Cum funcționează metoda Gauss. Un exemplu de sistem incert

Continuăm să luăm în considerare sistemele ecuatii lineare. Această lecție este a treia pe această temă. Dacă sunteți vagi, imaginați-vă că un astfel de sistem de ecuații liniare, în general, se simte ca un ceainic, vă recomand să începeți cu OSS pe pagină mai utilă pentru a studia lecția.

Metoda Gauss este ușoară! De ce? Celebrul matematician german Johann Karl Friedrich Gauss a primit încă recunoașterea celei mai mari matematici din toate timpurile, geniul și chiar porecla "rege al matematicii". Și totul este ingenios, după cum știți - Doar!Apropo, nu numai fraierii obțin bani, dar și geniu - portretul lui Gausssa a fost preocupat de proiectul de lege la 10 DAIFFERS (înainte de introducerea monedei euro) și până acum, Gauss Milstely zâmbește în germanii de la timbrele obișnuite de poștale.

Metoda Gauss este simplă că există suficientă cunoaștere a celui de-al cincilea Greder pentru dezvoltarea sa. Trebuie să puteți plia și să multiplicați!Nu este întâmplător ca metoda de excludere consecventă a profesorilor necunoscuți să fie adesea luată în considerare pe facultatile matematice școlare. Paradox, dar studenții metodei Gauss provoacă cele mai mari dificultăți. Nimic uimitor este totul în tehnică și voi încerca într-un formular accesibil pentru a spune despre algoritmul metodei.

În primul rând, unele sistematizează cunoașterea sistemelor ecuațiilor liniare. Sistemul de ecuații liniare poate:

1) au singura soluție. 2) au multe soluții infinit. 3) să nu aibă soluții (să fie non-stop).

Metoda Gauss - instrumentul cel mai puternic și universal pentru găsirea unei soluții orice Sisteme de ecuații liniare. Cum ne amintim regula Cramer și metoda matricei Înțeles în cazurile în care sistemul are infinit de multe soluții sau inconsistente. Și metoda de excludere consecventă a necunoscută oricumne va conduce la răspunsul! În această lecție, considerăm din nou metoda Gauss pentru cazul numărul 1 (singura soluție a sistemului), un articol este atribuit în situația punctelor nr. 2-3. Observ că algoritmul metodei însăși în toate cele trei cazuri funcționează în mod egal.

Reveniți la K. sistemul cel mai simplu. De la lecție Cum de a rezolva un sistem de ecuații liniare? și rezolvarea metodei IT Gauss.

În prima etapă trebuie să înregistrați matricea extinsă a sistemului:. Ce principiu sunt înregistrate coeficienții, cred că toată lumea poate vedea. Caracteristica verticală din interiorul matricei nu are nici un sens matematic - este doar un desen pentru confortul designului.

referinţă : vă recomandăm să vă amintiți termeni algebră liniară. Matrice de sistem - Aceasta este o matrice, compilată numai de la coeficienți la necunoscută, în acest exemplu, o matrice de sistem: . Matricea sistemului extins - Aceasta este aceeași matrice a sistemului plus o coloană a membrilor liberi, în acest caz: . Oricare dintre matrice poate fi numită pur și simplu matrice pentru concurs.

După înregistrarea matricei de sistem extinse, este necesar să se efectueze unele acțiuni care sunt, de asemenea, numite transformări elementare.

Există următoarele transformări elementare:

1) Siruri de caractere Matrienii poate sa rearanja Locuri. De exemplu, în matricea luată în considerare, puteți rearanja fără durere prima și a doua linie:

2) Dacă există o matrice (sau apărută) proporțională (ca caz special - aceleași), atunci urmează Șterge Din matrice toate aceste linii, pe lângă una. Ia în considerare, de exemplu, matricea . În această matrice, ultimele trei linii sunt proporționale, deci este suficient să lăsați doar unul dintre ei: .

3) Dacă un șir zero a apărut în matrice în timpul conversiei, ar trebui, de asemenea, Șterge. Nu voi desena, este clar, linia zero este un șir în care unele zerouri.

4) Șirul matricei poate fi multiplicați (împărțit) Pentru orice număr non-zero.. Luați în considerare, de exemplu, matricea. Aici este recomandabil să împărțiți primul șir la -3, iar a doua linie este multiplicată cu 2: . Această acțiune este foarte utilă deoarece simplifică o altă conversie a matricei.

5) Această transformare determină cele mai mari dificultăți, dar de fapt nu există nimic complicat. La șirul matricei poate adăugați un alt șir multiplicat cu număruldiferite de zero. Luați în considerare matricea noastră dintr-un exemplu practic :. La început, voi scrie o conversie foarte detaliată. Înmulțim prima linie la -2: , I. la a doua linie, adăugați primul șir înmulțit cu -2: . Acum, prima linie poate fi împărțită "înapoi" la -2 :. După cum puteți vedea un șir care adaugă Minciună – neschimbat. Mereu Șirul se schimbă la care a fost adăugat Üt..

În practică, este atât de detaliată, desigur, nu pictează, dar scriu pe scurt: Încă o dată: la a doua linie a adăugat primul șir înmulțit cu -2. Șirul este de obicei oral sau pe un proiect, în timp ce cursul mental al calculelor este aproximativ așa:

"Am rescris matricea și rescriu primul șir: »

Prima coloană. În partea de jos am nevoie pentru a obține zero. Prin urmare, unitatea din partea de sus se înmulțește pe -2: și am adăugat prima la a doua linie: 2 + (-2) \u003d 0. Am scris rezultatul în al doilea șir: »

"Acum a doua coloană. TOP -1 Multiplicați pe -2 :. La a doua linie, am adăugat primul: 1 + 2 \u003d 3. Eu scriu rezultatul în al doilea șir: »

"Și cea de-a treia coloană. Top -5 Multiplicați pe -2 :. La linia a doua am adăugat primul: -7 + 10 \u003d 3. Eu scriu rezultatul în a doua linie: »

Vă rugăm să înțelegeți acest exemplu cu atenție și dispersați într-un algoritm de calcul consecutiv dacă înțelegeți acest lucru, atunci metoda Gauss este practic "în buzunar". Dar, bineînțeles, încă lucrăm la această transformare.

Transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații

Fotografiile! ATENŢIE: Au considerat manipularea nu pot folosiDacă vi se solicită sarcina în care matricele sunt date de "singur". De exemplu, la "Classic" acțiuni cu matrices. Ceva de rearanjare în interiorul matricelor în nici un caz! Să ne întoarcem la sistemul nostru. Este aproape dezasamblat în jurul oaselor.

Scriem o matrice extinsă de sistem și cu ajutorul transformărilor elementare pe care le oferim standard:

(1) A doua linie a adăugat primul șir înmulțit cu -2. Și din nou: De ce se înmulțește prima linie pe -2? Pentru a lua zero mai jos și, prin urmare, scăpați de o variabilă în a doua linie.

