Valoarea derivatului în acest moment. Găsiți valoarea funcției derivate la punctul X0

Studiul funcțiilor. În acest articol vom vorbi despre sarcinile în care sunt luate în considerare funcțiile și condițiile se confruntă cu cercetarea lor. Luați în considerare principalele momente teoretice care trebuie să le cunoască și să înțeleagă să le rezolve.

Acesta este un grup întreg de sarcini incluse în examenul din matematică. Este de obicei problema găsirii punctelor maxime (minime) sau a definiției celei mai mari funcții (cele mai mici) a funcției la un interval specificat.Consideră:

- Funcții de putere și iraționale.

- Funcții raționale.

- Studiul lucrărilor și privat.

- funcții logaritmice.

- Funcții trigonometrice.

Dacă înțelegeți teoria limitelor, conceptul derivatului, proprietățile derivatului pentru studiul graficelor de funcții și, atunci astfel de sarcini nu vor provoca dificultăți și le veți decide cu ușurință.

Informațiile de mai jos sunt momente teoretice, a cărui înțelegere va permite să realizeze cum să rezolve aceste sarcini. Voi încerca să le pun pe faptul că și cel care a ratat acest subiect sau a studiat slab, ar putea rezolva astfel de sarcini fără multă dificultate.

În sarcinile acestui grup, după cum sa menționat deja, este necesar să se găsească o funcție minimă (maximă) sau cea mai mare (cea mai mică) funcție la interval.

Punct minim, maxim.Proprietăți derivate.

Luați în considerare un grafic al funcției:

Punctul A este un punct maxim, pe intervalul de la aproximativ și funcția crește, pe intervalul de la A, la scădere.

Punctul B este un punct minim, pe intervalul de la o funcție scăderi, la intervalul de la B la C crește.

În aceste puncte (A și B), instrumentul derivat se referă la zero (egal cu zero).

Tangente la aceste puncte paralele cu axa bOU..

Voi adăuga că punctele în care funcția își schimbă comportamentul de la creșterea până la coborâre (și dimpotrivă, la o scădere a creșterii), se numește extreme.

Motiv important:

1. Derivatul la intervale de creștere are un semn pozitiv (nÎnlocuirea valorii din intervalul din derivatul este un număr pozitiv).

Aceasta înseamnă că derivatul la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare pozitivă, apoi programul de funcții la acest interval crește.

2. La intervale de scăderi, derivatul are un semn negativ (atunci când se înlocuiește valoarea de la intervalul în expresie, se obține un număr negativ).

Deci, dacă derivatul la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare negativă, atunci graficul funcției la acest interval scade.

Este necesar să înțelegem clar!

Astfel, calculul derivatului și echivalând-o la zero, puteți găsi puncte care împărtășesc axa numerică la intervale.La fiecare dintre aceste intervale, puteți defini un semn al derivatului și puteți încheia în continuare cu privire la creșterea sau descendența acestuia.

* Separat, trebuie spus despre punctele în care nu există lucrarea. De exemplu, putem obține un derivat, numitorul căruia la un anumit x apelează la zero. Este clar că cu un astfel de derivat nu există. Astfel, acest punct ar trebui să fie luate în considerare și la determinarea intervalelor crescânde (descendente).

Funcția la punctele în care derivatul este egal cu zero schimbările sale nu este întotdeauna. Acesta va fi un articol separat. Nu vor exista astfel de sarcini pe sine însuși.

Proprietățile de mai sus sunt necesare pentru a studia comportamentul funcției de creștere și scădere.

Ce altceva trebuie să fie cunoscut pentru a rezolva sarcinile convenite: un tabel de instrumente financiare derivate și de diferențiere. Fără ea în nici un fel. Acestea sunt cunoștințe de bază, în subiectul derivatului. Derivați ai funcțiilor elementare pe care trebuie să le cunoașteți perfect.

Calculul unui derivat al unei funcții complexef.(g.(x.)), Imaginați-vă că funcțiag.(x.) Această variabilă și apoi calculează derivatulf.’(g.(x.)) Conform formulelor de tabel ca un derivat normal al variabilei. Apoi rezultatul rezultat în funcția derivatăg.(x.) .

