frac (D_i) (D) $

Ce este metoda Cramer

Esența metodei lui Cramer este următoarea:

  1. Pentru a găsi o soluție la sistem prin metoda lui Cramer, mai întâi calculăm determinantul principal al matricei $ D $. Când determinantul calculat al matricei principale, atunci când este calculat prin metoda lui Cramer, sa dovedit a fi zero, atunci sistemul nu are soluții sau are un număr infinit de soluții. În acest caz, pentru a găsi un răspuns general sau de bază pentru sistem, se recomandă aplicarea metodei Gauss.
  2. Apoi trebuie să înlocuiți coloana extremă a matricei principale cu o coloană de membri liberi și să calculați determinantul $ D_1 $.
  3. Repetați același lucru pentru toate coloanele, obținând determinanți de la $ D_1 $ la $ D_n $, unde $ n $ este numărul coloanei din dreapta.
  4. După găsirea tuturor determinanților lui $ D_1 $ ... $ D_n $, puteți calcula variabilele necunoscute cu formula $ x_i = \ frac (D_i) (D) $.

Tehnici de calcul a determinantului unei matrice

Pentru a calcula determinantul unei matrice cu o dimensiune mai mare de 2 cu 2, puteți utiliza mai multe metode:

  • Regula Triunghiurilor, sau Regula Sarrus, seamănă cu aceeași regulă. Esența metodei triunghiului este că atunci când se calculează determinantul produsului tuturor numerelor conectate în figură cu o linie roșie în dreapta, acestea sunt scrise cu semnul plus și toate numerele conectate în același mod în figura de pe stânga cu semnul minus. B, ambele reguli sunt potrivite pentru matrice de 3 x 3. În cazul regulii Sarrus, matricea în sine este mai întâi rescrisă, iar lângă ea, lângă ea, prima și a doua coloană sunt rescrise din nou. Diagonalele sunt trasate prin matrice și aceste coloane suplimentare, membrii matricei situate pe diagonala principală sau pe paralela cu aceasta sunt scrise cu semnul plus, iar elementele situate pe diagonala laterală sau paralelă cu aceasta sunt scrise cu un semnul minus.

Figura 1. Regula triunghiului pentru calcularea determinantului pentru metoda lui Cramer

  • Folosind o tehnică cunoscută sub numele de metoda Gaussiană, această tehnică este uneori denumită de-ordonarea determinanților. În acest caz, matricea este transformată și redusă la o formă triunghiulară, apoi se înmulțesc toate numerele de pe diagonala principală. Trebuie amintit că, într-o astfel de căutare a unui determinant, nu puteți înmulți sau împărți rânduri sau coloane după numere fără a le scoate ca factor sau divizor. În cazul căutării unui determinant, este posibilă doar scăderea și adăugarea șirurilor și stâlpilor împreună, înmulțind în prealabil șirul scăzut cu un factor diferit de zero. De asemenea, cu fiecare permutare a rândurilor sau coloanelor matricei pe alocuri, ar trebui să vă amintiți despre necesitatea de a schimba semnul final al matricei.
  • Când rezolvați SLAE-uri cu 4 necunoscute prin metoda lui Cramer, cel mai bine este să folosiți metoda Gauss pentru a găsi și găsi determinanți sau determina determinanții prin căutarea minorilor.

Rezolvarea sistemelor de ecuații prin metoda lui Cramer

Aplicam metoda lui Cramer pentru un sistem de 2 ecuatii si doua marimi dorite:

$ \ begin (cazuri) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \ end (cazuri) $

Să-l afișăm în formă extinsă pentru comoditate:

$ A = \ begin (matrice) (cc | c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \ end (matrice) $

Să găsim determinantul matricei principale, numit și determinantul principal al sistemului:

$ D = \ begin (matrice) (| cc |) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \ end (matrice) = a_1 \ cdot a_4 - a_3 \ cdot a_2 $

Dacă determinantul principal nu este zero, atunci pentru a rezolva slough prin metoda lui Cramer, este necesar să se calculeze încă câțiva determinanți din două matrice cu coloane înlocuite ale matricei principale pe linie de termeni liberi:

$ D_1 = \ begin (matrice) (| cc |) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \ end (matrice) = b_1 \ cdot a_4 - b_2 \ cdot a_4 $

$ D_2 = \ begin (matrice) (| cc |) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \ end (matrice) = a_1 \ cdot b_2 - a_3 \ cdot b_1 $

Acum să găsim necunoscutele $ x_1 $ și $ x_2 $:

$ x_1 = \ frac (D_1) (D) $

$ x_2 = \ frac (D_2) (D) $

Exemplul 1

Metoda lui Cramer pentru rezolvarea SLAE-urilor cu o matrice principală de 3 ordine (3 x 3) și trei necesare.

Rezolvați sistemul de ecuații:

$ \ begin (cazuri) 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 9 \\ 2x_1 - x_2 - x_3 = 10 \\ \ end (cazuri) $

Să calculăm determinantul principal al matricei folosind regula de mai sus sub elementul numărul 1:

$ D = \ begin (matrice) (| ccc |) 3 & -2 & 4 \\ 3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \ end (matrice) = 3 \ cdot 4 \ cdot ( -1) + 2 \ cdot (-2) \ cdot 2 + 4 \ cdot 3 \ cdot (-1) - 4 \ cdot 4 \ cdot 2 - 3 \ cdot (-2) \ cdot (-1) - (- 1) \ cdot 2 \ cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - 64 $

Și acum alți trei factori determinanți:

$ D_1 = \ begin (matrice) (| ccc |) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \ end (matrice) = 21 \ cdot 4 \ cdot 1 + (- 2) \ cdot 2 \ cdot 10 + 9 \ cdot (-1) \ cdot 4 - 4 \ cdot 4 \ cdot 10 - 9 \ cdot (-2) \ cdot (-1) - (-1) \ cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - 296 USD

$ D_2 = \ begin (matrice) (| ccc |) 3 & 21 & 4 \\ 3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \ end (matrice) = 3 \ cdot 9 \ cdot (- 1) + 3 \ cdot 10 \ cdot 4 + 21 \ cdot 2 \ cdot 2 - 4 \ cdot 9 \ cdot 2 - 21 \ cdot 3 \ cdot (-1) - 2 \ cdot 10 \ cdot 3 = - 27 + 120 + 84 - 72 + 63 - 60 = 108 $

$ D_3 = \ begin (matrice) (| ccc |) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \ end (matrice) = 3 \ cdot 4 \ cdot 10 + 3 \ cdot (-1) \ cdot 21 + (-2) \ cdot 9 \ cdot 2 - 21 \ cdot 4 \ cdot 2 - (-2) \ cdot 3 \ cdot 10 - (-1) \ cdot 9 \ cdot 3 = 120 - 63 - 36 - 168 + 60 + 27 = - 60 $

Să găsim valorile necesare:

$ x_1 = \ frac (D_1) (D) = \ frac (- 296) (- 64) = 4 \ frac (5) (8) $

$ x_2 = \ frac (D_1) (D) = \ frac (108) (-64) = - 1 \ frac (11) (16) $

$ x_3 = \ frac (D_1) (D) = \ frac (-60) (-64) = \ frac (15) (16) $

Metoda lui Cramer se bazează pe utilizarea determinanților în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acest lucru accelerează foarte mult procesul de soluție.

Metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva un sistem de atâtea ecuații liniare câte necunoscute există în fiecare ecuație. Dacă determinantul sistemului nu este egal cu zero, atunci metoda lui Cramer poate fi utilizată în soluție, dacă este egal cu zero, atunci nu poate. În plus, metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare care au o soluție unică.

Definiție... Determinantul compus din coeficienții necunoscutelor se numește determinant de sistem și se notează cu (delta).

Determinanți

se obțin prin înlocuirea coeficienților cu termenii liberi necunoscuți corespunzători:

;

.

teorema lui Cramer. Dacă determinantul sistemului este diferit de zero, atunci sistemul de ecuații liniare are o soluție unică, iar necunoscuta este egală cu raportul determinanților. Numitorul conține determinantul sistemului, iar numărătorul conține determinantul obținut din determinantul sistemului prin înlocuirea coeficienților din această necunoscută cu termeni liberi. Această teoremă este valabilă pentru un sistem de ecuații liniare de orice ordin.