(2) Împărțăm al doilea șir cu 3.

Scopul transformărilor elementare – Conduceți o matrice la un pas de mai sus: . În proiectarea sarcinii, este direct întocmită cu o scară simplă "scară" și, de asemenea, frecați numerele cu cercuri situate pe "pașii". Termenul "aspect pas cu pas" nu este destul de teoretic, în literatura științifică și educațională pe care o numără adesea specie trapezoidă sau vedere triunghiulară.

Ca urmare a transformărilor elementare primite echivalent Sistemul inițial al ecuațiilor:

Acum, sistemul trebuie să "promoveze" în direcția opusă - de jos în sus, acest proces este numit Întoarcerea metodei Gauss.

În ecuația inferioară, avem un rezultat gata :.

Luați în considerare prima ecuație a sistemului și înlocuiți sensul deja cunoscut de "Igarek" în ea:

Luați în considerare cea mai frecventă situație atunci când metoda Gauss este necesară pentru a rezolva sistemul de trei ecuații liniare cu trei necunoscute.

Exemplul 1.

Rezolvați metoda Gauss a sistemului de ecuații:

Scriem o matrice extinsă de sistem:

Acum trag imediat rezultatul la care vom veni în timpul soluției: Și repet, scopul nostru - cu ajutorul transformărilor elementare, conduceți matricea la forma pasului. Unde să începeți acțiunile?

Mai întâi ne uităm la numărul de sus din stânga: Aproape întotdeauna ar trebui să fie aici unitate. În general, va aranja și -1 (și uneori alte numere), dar într-un fel a dezvoltat în mod tradițional că este de obicei plasat unul. Cum de a organiza o unitate? Ne uităm la prima coloană - unitatea terminată pe care o avem! Transformare În primul rând: Schimbăm prima și a treia linie în locuri:

Acum, prima linie va rămâne neschimbată până la sfârșitul deciziei. Acum bine.

Se organizează unitatea din colțul din stânga sus. Acum trebuie să obțineți zerouri în aceste locuri:

Zeros ajunge doar cu ajutorul unei transformări "dure". Mai întâi desemnați cu al doilea șir (2, -1, 3, 13). Ce trebuie făcut pentru a obține zero în prima poziție? Trebuie sa la a doua linie adăugați prima linie multiplicată cu -2. Mental sau pe un proiect multiplicare primul șir la -2: (-2, -4, 2, -18). Și efectuați în mod constant (din nou mental sau pe proiect), adăugarea, la a doua linie adăugați primul șir deja înmulțit cu -2:

Rezultatul este înregistrat în a doua linie:

În mod similar, se ocupă cu a treia linie (3, 2, -5, -1). Pentru a ajunge în prima poziție zero, aveți nevoie la a treia linie, adăugați primul șir multiplicat cu -3. Mental sau pe un proiect multiplicați primul șir la -3: (-3, -6, 3, -27). ȘI la a treia linie adăugați primul șir înmulțit cu -3:

Rezultatul este scris la a treia linie:

În practică, aceste acțiuni sunt de obicei efectuate oral și înregistrate într-un singur pas:

Nu este nevoie să luați în considerare totul imediat și în același timp. Procedura de calcule și rezultate " secvenţă Și de obicei, astfel: rescrieți mai întâi primul șir și lăsați-vă umflate - secvențial și CU GRIJA:
Am considerat deja cursul mental al calculelor.

În acest exemplu, este ușor de făcut, împărțim a doua linie la -5 (deoarece toate numerele sunt împărțite în 5 fără un reziduu). În același timp, împărțim a treia linie pe -2, deoarece cu atât numărul este mai mic, cu atât este mai ușor:

În etapa finală a transformărilor elementare, trebuie să obțineți un alt zero aici:

Pentru aceasta la a treia linie adăugați un al doilea șir înmulțit cu -2:
Încercați să dezasamblați această acțiune - multiplicați mental al doilea șir de pe -2 și faceți adăugați.

Ultima acțiune este coafura, împărțim cea de-a treia linie cu 3.

Ca urmare a transformărilor elementare, a fost obținut un sistem sursă echivalent de ecuații liniare: Misto.

Mișcarea inversă a metodei Gauss intră în vigoare. Ecuațiile sunt "relaxați" de jos în sus.

În a treia ecuație, avem deja un rezultat gata:

Ne uităm la a doua ecuație :. Valoarea "Zet" este deja cunoscută, deci:

Și în cele din urmă, prima ecuație :. "Igarek" și "Zet" sunt cunoscute, este mic:

Răspuns:

Așa cum a fost deja remarcat în mod repetat, este posibil ca orice sistem de ecuații și nevoia de a verifica soluția găsită, bună, este ușor și rapid.

Exemplul 2.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, un eșantion de design și răspuns curat la sfârșitul lecției.

Trebuie remarcat faptul că dvs. procedură poate să nu coincidă cu decizia mea de decizie, Și aceasta este caracteristica metodei Gauss.. Dar acum răspunsurile trebuie să fie egale cu același lucru!

Exemplul 3.

Rezolvați sistemul ecuațiilor liniare de către Gauss

Ne uităm la "pasul" superior stâng. Acolo trebuie să avem o unitate. Problema este că nu există unități în prima coloană, deci nimic pentru a rezolva permutarea rândurilor. În astfel de cazuri, trebuie să fie organizată utilizând o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Am făcut asta: (1) La prima linie se adaugă un al doilea șir înmulțit cu -1. Aceasta este, înmulțită mental a doua linie de pe -1 și a completat adăugarea primei și a doua linii, în timp ce nu am schimbat a doua linie.

Acum, în partea stângă în partea de sus a "minus unul" că este destul de potrivit. Cine vrea să obțină +1, poate efectua televiziune suplimentară: Înmulțiți primul șir pe -1 (schimbați semnul de la acesta).

(2) A doua linie a adăugat primul șir înmulțit cu 5. până la a treia linie adăugată primul șir înmulțit cu 3.

(3) Primul șir a fost înmulțit cu -1, în principiu, este pentru frumusețe. A treia linie a schimbat, de asemenea, semnul și l-au rearanjat pe locul al doilea, așa că în al doilea "pas am avut unitatea dorită.

(4) la a treia linie a adăugat un al doilea șir înmulțit cu 2.

(5) A treia linie a fost împărțită în 3.

O caracteristică proastă care indică o eroare în calcule (mai rar despre tastarea) este linia de jos "rea". Adică dacă eram în partea de jos, ceva asemănător și, în consecință, , Cu o probabilitate mare, se poate argumenta că se face o eroare în cursul transformărilor elementare.