Verificați videoclipul maxim maxim pe o funcție complexă:

Sarcini pentru găsirea punctelor maxime și minime

Algoritmul pentru găsirea punctelor maxime (minime) funcții:

1. Găsiți o funcție derivată f.’(x.).

2. Găsiți zero derivate (derivat de echivalare la zero f.’(x.)=0 și rezolvați ecuația obținută). De asemenea, găsiți puncte în care nu există derivatul(În special, se referă la funcții raționale fracționate).

3. Observați valorile obținute de pe numărul numeric direct și determinăm semnele derivatului pe aceste intervale prin substantând valorile de la intervale la exprimarea derivatului.

Producția va fi una dintre cele două:

1. Punctul maxim este un punct,În care instrumentul derivat modifică valoarea cu un caracter pozitiv la negativ.

2. Minimul minim este un punctîn care instrumentul derivat modifică valoarea cu un negativ pe unul pozitiv.

Sarcini pentru găsirea celei mai mari sau mai mici valori

funcții pe interval.

Într-un alt tip de sarcină, este necesar să găsiți cea mai mare sau cea mai mică valoare a funcției la un interval specificat.

Algoritmul pentru găsirea celei mai mari (cele mai mici) funcție a funcției:

1. Determinați dacă există un punct maxim (minim). Pentru a face acest lucru, găsiți un derivat f.’(x.) , apoi decide f.’(x.)=0 (Paragrafele 1 și 2 ale algoritmului anterior).

2. Determinați dacă punctele obținute aparțin intervalului specificat și scrieți în interiorul acesteia.

3. Înlocuim funcția inițială (nu în derivatul, ci în acest sens în funcție de condiția) limitele acestui interval și punctul (cel puțin maxim), situată în intervalul (clauza 2).

4. Calculați valorile funcției.

5. Selectați de la cea mai mare valoare (cea mai mică), în funcție de care a fost setată întrebarea în sarcină și apoi scrieți răspunsul.

Întrebare: Pentru ce sarcini pentru a găsi cea mai mare funcție (cea mai mică), trebuie să căutați un punct maxim (minim)?

Răspunsul este cel mai bine să îl ilustrezi, vezi o imagine schematică a funcțiilor definite de grafice:

În cazurile 1 și 2, este suficient să înlocuiți limitele intervalului pentru a determina cea mai mare sau cea mai mică valoare a funcției. În cazurile 3 și 4, este necesar să se găsească zerourile funcțiilor (puncte minime maxime). Dacă înlocuim limitele intervalului (fără a găsi funcția funcției), vom obține un răspuns incorect, poate fi văzut de grafică.

Și lucrul este că nu putem vedea graficul la intervalul la funcția specificată (fie că are un maxim sau minim în interval). Prin urmare, găsiți zerourile funcției în mod necesar!

Dacă ecuația. f '(x.)=0 Nu va avea soluții, înseamnă că punctele maxime-minime nu sunt (Figura 1,2) și pentru a găsi sarcina stabilită în această funcție înlocuim doar limitele intervalului.

Un alt punct important. Amintiți-vă că răspunsul trebuie să fie un număr întreg sau un ultim zecimal. Când se calculează cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției, veți primi expresii cu numărul E și PI, precum și expresii cu rădăcina. Amintiți-vă că până la capăt nu trebuie să fiți calculat și deci este clar că rezultatul unor astfel de expresii nu va fi răspunsul. Dacă există o dorință de a calcula această valoare, atunci faceți-o (numere: e ≈ 2.71 pi ≈ 3.14).

Am scris foarte mult, probabil am început? Pentru exemple specifice, veți vedea că totul este simplu.

Apoi vreau să te deschid secret mic. Faptul este că multe sarcini pot fi rezolvate fără cunoașterea proprietăților derivatului și chiar fără reguli de diferențiere. Despre aceste nuanțe vă voi spune cu siguranță și vă voi arăta cum se face? nu ratați!

Dar atunci de ce am subliniat, în general, teoria și am mai spus că trebuie să fie cunoscută. Asta e drept - trebuie să știi. Dacă înțelegeți, atunci nici o sarcină în acest subiect nu vă va pune într-un scop mort.

Aceste "trucuri", pe care le veți învăța, vă vor ajuta când rezolvați prototipurile specifice (unele) sarcini. LAaC Instrumentul suplimentar Aceste tehnici utilizează, desigur, convenabil. Sarcina poate fi rezolvată de 2-3 ori mai rapidă și economisește timp pe soluția părții S.