Exemplul 1. Rezolvați un sistem de ecuații liniare:

Conform Teorema lui Cramer avem:

Deci, soluția sistemului (2):

calculator online, metoda de rezolvare a lui Cramer.

Trei cazuri la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

După cum este clar din teoremele lui Cramer, la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare pot apărea trei cazuri:

Primul caz: un sistem de ecuații liniare are o soluție unică

(sistemul este consistent și definit)

Al doilea caz: un sistem de ecuații liniare are un număr infinit de soluții

(sistemul este consistent și nedefinit)

** ,

acestea. coeficienţii necunoscutelor şi termenilor liberi sunt proporţionali.

Al treilea caz: sistemul de ecuații liniare nu are soluții

(sistem inconsecvent)

Deci sistemul m ecuații liniare cu n sunt numite variabile inconsecventă dacă nu are soluții, și comun daca are cel putin o solutie. Se numește un sistem comun de ecuații care are o singură soluție un anumit, și mai mult de unul - nedefinit.

Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare prin metoda lui Cramer

Să fie dat sistemul

.

Bazat pe teorema lui Cramer

………….
,

Unde
-

determinant de sistem. Obținem determinanții rămași prin înlocuirea coloanei cu coeficienții variabilei corespunzătoare (necunoscute) cu termeni liberi:

Exemplul 2.

.

Prin urmare, sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții

Conform formulelor lui Cramer, găsim:



Deci, (1; 0; -1) este singura soluție a sistemului.

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți folosi calculatorul online care rezolvă metoda Cramer.

Dacă în sistemul de ecuații liniare în una sau mai multe ecuații nu există variabile, atunci în determinant elementele corespunzătoare sunt egale cu zero! Acesta este următorul exemplu.

Exemplul 3. Rezolvați un sistem de ecuații liniare prin metoda lui Cramer:

.

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Priviți cu atenție sistemul de ecuații și determinantul sistemului și repetați răspunsul la întrebarea în care cazuri unul sau mai multe elemente ale determinantului sunt egale cu zero. Deci, determinantul nu este egal cu zero, prin urmare, sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții pentru necunoscute

Conform formulelor lui Cramer, găsim:

Deci, soluția sistemului este (2; -1; 1).

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți folosi calculatorul online care rezolvă metoda Cramer.

Înapoi la începutul paginii

Continuăm să rezolvăm împreună sisteme prin metoda lui Cramer

După cum sa menționat deja, dacă determinantul sistemului este egal cu zero, iar determinanții pentru necunoscute nu sunt egali cu zero, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții. Să ilustrăm cu următorul exemplu.

Exemplul 6. Rezolvați un sistem de ecuații liniare prin metoda lui Cramer:

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Determinantul sistemului este egal cu zero, prin urmare, sistemul de ecuații liniare este fie inconsecvent și definit, fie inconsecvent, adică nu are soluții. Pentru a fi mai precis, calculăm determinanții pentru necunoscute

Determinanții pentru necunoscute nu sunt egali cu zero, prin urmare, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții.

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți folosi calculatorul online care rezolvă metoda Cramer.

În problemele pe sisteme de ecuații liniare, există și acelea în care, pe lângă literele care denotă variabile, există și alte litere. Aceste litere reprezintă un anumit număr, cel mai adesea un număr real. În practică, astfel de ecuații și sisteme de ecuații sunt conduse de probleme de căutare a proprietăților generale ale oricăror fenomene și obiecte. Adică ați inventat un material sau dispozitiv nou și pentru a descrie proprietățile sale, care sunt comune indiferent de dimensiunea sau numărul unui specimen, trebuie să rezolvați un sistem de ecuații liniare, în care în loc de niște coeficienți de variabile există scrisori. Nu trebuie să mergi departe pentru exemple.

Următorul exemplu este pentru o sarcină similară, doar numărul de ecuații, variabile și litere care denotă un număr real crește.

Exemplul 8. Rezolvați un sistem de ecuații liniare prin metoda lui Cramer:

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Găsiți determinanți pentru necunoscute