Încărcarea mișcării inverse, în proiectarea exemplelor adesea nu rescriu sistemul în sine și ecuațiile "iau direct din matricea dată". Întoarce-te, îți amintesc, funcționează, jos în sus. Da, aici cadoul sa dovedit:

Răspuns: .

Exemplul 4.

Rezolvați sistemul ecuațiilor liniare de către Gauss

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, este oarecum mai complicată. Nimic teribil dacă cineva este confuz. Soluție completă și designul eșantionului la sfârșitul lecției. Decizia dvs. poate diferi de decizia mea.

În ultima parte, luați în considerare câteva caracteristici ale algoritmului Gauss. Prima caracteristică este că uneori nu există variabile în ecuațiile sistemului, de exemplu: Cum se înregistrează o matrice de sistem extinsă? Despre acest moment am vorbit deja la lecție Regula Cramer. Metoda matricei.. În matricea extinsă a sistemului de pe site-ul variabilelor lipsă, punem zerouri: Apropo, este destul exemplu simpluDeoarece în prima coloană există deja un zero și există mai puține transformări elementare.

A doua caracteristică constă în acest lucru. În toate exemplele luate în considerare, am plasat fie -1, fie +1. Pot exista alte numere acolo? În unele cazuri poate. Luați în considerare sistemul: .

Aici, pe "pasul" superior stâng, avem doi. Dar observăm faptul că toate numerele din prima coloană sunt împărțite în 2 fără un reziduu - și cealaltă de două ori și șase. Și Deuce rămase la vârf ne va potrivi! În primul pas, trebuie să efectuați următoarele transformări: pentru a adăuga primul șir multiplicat cu -1 la a doua linie; La a treia linie, adăugați primul șir multiplicat cu -3. Astfel, primim zerourile dorite în prima coloană.

Sau un alt exemplu condiționat: . Aici Troika pe al doilea "pas" este mulțumit de noi, deoarece 12 (locul în care avem nevoie pentru a obține zero) este împărțit la 3 fără un echilibru. Este necesar să se efectueze următoarea transformare: la a treia linie, adăugați un al doilea șir înmulțit cu -4, ca rezultat al zeroului de care avem nevoie.

Metoda Gaussian este universală, dar există o singură particularitate. Învață cu încredere să rezolve sistemele prin alte metode (folosind craterul, metoda matricei), este literalmente prima dată - există un algoritm foarte rigid. Dar, pentru a simți cu încredere în metoda Gauss, ar trebui să vă "umpleți mâna" și să întrerupeți cel puțin 5-10 zece sisteme. Prin urmare, este posibilă confuzia, erorile în calcule și nu este nimic neobișnuit sau tragic.

Vremea de toamnă ploioasă în afara ferestrei .... Prin urmare, pentru toți cei care doresc un exemplu mai complex pentru o soluție independentă:

Exemplul 5.

Pentru a rezolva metoda Gauss de 4 ecuații liniare cu patru necunoscute.

O astfel de sarcină în practică nu este atât de rară. Cred că chiar și un ceainic care a studiat în detaliu această pagină, algoritmul pentru rezolvarea unui astfel de sistem este înțeles intuitiv. În principiu, totul este același - doar mai multă acțiune.

Cazuri în care sistemul nu are soluții (inconsecvente) sau are infinit de multe soluții, luate în considerare în lecție Invobente și sisteme cu o soluție generală. Acolo puteți consolida, de asemenea, algoritmul considerat al metodei Gauss.

Vă doresc succes!

Soluții și răspunsuri:

Exemplul 2: Decizie : Scriem matricea expandată a sistemului și cu ajutorul transformărilor elementare pe care le oferim la o formă treptată.
Efectuați transformări elementare: (1) A doua linie a adăugat primul șir înmulțit cu -2. La a treia linie a adăugat primul șir înmulțit cu -1. Atenţie! Aici, poate exista o ispită de la a treia linie pentru a scădea primul, nu am recomandat extrem de deducerea - riscul de eroare este puternic în creștere. Doar ori! (2) A doua linie a schimbat semnul (înmulțit cu -1). Al doilea și al treilea rând schimbat locurile. Notă Că pe "pașii" este mulțumit de noi nu numai de unitate, ci și -1, care este și mai convenabil. (3) La a treia linie, a adăugat un al doilea șir înmulțit cu 5. (4) A doua linie a schimbat semnul (înmulțit cu -1). A treia linie a fost împărțită în 14.

Întoarcere:

Răspuns : .

Exemplul 4: Decizie : Scriem matricea expandată a sistemului și cu ajutorul transformărilor elementare le oferim tipului de etape:

Conversia efectuată: (1) A doua linie a fost adăugată la al doilea. Astfel, unitatea dorită este organizată pe "pasul" superior stâng. (2) A doua linie a fost adăugată la primul șir înmulțit cu 7. la a treia linie adăugată prima linie multiplicată cu 6.

Cu al doilea "pas" este mai rău , "Candidați" pe IT - numerele 17 și 23 și avem nevoie fie una singură, fie -1. Transformarea (3) și (4) va avea ca scop obținerea unității dorite (3) La a treia linie a adăugat al doilea, multiplicat cu -1. (4) A doua linie a adăugat al treilea, multiplicat cu -3. Lucrul dorit la al doilea pas este obținut . (5) La a treia linie a adăugat al doilea, înmulțit cu 6. (6) A doua linie a fost multiplicată cu -1, a treia linie a fost împărțită în -83.

Întoarcere:

Răspuns :

Exemplul 5: Decizie : Scriem matricea sistemului și cu ajutorul transformărilor elementare pe care le oferim la tipul pasului:

Conversia efectuată: (1) Prima și a doua linie au schimbat locurile. (2) A doua linie a adăugat primul șir înmulțit cu -2. La a treia linie a adăugat prima linie multiplicată cu -2. La linia a patra a adăugat primul șir multiplicat cu -3. (3) La a treia linie adăugată a doua, înmulțită cu 4. la linia a patra a adăugat al doilea, înmulțit cu -1. (4) A doua linie a schimbat semnul. Cel de-al patrulea șir a fost împărțit în 3 și plasat în loc de a treia linie. (5) A patra linie a adăugat a treia linie multiplicată cu -5.

Întoarcere:

Răspuns :

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda Gauss.Să avem nevoie să găsim un sistem de soluții de la n. Ecuații liniare S. n. Variabile necunoscute
Determinantul matricei principale este diferit de zero.

Esența metodei Gauss Se compune în excluderea secvențială a variabilelor necunoscute: mai întâi exclusă x 1. Din toate ecuațiile sistemului, începând de la al doilea, apoi excluse x 2.dintre toate ecuațiile, începând de la al treilea, și așa mai departe, până când variabila necunoscută va rămâne în ultima ecuație. x N.. Un astfel de proces de conversie a ecuațiilor de sistem pentru excluderea consecventă a variabilelor necunoscute este numită rularea directă a metodei Gauss. După finalizarea mișcării directe a metodei Gauss din ultima ecuație este x N.Cu această valoare din ecuația penultimă calculată x n-1, și așa mai departe, de la prima ecuație este x 1.. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la conducerea din ultima ecuație a sistemului la prima se numește Întoarcerea metodei Gauss.