Toate cele bune!

Cu sinceritate, Alexander Krutitsky.

P.S: Voi fi recunoscător dacă vă spuneți despre site-ul de pe rețelele sociale.

La rezolvarea diferitelor probleme de geometrie, mecanică, fizică și alte ramuri ale cunoașterii, a fost necesară utilizarea aceluiași proces analitic din această funcție. y \u003d f (x) Obțineți o nouă caracteristică numită funcția derivată (sau pur și simplu. derivat) din această funcție f (x) și denotă simbolul

Procesul cu care din această funcție f (x) Obțineți o caracteristică nouă f "(x), Apel diferenţiere și constă în următoarele trei etape: 1) Să dăm un argument x. creştere  x. și determină creșterea corespunzătoare a funcției  y \u003d f (x + x) -F (x); 2) Relațiune de compilare

3) Numărarea x. Constant, A.  x. 0, a constatat
care denotă f "(x), ca și cum ar fi subliniat faptul că funcția rezultată depinde doar de valoarea x.în care mergem la limită. Definiție: Derivat y "\u003d f" (x) această funcție y \u003d f (x) cu acest X. Se numește limita relației funcției funcției de creștere a argumentului, cu condiția ca creșterea argumentului să tinde la zero dacă, desigur, această limită există, adică. finit. În acest fel,
, sau

Rețineți că, dacă cu unele sensuri x., de exemplu, la x \u003d A., Atitudinea
pentru  x.0 nu caută limita de sfârșit, atunci în acest caz se spune că funcția f (x) pentru x \u003d A. (sau la punct x \u003d A.) nu are un derivat sau nu este diferențiat la punct x \u003d A..

2. Semnificația geometrică a derivatului.

Luați în considerare graficul funcției y \u003d f (x), diferențiat în vecinătatea punctului x 0

f (x)

Luați în considerare un director arbitrar, trecând prin punctul funcției funcției - punctul A (x 0, F (x 0)) și intersectați graficul la un anumit punct B (X, F (x)). O astfel de linie dreaptă (AB) este numită vânzare. De la ΔAVS: AC \u003d Δx; Soare \u003d Δu; Tgβ \u003d Δy / Δx.

Ca Au ||. Ox, apoi alo \u003d bac \u003d β (după caz \u200b\u200bcu paralel). Dar alo este unghiul de înclinare a AV la direcția pozitivă a axei Oh. Deci, TGβ \u003d K este un coeficient unghiular direct Av.

Acum vom reduce ΔH, adică Δх → 0. În acest caz, punctul în care se va apropia punctul A conform programului, iar AV secvențială va fi rotit. Poziția limită a secțiunii AV la Δх → 0 va fi dreaptă (a), numită tangentă grafică a funcției y \u003d f (x) la punctul A.

Dacă mergeți la limita la Δх → 0 în egalitatea Tgβ \u003d Δy / Δx, atunci ajungem
ortg \u003d f "(x 0), deoarece
-unghiul de înclinare tangent la direcția pozitivă a axei Oh
, Prin definiție, derivatul. Dar tg \u003d k - coeficientul unghiular al tangentei, înseamnă că k \u003d tg \u003d f "(x 0).

Deci, sensul geometric al derivatului este după cum urmează:

Funcția derivată la punctul X 0 egală cu coeficientul unghiular tangent la graficul funcției petrecute la punctul cu abscissa x 0 .

3. Semnificația fizică a derivatului.

Luați în considerare mișcarea punctului într-o linie dreaptă. Să fie specificată coordonarea punctului în orice moment al X (t). Este cunoscut (din cursul fizicii) că viteza medie în timp este egală cu raportul dintre distanța parcursă în această perioadă de timp, adică.

Vc \u003d Δx / Δt. Ne întoarcem la limita ultimei egalități la ΔT → 0.

lim VCR (T) \u003d  (T 0) - Viteză instantanee la momentul t 0, Δt → 0.

și lim \u003d Δx / Δt \u003d x "(t 0) (prin definirea derivatului).

Deci,  (t) \u003d x "(t).

Semnificația fizică a derivatului este după cum urmează: Funcția derivatăy. = f.(x.) La punctulx. 0 - Aceasta este viteza schimbării funcțieif. (x) la punctx. 0

Derivatul este utilizat în fizică pentru a găsi viteza de-a lungul funcției cunoscute a coordonatelor din când în când, accelerează la o funcție de viteză bine cunoscută.