Descrieți pe scurt un algoritm pentru a exclude variabilele necunoscute.

Vom presupune că, deoarece putem obține întotdeauna această permutare a ecuațiilor sistemului. Să excludem o variabilă necunoscută x 1. Din toate ecuațiile sistemului, începând de la al doilea. Pentru a face acest lucru, a doua ecuație a sistemului va adăuga primul, înmulțit cu, la a treia ecuație, adaugă primul, înmulțit cu, și așa mai departe, la n-ouecuația va adăuga prima înmulțire cu. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde un. .

La același rezultat, am fi venit dacă ar fi exprimat x 1. Prin alte variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și expresia rezultată substituită în toate celelalte ecuații. Astfel, variabilă x 1. excluse din toate ecuațiile începând de la al doilea.

Apoi, acționăm, de asemenea, dar numai cu o parte a sistemului obținut, care este marcat în figură

Pentru a face acest lucru, la a treia ecuație a sistemului va adăuga a doua, înmulțită cu, la a patra ecuație pentru a adăuga al doilea, înmulțit cu, și așa mai departe, la n-ouecuația va adăuga a doua înmulțită cu. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde un. . Astfel, variabilă x 2. Excluse din toate ecuațiile începând de la al treilea.

Apoi, procedați la excepția unui necunoscut x 3.În timp ce acționează în mod similar cu partea din sistem marcată în figura

Așadar, vom continua mișcarea directă a metodei Gauss în timp ce sistemul nu ia

Din acel moment, începem cursul invers al metodei Gauss: calculați x N. Din ultima ecuație, cum, folosind rezultatul x N. Găsi x n-1 Din ecuația penultimă și așa mai departe, găsim x 1. De la prima ecuație.

Exemplu.

Decideți sistemul ecuațiilor liniare Metoda Gauss.

Lăsați setul de sistem liniar ecuații algebriceCare trebuie rezolvate (găsiți astfel de valori ale Xi necunoscut, care adaugă fiecare ecuație a sistemului în egalitate).

Știm că sistemul ecuațiilor algebrice liniare poate:

1) să nu aibă soluții (să fie non-stop).
2) au multe soluții infinit.
3) să aibă o singură soluție.

După cum ne amintim, regula Cramer și metoda matricei sunt produse în cazurile în care sistemul are infinit o mulțime de soluții sau incomplete. Metoda Gauss. – cel mai puternic și universal instrument pentru găsirea unei soluții de orice sistem de ecuații liniare, pe care. in fiecare cazne va conduce la răspunsul! Algoritmul metodei însăși în toate cele trei cazuri funcționează în mod egal. Dacă cunoașterea factorilor determinanți sunt necesari în metodele Cramer și în matrice, atunci cunoașterea numai a acțiunii aritmetice este necesară pentru a utiliza metoda Gauss, ceea ce îl face accesibil chiar și pentru elevii de școală primară.

Convertirea unei matrice extinse ( aceasta este matricea sistemului - o matrice, compilată numai de la coeficienți la Unknown, plus o coloană a membrilor liberi)ecuații algebrice liniare în metoda Gauss:

1) din troch Matrienii poate sa rearanjalocuri.

2) Dacă matricea a apărut (sau acolo) proporțională (ca caz special - aceleași) linii, atunci Șterge Din matrice toate aceste linii, pe lângă una.

3) Dacă un șir zero a apărut în matrice în timpul conversiei, ar trebui, de asemenea, Șterge.

4) Șirul matricei poate fi multiplicați (împărțit)pentru orice alt număr decât zero.

5) la șirul matricei adăugați un alt șir multiplicat cu număruldiferite de zero.

În metoda Gauss, transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații.

Metoda Gauss constă din două etape:

1. "Cursa directă" - cu ajutorul transformărilor elementare, conduceți o matrice extinsă a unui sistem de ecuații algebrice liniare la etapa "triunghiulară": elementele matricei extinse, situate sub diagonala principală, sunt zero (deplasarea "top- jos"). De exemplu, la această specie:

Pentru a face acest lucru, procedați în felul următor:

1) Să luăm în considerare prima ecuație a unui sistem de ecuații algebrice liniare și coeficientul de la X1 este K. al doilea, al treilea etc. Ecuațiile se convertesc după cum urmează: fiecare ecuație (coeficienți la necunoscută, inclusiv termenii liberi) împărțiți pe coeficientul la un x 1 necunoscut, care este în fiecare ecuație și se înmulțește pe K. După aceea, de la a doua ecuație (coeficienți cu un necunoscut și Membrii liberi), scădem mai întâi. Obținem la X1 în a doua ecuație, coeficientul de 0. Din cea de-a treia ecuație transformată, trimitem prima ecuație, atâta timp cât toate ecuațiile, cu excepția primului, cu un x 1 necunoscut, nu vor avea un coeficient de 0 .

2) Du-te la următoarea ecuație. Lăsați-o să fie a doua ecuație și coeficientul de la X2 este M. cu toate ecuațiile "nivel inferior" în același mod ca cele descrise mai sus. Astfel, "sub" necunoscut x 2 în toate ecuațiile va zero.

3) Du-te la următoarea ecuație și așa mai departe înainte de a ajunge până când rămâne un ultim element liber necunoscut și transformat.

1. Metoda "Return" a Gauss - Obținerea unei soluții a unui sistem de ecuații algebrice liniare (accident vascular cerebral "de jos în sus). De la ultima ecuație "inferioară", obținem o primă soluție - un x n. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația elementară a * x n \u003d V. în exemplul de mai sus, x 3 \u003d 4. Înlocuim valoarea găsită în "partea superioară" următoarea ecuație și rezolvați-o în raport cu următorul necunoscut. De exemplu, x 2 - 4 \u003d 1, adică X 2 \u003d 5. Și până când găsim tot necunoscut.

Exemplu.

Apreciem sistemul ecuațiilor liniare prin metoda Gauss, așa cum sfătuiesc unii autori:

Scriem matricea expandată a sistemului și cu ajutorul transformărilor elementare le oferim tipului de etape:

Ne uităm la "pasul" superior stâng. Acolo trebuie să avem o unitate. Problema este că nu există unități în prima coloană, deci nimic pentru a rezolva permutarea rândurilor. În astfel de cazuri, trebuie să fie organizată utilizând o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Să o facem:
1 pas . La prima linie se adaugă al doilea șir înmulțit cu -1. Aceasta este, înmulțită mental a doua linie de pe -1 și a completat adăugarea primei și a doua linii, în timp ce nu am schimbat a doua linie.

Acum, în partea stângă în partea de sus a "minus unul" că este destul de potrivit. Cine vrea să obțină +1, poate efectua o acțiune suplimentară: Înmulțiți primul șir de pe -1 (schimbați semnul de la acesta).

2 pasul . La a doua linie adăugată prima linie multiplicată cu 5. până la a treia linie adăugată primul șir înmulțit cu 3.

3 pasul . Prima linie a fost multiplicată cu -1, în principiu, este pentru frumusețe. A treia linie a schimbat, de asemenea, semnul și l-au rearanjat pe locul al doilea, așa că în al doilea "pas am avut unitatea dorită.

4 pasul . A treia linie a adăugat un al doilea șir înmulțit cu 2.

5 pasul . A treia linie a fost împărțită în 3.

Caracteristica care indică o eroare la calcule (mai presus de des despre tastarea) este linia de jos "rea". Adică dacă am avea ceva de genul ceva de genul (0 0 11 | 23), și, respectiv, 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, apoi cu o mare parte a probabilității, se poate argumenta că este permisă o eroare în timpul transformărilor elementare.

Realizăm mișcarea opusă, în proiectarea exemplelor adesea nu rescriu sistemul însuși, iar ecuațiile "iau direct din matricea de mai sus". Întoarceți, reamintesc, funcționează "de jos în sus". În acest exemplu, un cadou sa dovedit:

x 3 \u003d 1
X 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, prin urmare x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Răspuns: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Lăsați același sistem pe algoritmul propus. A primi

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Împărțim cea de-a doua ecuație pe 5, iar al treilea - de 3. Obținem:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Înmulțiți a doua și a treia ecuații pentru 4, primim:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Abonați-vă de la a doua și a treia ecuații Prima ecuație, avem:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Împărțim cea de-a treia ecuație cu 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Înmulțiți cea de-a treia ecuație cu 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

A doua ecuație va fi scăzută din a treia ecuație, obținem o matrice extinsă "pas cu pas":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Astfel, deoarece eroarea a fost acumulată în procesul de calcul, obținem x 3 \u003d 0,96 sau aproximativ 1.

x 2 \u003d 3 și x 1 \u003d -1.

Slimmarea în acest fel, nu vă confundați niciodată în calcule și, în ciuda erorilor de calcul, obțineți rezultatul.

Această metodă de soluționare a unui sistem de ecuații algebrice liniare este ușor de programat și nu ia în considerare caracteristicile specifice ale coeficienților necunoscuți, deoarece în practică (în calcule economice și tehnice), este necesar să se ocupe de coeficienții neuroli.

Vă doresc succes! Ne vedem la ore! Tutor Dmitri Iistakhanov.

site-ul, cu copierea completă sau parțială a referinței materiale la sursa originală este necesară.

În acest articol, metoda este considerată o metodă de soluționare a sistemelor de ecuații liniare (Slava). Metoda este analitică, adică vă permite să scrieți un algoritm de soluție în general, apoi înlocuiți valorile de acolo din exemple specifice. Spre deosebire de metoda sau formulele matricei, la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare, metoda Gauss poate fi de asemenea operată cu cele care au soluții infinit foarte mult. Sau nu o aveți deloc.

Ce înseamnă să rezolvați metoda Gauss?

În primul rând, trebuie să scrieți sistemul nostru de ecuații pentru a arăta așa. Sistemul este luat:

Coeficienții sunt înregistrați sub forma unei mese și în partea dreaptă a unui membru separat de coloană. O coloană cu membri liberi este separată pentru confortul unei matrice, care include această coloană, se numește extinsă.

Apoi, matricea principală cu coeficienți ar trebui adusă la forma triunghiulară superioară. Acesta este punctul principal al soluției de sistem de către Gauss. Pur și simplu puneți, după anumite manipulări, matricea ar trebui să arate astfel încât unele zerouri să se afle în partea inferioară stângă:

Apoi, dacă scrieți o nouă matrice din nou ca un sistem de ecuații, se poate observa că, în ultima linie, acesta conține deja valoarea uneia dintre rădăcini, care este apoi substituită în ecuația de mai sus, este o altă rădăcină și așa pe.

Această descriere a soluției prin metoda Gauss în cel mai mult caracteristici generale. Și ce se întâmplă dacă dintr-o dată sistemul nu are nicio soluție? Sau sunt infinit foarte mult? Pentru a răspunde la aceste și mai multe întrebări, este necesar să se ia în considerare separat toate elementele utilizate prin rezolvarea metodei Gauss.

Matricele, proprietățile lor

Nu există nici un sens ascuns în matrice. E simplu calea convenabilă Înregistrări de date pentru operațiunile ulterioare cu acestea. Nici măcar nu trebuie să se teamă de elevii.

Matricea este întotdeauna dreptunghiulară, deoarece este atât de convenabilă. Chiar și în metoda Gauss, unde totul coboară la construcția unei matrice triunghiulare, în record apare un dreptunghi numai cu zerouri pe locul unde nu există numere. Zero-urile nu pot fi înregistrate, dar sunt destinate.

Matricea este de dimensiune. "Lățimea" este numărul de rânduri (m), "lungime" - numărul de coloane (n). Apoi, dimensiunea matricei A (pentru desemnarea lor, literele latine de capital sunt utilizate în mod obișnuit) va fi notată ca un m × n. Dacă m \u003d n, atunci această matrice este pătrată și m \u003d n este comanda sa. În consecință, orice element al matricei A poate fi notat prin numărul rândului și coloanei sale: a XY; X - Numărul rândului, variază, y - numărul coloanei, variază.

B nu este punctul principal al deciziei. În principiu, toate operațiunile pot fi efectuate direct cu ecuațiile în sine, dar înregistrarea se va întoarce mult mai greoaie și va fi mult mai ușor de confundat.

Determinant

Totuși, matricea are un determinant. Aceasta este o caracteristică foarte importantă. Nu merită să vă aflați că nu merită, puteți arăta pur și simplu cum se calculează și apoi spuneți ce proprietăți ale matricei pe care le determină. Cea mai ușoară modalitate de a găsi determinantul - prin diagonală. Diagonale imaginare sunt efectuate în matrice; Elementele de pe fiecare dintre ele se înmulțesc și apoi lucrările obținute sunt pliate: diagonalele cu o pantă spre dreapta - cu un semn "plus", cu o pantă spre stânga - cu un semn "minus".

Este extrem de important să rețineți că determinantul poate fi calculat numai la matricea pătrată. Pentru o matrice dreptunghiulară, puteți face următoarele: de la numărul de rânduri și numărul de coloane pentru a alege cel mai mic (lăsați-l K), iar apoi în matrice este notat aleatoriu de coloanele K și rândurile lui K. Elementele care sunt pe intersecția coloanelor și rândurilor selectate vor face o nouă matrice pătrată. Dacă determinantul unei astfel de matrice este un alt număr decât zero, acesta va fi numit minor de bază al matricei originale dreptunghiulare.