 (t) \u003d x "(t) - viteza,

a (f) \u003d  "(t) - accelerare sau

Dacă legea mișcării punctului material este cunoscută în circumferință, atunci puteți găsi viteza unghiulară și accelerația unghiulară cu mișcare rotativă:

φ \u003d φ (t) - schimbați unghiul de timp

ω \u003d φ "(t) - viteza unghiulară,

ε \u003d φ "(t) este o accelerație unghiulară sau ε \u003d φ" (t).

Dacă se cunoaște legea distribuției masei tijei neomogene, atunci densitatea liniară a tijei neomogene poate fi găsită:

m \u003d m (x) - greutate,

x , L - lungimea tijei,

p \u003d m "(x) - densitate liniară.

Cu ajutorul derivatului, sunt rezolvate sarcini din teoria elasticității și oscilațiilor armonice. Deci, prin legea gâtului

F \u003d -KX, X este variabila de coordonate, coeficientul elasticității arcului. Punerea ω 2 \u003d k / m, obținem ecuația diferențială a pendulului de arc X "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

unde ω \u003d √k / √m Frecvența oscilației (L / C), K este rigiditatea arcului (H / m).

Ecuația formei de "+ ω 2 y \u003d 0 se numește ecuația oscilațiilor armonice (mecanice, electrice, electromagnetice). Soluția unor astfel de ecuații este funcția

y \u003d asin (ωt + φ 0) sau y \u003d acos (ωt + φ 0), unde

A - amplitudinea oscilațiilor, Ω - frecvența ciclică,

Φ 0 - Faza inițială.

Faceți o relație și calculați limita.

De unde a venit tabel de derivați și reguli de diferențiere? Datorită singurii limită. Se pare magic, dar în realitate - dexteritatea mâinilor și nici o fraudă. La lectie Ce este un derivat? Am început să iau în considerare exemple specificeÎn cazul în care definiția a găsit derivatele liniare și funcția patrată. În scopul antrenamentului cognitiv, continuă să deranjeze derivați de masă, Honing algoritmul și tehnică Soluții:

Exemplul 1.

În esență, este necesar să se demonstreze un caz particular al unei funcții de putere derivate, care apare, de obicei, în tabel :.

Decizie Din punct de vedere tehnic se face în două moduri. Să începem cu prima abordare deja familiară: scara începe cu o scândură și o funcție derivată - cu un derivat la punct.

Considera niste (Specific) punctajul aparținând domenii de definiție Funcții în care există un derivat. Setați creșterea în acest moment (Desigur, nu dincolo deoH / O. -I) și alcătuiesc creșterea corespunzătoare a funcției:

Calculați limita:

Incertitudinea 0: 0 este eliminată de admiterea standard, discutată în primul secol î.Hr. Doming Nizer și numitor pentru expresia conjugată :

Tehnica de rezolvare a unor astfel de limite este luată în considerare în detaliu la lecția introductivă. privind limitele funcțiilor.

Deoarece puteți alege orice punct al intervalului, atunci urmând înlocuirea, obținem:

Răspuns

Încă o dată, vă veți bucura de logaritmii:

Exemplul 2.

Găsiți o funcție derivată utilizând definiția derivatului

Decizie: Luați în considerare o altă abordare a promovării aceleiași sarcini. Este exact același lucru, dar mai rațional din punctul de vedere al designului. Ideea este de a scăpa de indicele de substrat la începutul deciziei și în loc de scrisoarea de utilizare a scrisorii.

Considera arbitrar Punct de apartenență domenii de definiție Funcții (interval) și întrebați creșterea în ea. Dar aici, apropo, ca în majoritatea cazurilor, puteți face fără rezerve, deoarece funcția logaritmică este diferențiată în orice punct al zonei de definiție.

Apoi, creșterea corespunzătoare a funcției:

Găsiți un derivat:

Simplitatea designului este susținută de confuzie, care poate apărea la începători (și nu numai). La urma urmei, suntem obișnuiți ca litera "x" să se schimbe în limită! Dar totul este diferit: - o statuie antică și - un vizitator plin de viață, aplauze pe coridorul muzeului. Adică "x" este "ca și cum este constant".

Eliminarea incertitudinii comite pas cu pas:

(1) Folosim proprietatea logaritmului .