Înainte de a continua soluționarea sistemului de ecuații de către Gauss, nu împiedică identificatorul. Dacă se dovedește a fi zero, puteți spune imediat că matricea are numărul de soluții sau infinit sau nu există. Într-un astfel de caz trist, trebuie să mergeți mai departe și să recunoașteți despre rangul matricei.

Clasificarea sistemului

Există un astfel de concept ca rangul matricei. Aceasta este ordinea maximă a determinantului său, altele decât zero (dacă vă amintiți despre minorul de bază, se poate spune că rangul matricei este ordinea minorului de bază).

Prin modul în care lucrurile se ocupă de rang, puteți împărți slick-ul pe:

• Comun. W. Sistemele de rang colaborativ ale matricei principale (care constau numai din coeficienți) coincide cu rangul de extins (cu o coloană de membri liberi). Astfel de sisteme au o soluție, dar opțional unul, în plus, sistemele de îmbinare sunt împărțite în:
• - definit - având o singură decizie. În anumite sisteme, cârpa matricei și numărul de necunoscuți (sau numărul de coloane, care este același);
• - incert - Cu un număr infinit de soluții. Rangul de matrice în astfel de sisteme este mai mic decât numărul de necunoscut.
• Incomplet. W. Aceste domenii de sisteme ale matricelor principale și extinse nu coincid. Soluțiile Dysflower nu au.

Metoda Gauss este bună deoarece permite în timpul soluției să obțină fie dovada neechivocă a incompletenței sistemului (fără a calcula determinanții matricelor mari) sau soluția în formă generală pentru un sistem infinit de soluții.

Transformări elementare

Înainte de a continua să rezolvați sistemul, acesta poate fi făcut mai puțin greoi și mai convenabil pentru calcul. Acest lucru se realizează prin transformări elementare - astfel încât execuția lor să nu schimbe răspunsul final. Trebuie remarcat faptul că unele dintre transformările elementare de mai sus sunt valabile numai pentru matrice, sursele de care au servit exact sclava. Iată o listă a acestor transformări:

1. Linii rearanjate. Evident, dacă în înregistrarea sistemului pentru a schimba ordinea ecuațiilor, atunci nu va afecta soluția. În consecință, în matricea acestui sistem puteți schimba și liniile, nu uitați, desigur, despre coloana membrilor liberi.
2. Multiplicând toate elementele rând pe un coeficient. De mare ajutor! Cu aceasta, puteți reduce numerele mari în matrice sau puteți elimina ZEROS. Multe soluții, ca de obicei, nu se vor schimba, iar operațiunile ulterioare vor fi mai convenabile. Principalul lucru este că coeficientul nu este zero.
3. Îndepărtarea rândurilor cu coeficienți proporționali. Acest lucru este parțial rezultat din punctul anterior. Dacă două sau mai multe rânduri din matrice au coeficienți proporționali, atunci când se înmulțește / împărțiți unul dintre rândurile la coeficientul proporțional, două (sau, din nou, mai mult) sunt linii complet identice și puteți elimina în plus, lăsând doar unul.
4. Eliminați șirul zero. Dacă în timpul transformărilor undeva sa dovedit un șir în care toate elementele, inclusiv un membru gratuit, zero, apoi un astfel de șir pot fi numiți zero și aruncați din matrice.
5. Ajustarea la elementele unei linii a elementelor altora (conform coloanelor corespunzătoare) înmulțite cu un anumit coeficient. Cea mai incomodă și cea mai importantă transformare a tuturor. Ar trebui să facă parte mai mult.

Refregerea unui șir înmulțit cu coeficientul

Pentru simplitatea înțelegerii, merită dezasamblarea acestui proces în pași. Două linii din matrice sunt luate:

a 11 A 12 ... A 1N | B1.

a 21 A 22 ... A 2N | B 2.

Să presupunem că este necesar să se adauge primul la al doilea, înmulțit cu coeficientul "-2".

a "21 \u003d A 21 + -2 × A 11

a "22 \u003d A 22 + -2 × A 12

a "2N \u003d A 2N + -2 × A 1N

Apoi, în matrice, a doua linie este înlocuită cu una nouă, iar primele rămân neschimbate.

a 11 A 12 ... A 1N | B1.

a "21 A" 22 ... A "2N | B 2

Trebuie remarcat faptul că coeficientul de multiplicare poate fi ales astfel încât, ca urmare a adăugării a două linii, unul dintre elementele noii linii a fost zero. Prin urmare, este posibil să se obțină o ecuație în sistem, unde unul necunoscut va fi mai mic. Și dacă obțineți două astfel de ecuații, atunci operația poate fi făcută din nou și obțineți ecuația care va conține deja două necunoscute mai puțin. Și dacă de fiecare dată se transformă în un coeficient zero în toate liniile, care este sub original, atunci puteți, ca de-a lungul pașilor, mergeți până la matricea foarte nasului și obțineți o ecuație cu unul necunoscut. Aceasta se numește rezolvarea sistemului de către Gauss.

În general

Să fie un sistem. Are ecuații M și n rădăcini-necunoscute. Înregistrați-l după cum urmează:

Matricea principală este compilată din coeficienții de sistem. O coloană de membri liberi este adăugată la matricea extinsă și, pentru confort, este separată de o caracteristică.

• prima linie a matricei este înmulțită cu coeficientul K \u003d (-A 21 / A 11);
• primul șir modificat și cea de-a doua linie a matricei sunt pliate;
• În locul celui de-al doilea rând din matrice, se introduce rezultatul adăugării din paragraful anterior;
• acum, primul coeficient din noua linia secundară este de 11 × (-A 21 / A 11) + A 21 \u003d -A 21 + A 21 \u003d 0.

Acum se efectuează aceeași serie de transformări, sunt implicate numai primele și cele trei linii. În consecință, în fiecare etapă a algoritmului, elementul A 21 este înlocuit cu 31. Apoi totul se repetă pentru un 41, ... A M1. Ca rezultat, se obține o matrice, unde în liniile primului element este zero. Acum trebuie să uitați de șirul numărul unu și să efectuați același algoritm pornind de la a doua linie:

• coeficientul k \u003d (-a 32 / A 22);
• cu șirul "curent" pliază cea de-a doua linie modificată;
• rezultatul adăugării este substituit în al treilea, al patrulea și așa mai departe, iar primul și al doilea rămân neschimbat;
• În liniile matricei, primele două elemente sunt zero.

Algoritmul trebuie repetat până când se apară coeficientul k \u003d (-a m, m-1 / A mm)). Aceasta înseamnă că ultima dată algoritmul a fost efectuat numai pentru ecuația inferioară. Acum, matricea arata ca un triunghi sau are o forma pasitata. În linia de jos există egalitate un mn × x n \u003d b m. Coeficientul și elementul liber sunt cunoscute și rădăcina este exprimată prin ele: x n \u003d b m / a mn. Rădăcina rezultată este substituită în șirul superior pentru a găsi x N-1 \u003d (B M-1 - un M-1, N × (B M / A MN)) ÷ A M-1, N-1. Și așa mai departe, prin analogie: În fiecare linie următoare, există o nouă rădăcină și, după ce am ajuns la "Top" al sistemului, puteți găsi multe soluții. Va fi singurul.

Când nu există soluții

Dacă, într-una din liniile matrice, toate elementele, în plus față de membrul liber, sunt zero, ecuația corespunzătoare acestei linii arată ca 0 \u003d b. Nu are nicio soluție. Și deoarece o astfel de ecuație este închisă în sistem, numeroasele soluții ale întregului sistem sunt goale, adică este degenerată.

Când soluțiile sunt o sumă infinită

Se poate dovedi că în matricea triunghiulară redusă nu există rânduri cu un coeficient de element al ecuației și un membru fără un singur membru. Există doar astfel de linii care, atunci când rescriind, ar avea tipul de ecuație cu două sau mai multe variabile. Deci, sistemul are un număr infinit de soluții. În acest caz, răspunsul poate fi dat ca o soluție generală. Cum să o facă?

Toate variabilele din matrice sunt împărțite în bază și liberă. Bazele sunt cele care stau "cu marginea" rândurilor într-o matrice pasitată. Restul sunt gratuite. În soluția generală, variabilele de bază sunt înregistrate gratuit.

Pentru comoditate, matricea corespunde mai întâi sistemului de ecuații. Apoi, în ultima, unde a rămas o singură variabilă de bază, rămâne pe de o parte, și orice altceva este transferat la altul. Acest lucru se face pentru fiecare ecuație cu o variabilă de bază. Apoi, în ecuațiile rămase, unde este posibil, în loc de variabila de bază, expresia obținută pentru acesta este substituită. Dacă, ca rezultat, a apărut o expresie care conține din nou o singură variabilă de bază, aceasta exprimă din nou de acolo și așa mai departe până când fiecare variabilă de bază este înregistrată ca o expresie cu variabile gratuite. Aceasta este o soluție generală la Slava.

De asemenea, puteți găsi soluția de bază de bază - pentru a da valori cu variabile gratuite și apoi pentru acest caz particular, se consideră că calculează valorile variabilelor de bază. Soluțiile private pot fi aduse infinit foarte mult.

Soluție pe exemple specifice

Iată sistemul de ecuații.

Pentru comoditate, este mai bine să-i facă imediat matricea

Se știe că la rezolvarea metodei Gauss, ecuația corespunzătoare primului șir va rămâne neschimbată la sfârșitul transformărilor. Prin urmare, va fi mai profitabil dacă elementul superior stâng al matricei este cel mai mic - atunci primele elemente ale liniilor rămase după operații se vor transforma în zero. Deci, în matricea compusă, va fi profitabilă pentru prima linie pentru a pune a doua linie.

a doua linie: K \u003d (-A 21 / A 11) \u003d (-3/1) \u003d -3

a "21 \u003d A 21 + K × A 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a "22 \u003d A 22 + K × A 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a "23 \u003d 23 + K × A 13 \u003d 1 + (-3) × 4 \u003d -11

b "2 \u003d B 2 + K × B 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

al treilea rând: K \u003d (-A 3 1 / A 11) \u003d (-5/1) \u003d -5

a "3 1 \u003d A 3 1 + K × A 11 \u003d 5 + (-5) × 1 \u003d 0

a "3 2 \u003d A 3 2 + K × A 12 \u003d 1 + (-5) × 2 \u003d -9

a "3 3 \u003d A 33 + K × A 13 \u003d 2 + (-5) × 4 \u003d -18

b "3 \u003d B 3 + K × B 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Acum, pentru a nu fi confuz, trebuie să înregistrați o matrice cu rezultate intermediare ale transformărilor.

Evident, o astfel de matrice poate fi făcută mai convenabilă pentru percepție folosind unele operații. De exemplu, de la a doua linie, puteți elimina toate "minusurile", multiplicând fiecare element pe "-1".

De asemenea, merită remarcat faptul că în a treia linie toate elementele sunt multiple trei. Apoi, puteți reduce șirul la acest număr, multiplicând fiecare element la "-1/3" (minus - în același timp pentru a elimina valorile negative).

Arată mult mai plăcută. Acum este necesar să lași primul șir singur și să lucrați cu al doilea și al treilea. Sarcina este de a adăuga la a treia linie a doua, înmulțită cu un astfel de coeficient, astfel încât elementul A 32 devine zero.

k \u003d (-A 32 / A 22) \u003d (-3/7) \u003d -3/7 (Dacă în timpul unor transformări ca răspuns, nu sa dovedit a fi un număr întreg, se recomandă respectarea preciziei calculelor pentru ao lăsa "Așa cum este", sub forma unui Fusi obișnuit și numai mai târziu, când răspunsurile primite, decideți dacă merită rotunjind și traduceți într-o altă formă de înregistrare)

a "32 \u003d A 32 + K × A 22 \u003d 3 + (-3/7) × 7 \u003d 3 + (-3) \u003d 0

a "33 \u003d A 33 + K × A 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d B 3 + K × B 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matricea cu valori noi este înregistrată din nou.

După cum se poate vedea, matricea rezultată are deja un aspect pasul. Prin urmare, nu sunt necesare transformări suplimentare ale metodei Gauss. Ceea ce puteți face aici este să eliminați coeficientul total "-1/7" de la a treia linie.

Acum totul este frumos. Este mic - ardeți matricea din nou sub forma unui sistem de ecuații și calculați rădăcinile

x + 2Y + 4Z \u003d 12 (1)

7Y + 11Z \u003d 24 (2)

Acest algoritm pentru care rădăcinile vor fi numite acum în metoda Gauss. În ecuația (3) conține z:

y \u003d (24 - 11 × (61/9)) / 7 \u003d -65/9

Iar prima ecuație vă permite să găsiți X:

x \u003d (12 - 4Z - 2Y) / 1 \u003d 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) \u003d -6/9 \u003d -2/3

Un astfel de sistem avem dreptul de a numi în comun, și chiar sigur, adică o decizie unică. Răspunsul este scris în formularul de mai jos:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Un exemplu de sistem incert

O opțiune pentru rezolvarea unui sistem specific prin metoda Gauss este dezasamblată, acum este necesar să se ia în considerare cazul dacă sistemul este incert, adică puteți găsi infinit o mulțime de soluții.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 \u003d 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 \u003d -2 (2)

x2 + 2X 3 + 2X 4 + 6X 5 \u003d 23 (3)

5X 1 + 4X 2 + 3X 3 + 3X 4 - X 5 \u003d 12 (4)

Tipul de sistem în sine este deja alarmant, deoarece numărul de Nunknown N \u003d 5 și rangul matricei sistemului este deja cu precizie mai mic decât acest număr, deoarece numărul de rânduri m \u003d 4, adică cea mai mare ordine din pătratul pătrat - 4. Deci, soluțiile există un set infinit și trebuie să căutăm vederea sa generală. Metoda Gauss pentru ecuațiile liniare vă permite să faceți acest lucru.