(2) În paranteze, întărește numizorul la numitor.

(3) în numitorul dominat și împărțiți în mod artificial la "X" pentru a profita limită minunată În același timp ca infinitim cu magnitudinea scăzută Difuzoare.

Răspuns: Prin definirea instrumentului derivat:

Sau abreviat:

Îți sugerez să construiască în mod independent două formule tabulare:

Exemplul 3.

În acest caz, creșterea absolută este imediat convenabilă pentru a duce la un numitor comun. Un exemplar exemplar de eșantion al sarcinii la sfârșitul lecției (prima metodă).

Exemplul 3:Decizie : Luați în considerare un punct aparținând zonei de definiție a câmpului . Setați creșterea în acest moment și alcătuiesc creșterea corespunzătoare a funcției:

Găsiți un derivat la punct :


Ca. Puteți alege orice punct Domenii de definiție a funcțiilor T. și
Răspuns : Prin definirea instrumentului derivat

Exemplul 4.

Găsiți un derivat prin definiție

Și apoi totul trebuie să fie redus la limită minunată . Soluția este emisă în a doua cale.

În mod similar, sunt afișate un număr de altele. procese de masă. Lista completă poate fi găsită în manualul școlii sau, de exemplu, a 1-a Tome din Fihtendulz. Nu văd prea mult sens să rescriu din cărți și dovezi ale regulilor de diferențiere - ele sunt generate de formula.

Exemplul 4:Decizie aparținând și întrebi în increment

Găsiți un derivat:

Folosim o limită minunată

Răspuns : A-PRIORY

Exemplul 5.

Găsiți o funcție derivată Folosind definiția derivatului

Decizie: Folosim primul stil de design. Luați în considerare un anumit punct aparținând aspectului argumentului în el. Apoi, creșterea corespunzătoare a funcției:

Poate că unii cititori nu au înțeles încă pe deplin principiul pentru care creșterea ar trebui incrementată. Luați un punct (număr) și găsiți valoarea funcției: , adică funcția in schimb "Iksa" ar trebui înlocuit. Acum, luăm, de asemenea, un număr complet concret și înlocuim, de asemenea, funcția in schimb "Iksa" :. Scrieți diferența, în timp ce este necesar luați pe deplin paranteze.

Compilați o creștere a funcției este profitabil imediat să simplificați. Pentru ce? Ușor și scurtați soluția de limitare suplimentară.

Folosim formule, dezvăluie paranteze și reduc tot ceea ce poate fi redus:

Turcia este planificată, cu orice problemă friptă:

În cele din urmă:

Deoarece puteți alege orice număr valid, vom înlocui și vom obține .

Răspuns: A-Priory.

Pentru a verifica, găsiți un derivat utilizând diferențierea și regulile de tabel:

Este întotdeauna util și frumos să știți răspunsul corect în avans, deci este mai bine să fie mental fie pe proiectul de a prefabricarea funcției propuse "rapid" la începutul deciziei.

Exemplul 6.

Găsiți o funcție derivată pentru a determina derivatul

Acesta este un exemplu pentru auto-hotărâtă. Rezultatul se află la suprafață:

Exemplul 6:Decizie : Luați în considerare un punct aparținând și cereți creșterea argumentului . Apoi, creșterea corespunzătoare a funcției:


Calculați derivatul:


În acest fel:
Deoarece în calitate Puteți alege orice număr valid, apoi și
Răspuns : A-Priory.

Să ne întoarcem la stilul numărul 2:

Exemplul 7.

Să aflăm imediat ce ar trebui să se întâmple. De reguli de diferențiere a busolei:

Decizie: Luați în considerare un punct arbitrar aparținând, setați creșterea argumentului în el și faceți creșterea funcției:

Găsiți un derivat:


(1) folosind formula trigonometrică .

(2) Sub sinus, descoperim parantezele, sub cosinie, oferim astfel de componente.

(3) Sinusul a tăiat componentele sub sinusul, sub cosinia de răzbunare a numitorului la numitor.

(4) Din cauza ciudățeniei sinusurilor, luăm un minus. Prin cosinie, indicăm că termenul.

(5) În numitor, realizăm multiplicarea artificială de utilizare prima limită minunată . Astfel, incertitudinea este eliminată, având un rezultat.

Răspuns: A-PRIORY

După cum puteți vedea, principala dificultate a problemei luate în considerare se bazează pe complexitatea limitei în sine + o mică originalitate a ambalajului. În practică, atât celălalt mod de execuție întâlnește, așa că cât mai mult posibil semnează ambele abordări. Acestea sunt egale, dar totuși, în impresia mea subiectivă, Teapotima este mai preferată pentru a adera la prima versiune cu "X zero".

Exemplul 8.

Folosind definiția, găsiți o funcție derivată

Exemplul 8:Decizie : Luați în considerare un punct arbitrar. aparținând , întrebați creșterea Și s-au ridicat la creșterea funcției:

Găsiți un derivat:

Folosim formula trigonometrică Și prima limită minunată:

Răspuns : A-PRIORY

Vom analiza o versiune rară a problemei:

Exemplul 9.

Găsiți funcția derivată la punctul utilizând definiția derivatului.

În primul rând, ce ar trebui să se întâmple într-un reziduu uscat? Număr

Calculați răspunsul în mod standard:

Decizie: Din punctul de vedere al vizibilității, această sarcină este mult mai ușoară, deoarece în formula în schimb este luată în considerare valoarea concretă.

Să stabilim creșterea și să ajungem la creșterea corespunzătoare a funcției:

Calculați derivatul la punctul:

Folosim o formulă de diferență tangentă foarte rară și moment în care va reduce decizia de a prima limită minunată:

Răspuns: Prin definirea instrumentului derivat la acest punct.

Sarcina nu este atât de greu de rezolvat și "în general"- Este suficient să înlocuiți sau pur și simplu în funcție de metoda de proiectare. În acest caz, este clar, nu va fi un număr, ci o funcție derivată.

Exemplul 10.

Folosind definiția, găsiți o funcție derivată La punctul (dintre care unul poate fi infinit), pe care îl intru caracteristici generale Deja a spus lecția de derivați teoretică.

Unele funcții specificate din bucăți diferite și la punctele "comune" ale graficului, de exemplu, gătitul Are un derivat comun și un tangent total (Axa Abscisa) la acest punct. Curba, da diferențiat pe! Cei care doresc pot fi convinși de acest lucru pe cont propriu, în conformitate cu eșantionul unui exemplu de rezolvare.

© 2015-2019 Site.
Toate drepturile de aparțin autorilor lor. Acest site nu pretinde la autor, dar oferă o utilizare gratuită.
Data creării paginilor: 2017-06-11

Cum să găsiți o funcție derivată la punct? Formularea urmează două elemente evidente ale acestei sarcini:

1) Este necesar să găsiți un derivat.

2) Este necesar să se calculeze valoarea derivatului la un punct specificat.

Exemplul 1.

Ajutor: Următoarele metode de denumire funcționează sunt echivalente:


În unele sarcini este convenabil să desemnați funcția "Igrek" și în unele prin "ef de x".

Mai întâi găsiți un derivat:

Sper că mulți s-au adaptat deja să găsească un astfel de derivați oral.

În a doua etapă, calculează valoarea derivatului la punctul:

Exemplu de încălzire mic pentru soluții de sine:

Exemplul 2.

La punctul

Soluția completă și răspunsul la sfârșitul lecției.

Necesitatea de a găsi un derivat la punct apare în următoarele sarcini: construirea unui tangent pentru grafica a unei funcții (alineatul următor), funcția de cercetare pentru extremum , funcții de studiu pentru grafica inflexală , studiul complet al funcției si etc.

Dar sarcina în cauză se găsește în munca de testare Și în sine. Și, de regulă, în astfel de cazuri funcția este dată destul de complicată. În acest sens, luați în considerare încă două exemple.

Exemplul 3.

Calculați funcția derivată La punct.
Mai întâi găsim un derivat:

Derivat, în principiu, a fost găsit și poate fi înlocuit cu valoarea dorită. Dar ceva de făcut acest lucru nu este prea asemănător. Expresia este foarte lungă, iar valoarea "x" este fracționată. Prin urmare, încercăm să simplificăm cât mai mult posibil derivatul nostru. În acest caz, vom încerca să conducem la totalul numitorilor în ultimii trei termeni:

Ei bine, un alt lucru. Calculăm valoarea derivatului la punctul:

În cazul în care nu sunteți clar cum se găsește instrumentul derivat, reveniți la primele două lecții de subiect. Dacă au apărut dificultăți (neînțelegeri) cu Arctangen și valorile sale, inainte de Examinați materialul metodic Diagrame și proprietăți ale funcțiilor elementare - Ultimul paragraf. Deoarece Arctshanks pe vârsta elevului este încă suficient.