În primul rând, ca de obicei, este compilată o matrice extinsă.

A doua linie: Coeficientul K \u003d (-A 21 / A 11) \u003d -3. În a treia linie, primul element este înainte de transformări, deci nu trebuie să atingeți nimic, este necesar să plecați așa cum este. Linia a patra: K \u003d (-A 4 1 / A 11) \u003d -5

Înmulțirea elementelor primei linii pentru fiecare dintre coeficienții lor la rândul lor și pliați cu rândurile dorite, obținem matricea de tipul următor:

După cum puteți vedea, al doilea, al treilea și al patrulea liniile constau din elemente proporționale unul cu celălalt. Al doilea și al patrulea este, în general, același, astfel încât unul dintre ele poate fi îndepărtat imediat, iar restul se înmulțește la coeficientul "-1" și să obțină numărul liniei 3. și din nou de la două linii identice pentru a lăsa unul.

Sa dovedit o astfel de matrice. Sistemul nu a fost încă înregistrat, este necesar să se determine variabilele de bază aici - în picioare cu coeficienți A 11 \u003d 1 și un 22 \u003d 1 și gratuit - toate celelalte.

În cea de-a doua ecuație există o singură variabilă de bază - X2. Aceasta înseamnă că poate fi exprimată de acolo prin scrierea prin variabilele x 3, x 4, x 5, care sunt libere.

Înlocuim expresia rezultată în prima ecuație.

Sa dovedit ecuația în care singura variabilă de bază - X1. Facem același lucru cu el ca și cu x 2.

Toate variabilele de bază, care sunt două, sunt exprimate în trei gratuite, acum puteți scrie răspunsul în formă generală.

De asemenea, puteți specifica una dintre soluțiile private ale sistemului. Pentru astfel de cazuri, de regulă, zerourile sunt alese ca valori pentru variabilele gratuite. Apoi răspunsul va fi:

16, 23, 0, 0, 0.

Un exemplu de sistem incompatibil

Soluția sistemelor incomplete de ecuații prin metoda Gauss este cea mai rapidă. Se termină imediat de îndată ce unul dintre pași este obținut ecuația care nu are nicio soluție. Aceasta este, o scenă cu calculul rădăcinilor, o lungă și viguroasă, dispare. Se ia în considerare următorul sistem:

x + Y - Z \u003d 0 (1)

2x - y - z \u003d -2 (2)

4x + y - 3z \u003d 5 (3)

Ca de obicei, matricea este compilată:

Și conduce la pasul:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

După prima transformare din a treia linie conține ecuația speciilor

nu soluții. În consecință, sistemul este incomplet, iar răspunsul va fi setat gol.

Avantajele și dezavantajele metodei

Dacă alegeți ce metodă de a rezolva zgomotul pe hârtie cu un mâner, atunci metoda care a fost luată în considerare în acest articol pare foarte atractivă. În transformările elementare, este mult mai dificil să se confunde decât dacă se întâmplă dacă trebuie să căutați un factor determinant sau o matrice inversă manuală. Cu toate acestea, dacă utilizați programe pentru a lucra cu date de acest tip, de exemplu, foi de calcul, se pare că, în astfel de programe, algoritmii de calcul al principalilor parametri ai matricelor sunt deja așezate - determinantul, minorii, invers și așa mai departe. Și dacă aveți încredere că mașina va considera aceste valori în sine și nu se înșeală, este recomandabil să se utilizeze metoda sau formulele matricei din interiorul crawlerului, deoarece utilizarea lor începe și se termină cu calculul determinanților și matricele inverse.

Aplicație

Deoarece soluția prin metoda Gauss este un algoritm, iar matricea este, de fapt, o matrice bidimensională, poate fi utilizată la programare. Dar, din moment ce articolul se poziționează ca un ghid "pentru ceainici", trebuie spus că cel mai simplu lucru este locul în care metoda poate fi umplute - acestea sunt foi de calcul, de exemplu, Excel. Din nou, tot felul de lenturi enumerate în tabel sub forma unei matrice, Excel va fi considerat ca o matrice bidimensională. Și pentru operațiuni cu ele există numeroase echipe plăcute: adăugarea (puteți doar să pliați matricele de aceleași dimensiuni!), Multiplicarea numărului, înmulțirea matricelor (de asemenea, cu anumite limitări), găsirea matricelor din spate și transpuse și, cel mai important, calculând determinantul. Dacă această ocupație consumatoare de timp este înlocuită de o echipă, este posibil să se determine cârpa matricei mult mai repede și, prin urmare, să-și stabilească unitatea sau incompletența.

Aici puteți rezolva gratuit sistemul ecuațiilor liniare. metoda Gaussian Online. Dimensiuni mari în numere integrate, cu o soluție foarte detaliată. Calculatorul nostru poate rezolva online ca un sistem obișnuit specific și nedefinit de ecuații liniare de către Gauss, care are soluții infinite setate. În acest caz, ca răspuns, veți primi dependența variabilelor singure prin alte libere. De asemenea, puteți verifica sistemul de ecuații pentru partajarea online, utilizând soluția prin metoda Gauss.

Despre metoda

La rezolvarea sistemului de ecuații liniare pe metoda Gauss, se efectuează următorii pași.

1. Înregistrați matricea expandată.
2. De fapt, soluția este împărțită în direct și în mișcarea opusă a metodei Gauss. Mișcarea directă a metodei Gauss se numește matricea de lider la o formă treptată. Referința metodei Gauss se numește matrice de lider la un pas special. Dar, în practică, este mai convenabil să începeți imediat ceea ce este atât de sus, cât și sub elementul examinat. Calculatorul nostru utilizează această abordare.
3. Este important să rețineți că la rezolvarea metodei Gauss, prezența în matrice cel puțin o linie zero cu o mână dreaptă nonzero (coloană de membri liberi) indică incompletența sistemului. Soluția sistemului liniar în acest caz nu există.

Pentru a înțelege cel mai bine principiul funcționării algoritmului Gauss online Introduceți orice exemplu, selectați "Foarte soluție detaliată"Și uitați-vă la decizia sa online.