Exemplul 4.

Calculați funcția derivată La punct.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă.

Afișarea conexiunii semnului derivatului cu caracterul monotonului funcției.

Vă rugăm să fiți extrem de atenți în cele ce urmează. Vedeți, programul a ceea ce puteți! Funcții sau derivatul său

Dacă este dat un program derivat, atunci veți fi interesați numai de semnele de funcții și zerouri. Nici un "delly" și "depresiuni" nu sunt interesați de noi în principiu!

Sarcina 1.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite în interval. Determinați numărul de numere întregi în care funcția derivată este negativă.

Decizie:

Figura este evidențiată de culoarea suprafeței de scădere a funcției:

În aceste domenii de scădere a funcției, 4 numere întregi se încadrează.

Sarcina 2.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite în interval. Găsiți numărul de puncte în care funcția tangentă funcției este paralelă cu direcția sau coincide cu ea.

Decizie:

Ori tangentă la funcția grafică paralelă (sau coincis) drept (sau, care este aceeași,) având coeficientul colțului egală cu zero, atunci tangentul are un coeficient unghiular.

Aceasta, la rândul său, înseamnă că axa tangențială paralelă, deoarece coeficientul unghiular este un tangent al unghiului de înclinare față de axă.

Prin urmare, găsim pe graficul punctului extremum (punctul maxim și punctul minim), - este în ele tangenți pentru grafica funcției vor fi paralele cu axa.

Astfel de puncte - 4.

Sarcina 3.

Figura prezintă un grafic al funcției derivate definită pe interval. Găsiți numărul de puncte în care funcția tangentă funcției este paralelă cu direcția sau coincide cu ea.

Decizie:

Întorcându-se la grafica funcției paralele (sau coincide) o direcție directă, având un coeficient unghiular, atunci tangentul are un coeficient unghiular.

Aceasta, la rândul său, înseamnă că, la punctul de atingere.

Prin urmare, ne uităm la câte puncte pe grafic au ordonat egal cu.

După cum puteți vedea, există patru astfel de puncte.

Sarcina 4.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite în interval. Găsiți numărul de puncte în care funcția derivată este 0.

Decizie:

Derivatul este zero la punctele extremum. Avem 4 dintre ele:

Sarcina 5.

Figura prezintă un program de funcții și unsprezece puncte pe axa Abscisa:. În câte dintre aceste puncte, funcția derivată este negativă?

Decizie:

La intervalele funcției, derivatul său are valori negative. Și funcția scade la puncte. Astfel de puncte 4.

Sarcina 6.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite în interval. Găsiți cantitatea de caracteristici ale punctelor extremum.

Decizie:

Puncte de extremum. - acestea sunt punctele maxime (-3, -1, 1) și punctele minime (-2, 0, 3).

Suma punctelor extremum: -3-1 + 1-2 + 0 + 3 \u003d -2.

Sarcina 7.

Figura prezintă un grafic al funcției derivate definită pe interval. Găsiți lacunele de creștere a funcției. Ca răspuns, specificați cantitatea de puncte întregi din aceste intervale.

Decizie:

Cifra a alocat goluri pe care funcția derivată este nonnegantică.

Nu există o creștere a gamei de creștere a punctelor întregi, există patru întreg în intervalul de importanță majoră: și.

Suma lor:

Sarcina 8.

Figura prezintă un grafic al funcției derivate definită pe interval. Găsiți lacunele de creștere a funcției. Ca răspuns, specificați lungimea celor mai mari dintre ele.

Decizie:

Figura este evidențiată de culoare toate lacunele pe care este pozitivă derivatul și, prin urmare, funcția în sine crește la aceste intervale.

Lungimea celui mai mare dintre ele este 6.

Sarcina 9.

Figura prezintă un grafic al funcției derivate definită pe interval. La ce punct segmentul are cea mai mare valoare.

Decizie:

Ne uităm la modul în care programul se comportă pe segment, și anume suntem interesați doar un semn al derivatului .

Semnul derivatului este minus, deoarece programul de pe acest segment este sub axa.